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1.2.1 函数的概念(第一课时)


.一、问题链接: 1. 讨论:放学后骑自行车回家,在此实例中存在哪些变量?变量之间有什么关系? 2.回顾初中函数的定义: 在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一的值与之对 应,此时 y 是 x 的函数,x 是自变量,y 是因变量。 表示方法有:解析法、列表法、图象法. 二、合作探究展示: 探究一:函数的概念: 思考 1: (课本 P15)给出三个实例: A.一枚炮弹发射,经 26 秒后落地击中目标,射高为 845 米,且炮弹距地面高度 h(米)与时间 t(秒)的变化规律是 h ? 130t ? 5t 2 。 B.近几十年,大气层中臭氧迅速减少,因而出现臭氧层空洞问题,图中曲线是南极上空臭氧层 空洞面积的变化情况。 (见课本 P15 图) C.国际上常用恩格尔系数(食物支出金额÷总支出金额)反映一个国家人民生活质量的高低。 “八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。 (见课本 P16 表) 讨论:以上三个实例存在哪些变量?变量的变化范围分别是什么?两个变量之间存在着怎样的 对应关系? 三个实例有什么共同点? 归纳:三个实例变量之间的关系都可以描述为:对于数集 A 中的每一个 x,按照某种对应关系 f, 在数集 B 中都与唯一确定的 y 和它对应,记作: f : A?B (渗透中华人民共和国环境保护法第三十二条 国家加强对大气、水、土壤等的保护,建立和 完善相应的调查、监测、评估和修复制度。(四)对超标排放污染物、采用逃避监管的方式排放污染 物、造成环境事故以及不落实生态保护措施造成生态破坏等行为,发现或者接到举报未及时查处 的; )

第三十三条 各级人民政府应当加强对农业环境的保护,促进农业环境保护新技术 的使用,加强对农业污染源的监测预警,统筹有关部门采取措施,防治土壤污染和土 地沙化、盐渍化、贫瘠化、石漠化、地面沉降以及防治植被破坏、水土流失、水体富 营养化、水源枯竭、种源灭绝等生态失调现象,推广植物病虫害的综合防治。
) 函数的定义: 设 A、 B 是两个非空的数集, 如果按照某种确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f ( x) 和它对应,那么称 f: A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 (function) ,记作: y ? f ( x), x ? A 其中,x 叫自变量,x 的取值范围 A 叫作定义域(domain) ,与 x 的值对应的 y 值叫函数值,函 数值的集合 { f ( x) | x ? A} 叫值域(range) 。显然,值域是集合 B 的子集。 注意: ① “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; ②函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. 思考 2:构成函数的三要素是什么? 答:定义域、对应关系和值域

小试牛刀.1 下列四个图象中,不是函数图象的是( B

).

y

y

y

y

2.集 合

O
A. y 2 -2 0 x

x

O
B. y 2 -2 0 2 x

x
O
C. y 2 -2 0 2 x

x
y 2 -2 0

O
D.

x

x A. B. C. D. M ? ?x ?2 ? x ? 2? , N ? ? y 0 ? y ? 2? ,给出下列四个图形,其中能表示以 M 为定义域,N 为值域的函
数关系的是( B ).

2

归纳: (1)一次函数 y=ax+b (a≠0)的定义域是 R,值域也是 R; ( 2 ) 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c (a ≠ 0) 的 定 义 域 是 R , 值 域 是 B ; 当 a>0 时 , 值 域

? ? ? ? 4ac ? b 2 ? 4ac ? b 2 ? ? ? B ? ?y y ? B ? y y ? ;当 a ﹤ 0 时,值域 ? ? ?。 4a ? 4a ? ? ? ? ? ? ? k (3)反比例函数 y ? (k ? 0) 的定义域是 ? x x ? 0? ,值域是 ? y y ? 0? 。 x
探究二:区间及写法: 设 a、b 是两个实数,且 a<b,则: (1) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为[a,b]; (2) 满足不等式 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为(a,b) ;

(3) 满足不等式 a ? x ? b或a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,表示为 ? a, b ? , ? a, b? ; 这里的实数 a 和 b 都叫做相应区间的端点。 (数轴表示见课本 P17 表格) 符号“∞”读“无穷大” ; “-∞”读“负无穷大” ; “ + ∞ ” 读“正无穷大” 。我们把满足

? ??, b?, ? ??, b? 。

x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别表示为 ?a, ??? , ? a, ??? ,

小试牛刀: 用区间表示 R、{x|x≥1}、{x|x>5}、{x|x≤-1}、{x|x<0} (学生做,教师订正) (三)例题讲解: 例 1.已知函数 f ( x) ?

x?3 ?

1 , x?2

(1) 求 f (?3), f ( ), f

(2) 当 a>0 时,求 f (a), f (a ? 1) 的值。 (答案见 P17 例一)

2 3

? f ? ?3? ? 的值;

练习.已知函数 f(x)=x2+2,求 f(-2),f(-a),f(a+1), f(f(x)). 答案:f(-2)=6 f(-a)=a2+2 f(a+1)=a2+2a+3 f(f(x))=x4+4x2+6 x2 【例 2】已知函数 f ( x) ? , x?R . 1 ? x2 1 1 1 1 (1)求 f ( x) ? f ( ) 的值; (2)计算: f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) . x 2 3 4 1 2 2 1 x2 x2 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 . 解: (1)由 f ( x) ? f ( ) ? ? x 1 ? x2 1 ? 1 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2 x2 1 1 1 1 7 (2)原式 ? f (1) ? ( f (2) ? f ( )) ? ( f (3) ? f ( )) ? ( f (4) ? f ( )) ? ? 3 ? 2 3 4 2 2 点评:对规律的发现,能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论,是解答后一问的关键. (四)随堂检测: 1. 用区间表示下列集合:

? x x ? 4? , ? x x ? 4且x ? 0? , ?x x ? 4且x ? 0, x ? ?1? , ?x x ? 0或x ? 2?

2. 已知函数 f(x)=3x 2 +5x-2,求 f(3)、f(- 2 )、f(a)、f(a+1)的值; 3. 课本 P19 练习 2。
4.已知 f ( x) = x2 +x+1,则 f ( 2) =__3+ 5.已知 f (2 x ? 1) ? x2 ? 2 x ,则 f (3) = —1

2 ____;f[ f (2) ]=_57_____.
.

归纳小结: 函数模型应用思想;函数概念;二次函数的值域;区间表示 作业布置: 习题 1.2A 组,第 4,5,6;



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