高中数学 第一章《三角函数》正弦函数的图象课件 北师大版必修4

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2013.11.15

§5
5．1

正弦函数的性质与图象
从单位圆看正弦函数的性质

5．2

正弦函数的图象

2

一、学习目标： 1.借助单位圆,对正弦函数性质有初步认识; 2.能正确地运用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图 象; 3.熟练地掌握 “五点法”画图象的方法和步骤，会用 “五点法” 作出函数y＝sin x 在 [0，2π] 的图象. 二、教学重、难点： 重点: 利用“五点法”画正弦函数的图象． 难点: 1.正弦函数的简单性质． 2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。
3

回顾：
-1

y
1

P （u ，v ）
1

v=sin?
正弦函数

?
O
-1

M

x

通常,我们用x表示自变量,即x表示角的大小,用 y表示函数值,即y=sinx。 由上图，你能看出正弦函数有哪性质？

函数性质：定义域，值域，最值，单调性，奇偶 性，周期性……
4

一.正弦函数的性质
根据正弦函数y=sinx的定义，我们不难从单位圆 y 看出正弦函数y=sinx有以下性质：
1

1.定义域是全体实数； 2.最大值是1,最小值是-1,值 '''域是[-1,1]; 3.它是周期函数，其周期是2π;
-1

P

x

1

O
-1

M

x
y=sinx

4.在[0,2π]上的单调性为：在[0,π/2]上是 增加的；在[π/2,π]上是减少的；在 [π,3π/2]上是减少的；在[3π/2,2π]上是增 加的；
5

5.2 正弦函数的图象
1.用描点法作函数图象的主要步骤是怎样的？ (1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
6

x

0

?
4

?
3
3 2

?
2

2? 3
3 2

3? 4

5? 6

?

y=sinx
x

0

1 2

2 2
5? 4

1
3? 2

y=sinx
(2) 描点 (3) 连线

?1 2

7? 6

4? 3

5? 3

2 2 7? 4

1 2

0
2?

2 2

?

3 2

-1

?

3 2

2 2

?1 2

11? 6

0

y 10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

?1 6

正弦线的概念:
设任意角 ? 的终边与单位圆交于 点P，过点p做x轴的垂线，垂足 M，称线段MP为角? 的正弦线。

P(a, b ) r O
? h

M A

正弦线是有向线段，是由M指向P的， P称为正弦线的终点。

7

α的终边
P

y

y P

α的终边

M o

x

o

M

x

(Ⅱ) y

y (Ⅰ)

M
P

o

x

o

M P x α的终边
8

α的终边

(Ⅲ)

( Ⅳ)

问题1：若在直角坐标系的 x 轴上取一点 O1，以 O1 为圆心，单位长为半径作圆，从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起， 把⊙O1 分成 12 等份，过⊙O1 上各分点作 x 轴的垂线，得 π π π 到对应于 0， ， ， ，…，2π 等角的正弦线．相应地， 6 3 2 再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份， 把角 x 的正弦 线向右平移，使它的起点与 x 轴上的点 x 重合，再把这些 正弦线的终点用光滑的曲线连接起来， 所得曲线是哪个函 数的图像？
9

5.2 正弦函数的图象
2. 函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法
y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

10

5.2 正弦函数的图象
3.正弦曲线
问题2：由此你能作出y＝sin x，x∈R的图像吗？ 因sin(x＋2kπ)＝sin x(k∈Z)，这样只要将函数y＝ sin x，x∈[0,2π]的图像向左、向右平行移动(每次 2π个单位长度)，可得y＝sin x，x∈R的图像．
y
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-1

2?
-

4?
-

6?
-

x

-

正弦函数y＝sin x的图像，叫作正弦曲线．
11

5.2 正弦函数的图象
4.五点作图法
y
1-

图象的最高点 ( 与x轴的交点
?
6

?
2

,1)

(0,0) (? ,0) (2? ,0)
-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

画法：在平面直角坐标系中描出五个关键点：
π 3 (0,0)，( ，1)，(π，0)，( π，－1)，(2π，0)． 2 2

然后再根据正弦函数的基本形状，用光滑曲线将这 五个点连接起来，得到正弦函数在[0,2π]上的简图， 这种画正弦曲线的方法称为 五点法
12

-

图象的最低点

? ( 32 ,?1)

例1.作 y= -sinx,
解:

x ? [0, 2? ] 的图象
π 2

x 0 y=sinx 0 y=-sinx 0
y 1 -1

π

3π 2

2?

1 -1

0

-1 1

0

0

0
x? [0,2? ]
x

.

? 2

.

. ?

.

y= -sinx,
2?

3? 2

.

y ? sinx, x ?[0,2π]
13

1.用五点法画出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的简图． 2.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图.

14

1.用五点法画出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的简图．
解：列表：

x 0 y=sinx 0 y=2sinx 0
描点作图：

π 2

π

3π 2

2?

1

0

-1

0

2

0

?2

0

15

2.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图

. . 2
1 o -1
π 2

2? ] y=sinx+2, x∈[0，

y

.

.

.
?
3π 2

2?

x
16

y ? sinx, x ?[0,2π]

归纳整理，整体认识： （1）请回顾本节课学习了哪些知识？ （2）你在这节课中的表现怎样？你的 体会是什么？ 布置作业：作业：习题1—5第1,2题． 课后反思：

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18