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高中数学 第一章《三角函数》正弦函数的图象课件 北师大版必修4


欢迎各位莅临指导
2013.11.15

§5
5.1

正弦函数的性质与图象
从单位圆看正弦函数的性质

5.2

正弦函数的图象

2

一、学习目标: 1.借助单位圆,对正弦函数性质有初步认识; 2.能正确地运用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图 象; 3.熟练地掌握 “五点法”画图象的方法和步骤,会用 “五点法” 作出函数y=sin x 在 [0,2π] 的图象. 二、教学重、难点: 重点: 利用“五点法”画正弦函数的图象. 难点: 1.正弦函数的简单性质. 2.利用正弦线画出y=sinx,x∈[0, 2π]的图像。
3

回顾:
-1

y
1

P (u ,v )
1

v=sin?
正弦函数

?
O
-1

M

x

通常,我们用x表示自变量,即x表示角的大小,用 y表示函数值,即y=sinx。 由上图,你能看出正弦函数有哪性质?

函数性质:定义域,值域,最值,单调性,奇偶 性,周期性……
4

一.正弦函数的性质
根据正弦函数y=sinx的定义,我们不难从单位圆 y 看出正弦函数y=sinx有以下性质:
1

1.定义域是全体实数; 2.最大值是1,最小值是-1,值 '''域是[-1,1]; 3.它是周期函数,其周期是2π;
-1

P

x

1

O
-1

M

x
y=sinx

4.在[0,2π]上的单调性为:在[0,π/2]上是 增加的;在[π/2,π]上是减少的;在 [π,3π/2]上是减少的;在[3π/2,2π]上是增 加的;
5

5.2 正弦函数的图象
1.用描点法作函数图象的主要步骤是怎样的? (1) 列表

y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
6

x

0

?
4

?
3
3 2

?
2

2? 3
3 2

3? 4

5? 6

?

y=sinx
x

0

1 2

2 2
5? 4

1
3? 2

y=sinx
(2) 描点 (3) 连线

?1 2

7? 6

4? 3

5? 3

2 2 7? 4

1 2

0
2?

2 2

?

3 2

-1

?

3 2

2 2

?1 2

11? 6

0

y 10

?

2

?

-

-

-

-

3? 2

2?

x

?1 6

正弦线的概念:
设任意角 ? 的终边与单位圆交于 点P,过点p做x轴的垂线,垂足 M,称线段MP为角? 的正弦线。

P(a, b ) r O
? h

M A

正弦线是有向线段,是由M指向P的, P称为正弦线的终点。

7

α的终边
P

y

y P

α的终边

M o

x

o

M

x

(Ⅱ) y

y (Ⅰ)

M
P

o

x

o

M P x α的终边
8

α的终边

(Ⅲ)

( Ⅳ)

问题1:若在直角坐标系的 x 轴上取一点 O1,以 O1 为圆心,单位长为半径作圆,从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起, 把⊙O1 分成 12 等份,过⊙O1 上各分点作 x 轴的垂线,得 π π π 到对应于 0, , , ,…,2π 等角的正弦线.相应地, 6 3 2 再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份, 把角 x 的正弦 线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,再把这些 正弦线的终点用光滑的曲线连接起来, 所得曲线是哪个函 数的图像?
9

5.2 正弦函数的图象
2. 函数

y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法
y

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
?
?
2

o1

M -1 1

A

o
-1 -

? 6

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-

-

-

-

10

5.2 正弦函数的图象
3.正弦曲线
问题2:由此你能作出y=sin x,x∈R的图像吗? 因sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z),这样只要将函数y= sin x,x∈[0,2π]的图像向左、向右平行移动(每次 2π个单位长度),可得y=sin x,x∈R的图像.
y
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-1

2?
-

4?
-

6?
-

x

-

正弦函数y=sin x的图像,叫作正弦曲线.
11

5.2 正弦函数的图象
4.五点作图法
y
1-

图象的最高点 ( 与x轴的交点
?
6

?
2

,1)

(0,0) (? ,0) (2? ,0)
-1

o
-1 -

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

画法:在平面直角坐标系中描出五个关键点:
π 3 (0,0),( ,1),(π,0),( π,-1),(2π,0). 2 2

然后再根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这 五个点连接起来,得到正弦函数在[0,2π]上的简图, 这种画正弦曲线的方法称为 五点法
12

-

图象的最低点

? ( 32 ,?1)

例1.作 y= -sinx,
解:

x ? [0, 2? ] 的图象
π 2

x 0 y=sinx 0 y=-sinx 0
y 1 -1

π

3π 2

2?

1 -1

0

-1 1

0

0

0
x? [0,2? ]
x

.

? 2

.

. ?

.

y= -sinx,
2?

3? 2

.

y ? sinx, x ?[0,2π]
13

1.用五点法画出函数y=2sin x(0≤x≤2π)的简图. 2.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0, ]的简图.

14

1.用五点法画出函数y=2sin x(0≤x≤2π)的简图.
解:列表:

x 0 y=sinx 0 y=2sinx 0
描点作图:

π 2

π

3π 2

2?

1

0

-1

0

2

0

?2

0

15

2.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0, ]的简图

. . 2
1 o -1
π 2

2? ] y=sinx+2, x∈[0,

y

.

.

.
?
3π 2

2?

x
16

y ? sinx, x ?[0,2π]

归纳整理,整体认识: (1)请回顾本节课学习了哪些知识? (2)你在这节课中的表现怎样?你的 体会是什么? 布置作业:作业:习题1—5第1,2题. 课后反思:

17

18


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