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数列高考题(含答案)


1.(北京卷)数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,

an ?1 ?

1 Sn 3 ,n=1,2,3,……,求

(I)a2,a3,a4的值及数列{an}的通项公式; (II)

a2 ? a4 ? a6 ??? a2n 的值.

(I)由a1=1,

an ?1 ?

1 Sn 3 ,n=1,2,3,……,得

1 1 1 1 1 4 1 1 16 a2 ? S1 ? a1 ? a3 ? S 2 ? ( a1 ? a2 ) ? a4 ? S3 ? ( a1 ? a2 ? a3 ) ? 3 3 3, 3 3 9, 3 3 27 ,

1 1 4 1 an ?1 ? an an ?1 ? an ? ( S n ? S n ?1 ) ? an 3 (n≥2) 3 3 (n≥2) 由 ,得 ,又 a2= 3 ,所以
1 4 n?2 ( ) an= 3 3 (n≥2),

? 1 ? an ? ? 1 4 n?2 ?3 ( 3) ? ∴ 数列{an}的通项公式为

n ?1 n≥ 2


4 1 ( )2 a2 , a4 ,?, a2n 是首项为 3 ,公比为 3 项数为n的等比数列,∴ (II)由(I)可知

4 1 ? ( )2n 1 3 ? 3 [( 4 ) 2 n ? 1] ? 3 1 ? ( 4 )2 7 3 a2 ? a4 ? a6 ??? a2n = 3

2. (福建卷)已知{

an }是公比为q的等比数列,且 a1 , a3 , a2 成等差数列.

(Ⅰ)求q的值; (Ⅱ)设{

bn }是以2为首项,q为公差的等差数列,其前n项和为Sn,当n≥2时,比较

Sn与bn的大小,并说明理由. 解: (Ⅰ)由题设

2a3 ? a1 ? a2 ,即2a1q 2 ? a1 ? a1q,

?a1 ? 0,?2q 2 ? q ?1 ? 0.

? q ? 1或 ?

1 . 2

(Ⅱ)若

q ? 1, 则S n ? 2n ?

n(n ? 1) n 2 ? 3n ?1 ? . 2 2
( n ? 1)( n ? 2) ? 0. 2



n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ?



Sn ? bn .

1 n(n ? 1) 1 ? n 2 ? 9n q ? ? , 则S n ? 2n ? (? ) ? . 2 2 2 4 若
n ? 2时, S n ? bn ? S n ?1 ? ? ( n ? 1)( n ? 10) , 4



故对于

n ? N? ,当2 ? n ? 9时, Sn ? bn ;当n ? 10时, Sn ? bn ;当n ? 11 , Sn ? bn . 时 {a n }的前n项和为S =2n2, bn } 为等比数列, a1 ? b1 , b2 (a2 ? a1 ) ? b1 . { 且 n
cn ? an bn ,求数列 {cn } 的前n项和

3. (湖北卷) 设数列

(Ⅰ)求数列 Tn.

{a n } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设

时 解: :当 n ? 1 , a1 ? S1 ? 2; (1)
当n ? 2时, an ? S n ? S n?1 ? 2n 2 ? 2(n ? 1) 2 ? 4n ? 2,
故{an}的通项公式为

an ? 4n ? 2,即 an }是a1 ? 2, 公差d ? 4 的等差数列. {
q, 则b1 qd ? b1 , d ? 4,? q ?
1 4
n ?1

设{bn}的通项公式为

1 . 4
2 4 n ?1 .



bn ? b1 q n ?1 ? 2 ?

, 即{bn }的通项公式为 bn ?

? cn ?
(II)

a n 4n ? 2 ? ? (2n ? 1)4 n?1 , 2 bn 4 n?1

?Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? [1 ? 3 ? 41 ? 5 ? 4 2 ? ? ? (2n ? 1)4 n?1 ], 4Tn ? [1? 4 ? 3 ? 4 2 ? 5 ? 43 ? ? ? (2n ? 3)4 n?1 ? (2n ? 1)4 n ]
两式相减得

1 3Tn ? ?1 ? 2(41 ? 4 2 ? 4 3 ? ? ? 4 n ?1 ) ? (2n ? 1)4 n ? [( 6n ? 5)4 n ? 5] 3 1 ? Tn ? [( 6n ? 5)4 n ? 5]. 9
4. (湖南卷)已知数列

{log 2 (an ? 1)}n ? N * )

为等差数列,且

a1 ? 3, a3 ? 9.

(Ⅰ)求数列

{a n }的通项公式; (Ⅱ)证明

1 1 1 ? ??? ? 1. a 2 ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n

(I)解:设等差数列 由

{log 2 (an ? 1)} 的公差为d.

a1 ? 3, a3 ? 9得2(log 2 2 ? d ) ? log2 2 ? log2 8, 即d=1.

所以

log2 (an ?1) ? 1 ? (n ?1)? ? n, 即 a n ? 2 n ? 1.

1 1 1 ? n ?1 ? n n a ? an a ? 2 2 , (II)证明因为 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 1 ? 2 ? 3 ??? n a ? a1 a3 ? a 2 a n ?1 ? a n 2 2 2 2 所以 2

1 1 1 ? n? 2 ? 1 ? 1 ? 1. 2 ? 2 1 2n 1? 2
5. ( 全 国 卷 Ⅰ ) 设 正 项 等 比 数 列

?an ? 的 首 项

a1 ?

1 2 , 前 n 项 和 为 Sn , 且

210 S 30 ? (210 ? 1) S 20 ? S10 ? 0



(Ⅰ)求

?an ?的通项;

(Ⅱ)求

?nSn ?的前n项和 Tn 。


解: (Ⅰ)由 即

210 S 30 ? (210 ? 1)S 20 ? S10 ? 0

210 (S 30 ? S 20 ) ? S 20 ? S10 ,

210 (a21 ? a22 ? ? ? a30 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 , 210 ? q10 (a11 ? a12 ? ? ? a20 ) ? a11 ? a12 ? ? ? a20 .

可得

a ? 0 ,所以 210 q10 ? 1, 解得 因为 n

q?

1 1 a n ? a1 q n ?1 ? n , n ? 1,2, ?. 2 ,因而 2

{a n } 是 首 项 ( Ⅱ ) 因 为

a1 ?

1 1 q? 2 、 公 比 2 的 等 比 数 列 , 故

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 , nS ? n ? n . Sn ? 2 n 1 2n 2n 1? 2
1 2 n Tn ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ), 2 2 2







{nSn }





n





Tn 1 1 2 n ?1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ). 2 2 2 2 2 2
Tn 1 1 1 1 n ? (1 ? 2 ? ? ? n) ? ( ? 2 ? ? ? n ) ? n ?1 2 2 2 2 2 2

前两式相减,得

1 1 (1 ? n ) n(n ? 1) 2 2 ? n ? ? 1 4 2 n ?1 1? 2



Tn ?

n( n ? 1) 1 n ? n ?1 ? n ? 2. 2 2 2

6. (全国卷II) 已知
bn ? 1 a2 n

?an ? 是各项为不同的正数的等差数列,lg a1 、lg a2 、lg a4 成等差数列. 又

, n ? 1, 2,3,? .

(Ⅰ) 项
a1

?b ? 证明 n 为等比数列;(Ⅱ)

?b ? ?a ? 如果数列 n 前3项的和等于 24 ,求数列 n 的首

7

和公差 d .

(I)证明:∵

lg a1



lg a2



lg a4

成等差数列 ∴2

lg a2 lg a1 lg a4

=

+

,即

a2 2 ? a1a4

又设等差数列 这样

?an ? 的公差为 d ,则( a1 - d ) 2 = a1 ( a1 -3 d )
,从而 d ( d -

d 2 ? a1d

a1 )=0

∵ d ≠0

∴d =

a1 ≠0
1

a2n ? a1 ? (2n ?1)d ? 2n dbn ?
∴ 比数列。

1 1 1 ? ? n a2n d 2

?b ? b ∴ n 是首项为 1 = 2d , 公比为 2 的等

1

(II)解。∵

b1 ? b2 ? b3 ?

1 1 1 7 (1 ? ? ) ? 2d 2 4 24

∴ d =3



a1 = d =3


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