欢迎各位莅临指导
2013.11.15
§5
5.1
正弦函数的性质与图象
从单位圆看正弦函数的性质
5.2
正弦函数的图象
2
一、学习目标: 1.借助单位圆,对正弦函数性质有初步认识; 2.能正确地运用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图 象; 3.熟练地掌握 “五点法”画图象的方法和步骤,会用 “五点法” 作出函数y=sin x 在 [0,2π] 的图象. 二、教学重、难点: 重点: 利用“五点法”画正弦函数的图象. 难点: 1.正弦函数的简单性质. 2.利用正弦线画出y=sinx,x∈[0, 2π]的图像。
3
回顾:
-1
y
1
P (u ,v )
1
v=sin?
正弦函数
?
O
-1
M
x
通常,我们用x表示自变量,即x表示角的大小,用 y表示函数值,即y=sinx。 由上图,你能看出正弦函数有哪性质?
函数性质:定义域,值域,最值,单调性,奇偶 性,周期性……
4
一.正弦函数的性质
根据正弦函数y=sinx的定义,我们不难从单位圆 y 看出正弦函数y=sinx有以下性质:
1
1.定义域是全体实数; 2.最大值是1,最小值是-1,值 '''域是[-1,1]; 3.它是周期函数,其周期是2π;
-1
P
x
1
O
-1
M
x
y=sinx
4.在[0,2π]上的单调性为:在[0,π/2]上是 增加的;在[π/2,π]上是减少的;在 [π,3π/2]上是减少的;在[3π/2,2π]上是增 加的;
5
5.2 正弦函数的图象
1.用描点法作函数图象的主要步骤是怎样的? (1) 列表
y ? sin x, x ? ?0,2? ?
?
6
x
0
?
4
?
3
3 2
?
2
2? 3
3 2
3? 4
5? 6
?
y=sinx
x
0
1 2
2 2
5? 4
1
3? 2
y=sinx
(2) 描点 (3) 连线
?1 2
7? 6
4? 3
5? 3
2 2 7? 4
1 2
0
2?
2 2
?
3 2
-1
?
3 2
2 2
?1 2
11? 6
0
y 10
?
2
?
-
-
-
-
3? 2
2?
x
?1 6
正弦线的概念:
设任意角 ? 的终边与单位圆交于 点P,过点p做x轴的垂线,垂足 M,称线段MP为角? 的正弦线。
P(a, b ) r O
? h
M A
正弦线是有向线段,是由M指向P的, P称为正弦线的终点。
7
α的终边
P
y
y P
α的终边
M o
x
o
M
x
(Ⅱ) y
y (Ⅰ)
M
P
o
x
o
M P x α的终边
8
α的终边
(Ⅲ)
( Ⅳ)
问题1:若在直角坐标系的 x 轴上取一点 O1,以 O1 为圆心,单位长为半径作圆,从⊙O1 与 x 轴的交点 A 起, 把⊙O1 分成 12 等份,过⊙O1 上各分点作 x 轴的垂线,得 π π π 到对应于 0, , , ,…,2π 等角的正弦线.相应地, 6 3 2 再把 x 轴上从 0 到 2π 这一段分成 12 等份, 把角 x 的正弦 线向右平移,使它的起点与 x 轴上的点 x 重合,再把这些 正弦线的终点用光滑的曲线连接起来, 所得曲线是哪个函 数的图像?
9
5.2 正弦函数的图象
2. 函数
y ? sin x, x ? ?0,2? ?图象的几何作法
y
作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1
1P 1
?
6
(3) 平移 (4) 连线
?
?
2
o1
M -1 1
A
o
-1 -
? 6
3
2? 3
5? 6
?
7? 6
4? 3
3? 2
5? 3
11? 6
2?
x
-
-
-
-
10
5.2 正弦函数的图象
3.正弦曲线
问题2:由此你能作出y=sin x,x∈R的图像吗? 因sin(x+2kπ)=sin x(k∈Z),这样只要将函数y= sin x,x∈[0,2π]的图像向左、向右平行移动(每次 2π个单位长度),可得y=sin x,x∈R的图像.
y
1-
? 6?
-
? 4?
-
? 2?
-
o-1
2?
-
4?
-
6?
-
x
-
正弦函数y=sin x的图像,叫作正弦曲线.
11
5.2 正弦函数的图象
4.五点作图法
y
1-
图象的最高点 ( 与x轴的交点
?
6
?
2
,1)
(0,0) (? ,0) (2? ,0)
-1
o
-1 -
?
?
2
3
2? 3
5? 6
?
7? 6
4? 3
3? 2
5? 3
11? 6
2?
x
画法:在平面直角坐标系中描出五个关键点:
π 3 (0,0),( ,1),(π,0),( π,-1),(2π,0). 2 2
然后再根据正弦函数的基本形状,用光滑曲线将这 五个点连接起来,得到正弦函数在[0,2π]上的简图, 这种画正弦曲线的方法称为 五点法
12
-
图象的最低点
? ( 32 ,?1)
例1.作 y= -sinx,
解:
x ? [0, 2? ] 的图象
π 2
x 0 y=sinx 0 y=-sinx 0
y 1 -1
π
3π 2
2?
1 -1
0
-1 1
0
0
0
x? [0,2? ]
x
.
? 2
.
. ?
.
y= -sinx,
2?
3? 2
.
y ? sinx, x ?[0,2π]
13
1.用五点法画出函数y=2sin x(0≤x≤2π)的简图. 2.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0, ]的简图.
14
1.用五点法画出函数y=2sin x(0≤x≤2π)的简图.
解:列表:
x 0 y=sinx 0 y=2sinx 0
描点作图:
π 2
π
3π 2
2?
1
0
-1
0
2
0
?2
0
15
2.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0, ]的简图
. . 2
1 o -1
π 2
2? ] y=sinx+2, x∈[0,
y
.
.
.
?
3π 2
2?
x
16
y ? sinx, x ?[0,2π]
归纳整理,整体认识: (1)请回顾本节课学习了哪些知识? (2)你在这节课中的表现怎样?你的 体会是什么? 布置作业:作业:习题1—5第1,2题. 课后反思:
17
18