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重庆市部分区县2016届高三上学期入学考试数学(理)试题 Word版含答案


高 2016 级高三上期入学考试试卷

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题
题目要求的。 1.设集合 I ? {x | ?3 ? x ? 3, x ? Z } , A ? {1,2}, B ? {?2,?1,2} ,则 A ? (CI B) ? () A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {?1,0,1,2}
2

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合

2.复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i) ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

3.已知正数组成的等比数列 {an } ,若 a1a20 ? 100 ,那么 a7 ? a14 的最小值为() A.20 4.设 B.25 ,则“ C.50 ”是“ D.不存在 ”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.若 , 满足



的最大值为()

A.0

B.1

C.

D.2

6.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ,则函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴是() A. x ?

5? 6

B. x ?

7? 12

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6

7. 已知双曲线 C :

x2 y 2 =1 的焦距为 10 , 点 P (2,1) 在C 的 a2 b2
)

渐近线上,则 C 的方程为( A.

x2 y2 x2 y2 x2 y 2 x2 y 2 =1 B. =1 C. =1 D. 20 5 20 80 5 20 80 20

8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为() A. 2B .4C.8D. 16 9.已知点 A(?1,0) ,若函数 f ( x) 的图象上存在两点 B、C 到点 A 的距离相等, 则称该函数 f ( x) 为“点距函数”, 给定下列三个函数:

-1-

① y ? ? x ? 2(?1 ? x ? 2) ;② y ? 数”的个数是() A.0

5 9 ? ( x ? 1) 2 ;③ y ? x ? 4( x ? ? ) .其中,“点距函 2
C. 2 D.3

B. 1

? x 2 ? 4 x, f ( x ) ? 10.已知函数 ? 2 ?4 x ? x ,
A (??, ?1) ? (2, ??)

x?0 x?0
B (?1, 2)

若 f (2 ? a 2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??) )

11.在△ ABC 中, AB =2, AC =3 , AB · BC =1,则 BC = ( A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23

12 . 已 知 定 义 在 [0,??) 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x) =2 f ( x ? 2) , 当 x ? [0,2) 时 ,
? ,且{ an }的前 n 项 f ( x) ? ?2 x2 ? 4 x .设 f ( x) 在 [2n ? 2,2n) 上的最大值为 an ( n ? N )

和为 Sn ,则 Sn =() A. 2 ?

1 2
n ?1

B. 4 ?

1 2
n?2

C. 2 ?

1 2n

D. 4 ?

1 2n ?1

第Ⅱ卷(非选择题
13.在 x(1 ? x) 的展开式中,含 x 项的系数为
6
3

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上..

14.古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属性,金克木,木克土,土 克水,水克火,火克金,”从五种不同属性的物质中随机抽取两种,则抽取的两种物质不相 克的概率是.________ 15.已知 P 为△ABC 所在的平面内一点,满足 PA ? PB ? 3PC ? 0 ,△ABC 的面积为 2015, 则 ABP 的面积为. 16.若实数 a, b, c 成等差数列,点 P(?1,0) 在动直线 l : ax ? by ? c ? 0 上的射影为 M ,点

N (0,3) ,则线段 MN 长度的最小值是.
三、解答题:本大题共 5 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 14 分)已知函数 (Ⅰ)求 最小正周期;

-2-

(Ⅱ)求

在区间

上的最大值和最小值.

18. (本小题满分 14 分)已知 (I)求 的通项公式;

是递增的等差数列,



是方程

的根。

(II)求数列

的前 项和.

19. (本小题满分 14 分)为了参加 2013 年市级高中篮球比赛,该市的某区决定从四所高中学 校选出 12 人组成男子篮球队代表所在区参赛,队员来源人数如下表: 学校 人数 学校甲 4 学校乙 4 学校丙 2 学校丁 2

该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军,现要从中选出两名队员代表冠军队发言. (Ⅰ)求这两名队员来自同一学校的概率; (Ⅱ)设选出的两名队员中来自学校甲的人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望 Eξ.

20. (本小题满分 14 分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图, 椭圆 C1 与椭圆 C2 是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆

C1 :

x2 y 2 y 2 x2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) C : ? ? 1(m ? n ? 0) 短轴长是 1,点 的长轴长是 4 ,椭圆 2 a 2 b2 m2 n2

F1 , F2 分别是椭圆 C1 的左焦点与右焦点,
(Ⅰ)求椭圆 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)过 F1 的直线交椭圆 C2 于点 M , N ,求 ?F2 MN 面
-3-

积的最大值.

21.设函数 (1)若 (2)若 在 在

, 上是单调减函数,且 上是单调增函数,试求

,其中 为实数. 在 上有最小值,求 的取值范围; 的零点个数,并证明你的结论.

选修题:请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图所示,圆 O 的直径为 BD,过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE,过点 D 作 DE⊥AE 于 点 E,延长 ED 与圆 O 交于点 C. (1)证明:DA 平分∠BDE; (2)若 AB=4,AE=2,求 CD 的长.

23.在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的参数方程为

?x ? t , ( t 为参数) ,曲线 C1 的方程为 ? ( ? ? 4 sin ? ) ? 12 ,定点 A(6,0) ,点 P 是曲线 C1 ? ? y ? at
上的动点, Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与曲线 C2 交于 A, B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求实数 a 的取值范围.

24.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | , g ( x) ?| x | ?a

-4-

(Ⅰ)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

高 2016 级高三上期入学考试试卷

数学(理工农医类)参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。 1.设集合 I={x|﹣3<x<3,x∈z},A={1,2},B={﹣2,﹣1,2},则 A∩(?IB)等于() A. {1} B. {1,2} C. {0,1,2} D. {﹣1,0,1,2} 考点: 交、并、补集的混合运算. 解析: 由全集 I 及 B,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. ∵集合 I={x|﹣3<x<3, x∈Z}={﹣2, ﹣1, 0, 1, 2}, A={1, 2}, B={﹣2, ﹣1, 2}, ∴?IB={0, 1},则 A∩(?IB)={1}.故选:A. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 2.复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i)2 ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限 考点: 复数的代数表示法及其几何意义;复数相等的充要条件. 解析: 根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数 z 为=1﹣i,故 z 对应点的坐标为(1,﹣1) ,从而得出结论.故选 D. 点评: 本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位 i 的幂运算性质,复数与复平面内 对应点之间的关系,属于基础题. 3.已知正数组成的等比数列 {an } ,若 a1a20 ? 100 ,那么 a7 ? a14 的最小值为() A.20 B.25 C.50 考点: 等比数列的通项公式. D.不存在

解析: 由已知得 a7+a14≥2 a7 a14 ? 2 a1a20 ? 2 100 ? 20 .故选:A. 点评: 本题考查等比数列中两项和的最小值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意 均值定理的合理运用. 4.设 ,则“ ”是“ ”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点:不等式解法与充分条件、必要条件. 解析: “ ”是“ , ”的充分不必要条件,故选 A. 或 ,所以

点评:本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题,将含绝对值不等式与一
-5-

元二次不等式和解法、充分条件、必要条件、充要条件相关的问题联系在起来,体现综合应 用数学知识解决问题的能力,是基础题

5.若 , 满足



的最大值为()

A.0

B.1

C.

D.2

考点:本题考点为线性规划的基本方法 解析:如图,先画出可行域,由于 ,令 ,作直线 ,则 ,在可

行域中作平行线,得最优解 取得最小值 2.故选 D

,此时直线的截距最大,

点评:本题考查线性规划解题的基本方法,本题属于基础题, 要求依据二元一次不等式组准确画出可行域,利用线性目标函数中直线的纵截距的几何意义, 令 ,画出直线 ,在可行域内平移该直线,确定何时 取得最大值,找出此

时相应的最优解,依据线性目标函数求出最值,这是最基础的线性规划问题. 6.已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ,则函数 f ( x ) 的图象的一条对称轴是() A. x ?

5? 6

B. x ?

7? 12

C. x ?

?
3

D. x ?

?
6

考点: 三角函数化简,函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 解析: 由 f(x)=2sin(x﹣ ) .令 x﹣ =kπ+ ,求得 x=kπ+ ,k∈Z,

则函数 f(x)的图象的一条对称轴为 x=

,故选:A.

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的对称性,两角和差的三角公式的应用, 属于中档题.

x2 y 2 7.已知双曲线 C : 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a b
( )

-6-

A.

x2 y2 =1 20 5

B.

x2 y 2 =1 5 20

C.

x2 y 2 =1 80 20

D.

x2 y2 20 80

考点:双曲线的定义及标准方程

x2 y 2 =1 的半焦距为 c ,则 2c ? 10, c ? 5 . a2 b2 b b 又? C 的渐近线为 y ? ? x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,∴ 1 ? ·2,即 a ? 2b . a a 2 2 x y 2 2 2 又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ? 5 ,? C 的方程为 =1.故选 A。 20 5
解析:设双曲线 C : 点评:圆锥曲线的标准方程关键是找到焦点位置和参数的值,双 曲线主要考查渐近线方程。 8.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为() A. 2B .4C.8D. 16 考点: 程序框图. 解析:k ? 0 ,s ? 1 ? k ? 1 ,s ? 1 ? k ? 2 ,s ? 2 ? k ? 2 , s ? 8 ,循环结束,输出的 s 为 8,故选 C。 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这 一模块最重要的题型,其处理方法是:①分析流程图(或伪代 码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类型,又要分 析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表 格对数据进行分析管理) ?②建立数学模型, 根据第一步分析的 结果,选择恰当的数学模型?③解模. 9.已知点 A(?1,0) ,若函数 f ( x) 的图象上存在两点 B、C 到点 A 的距离相等,则称该函数 f ( x) 为“点距函数”,给定下列三个函数:①

5 y ? ? x ? 2(?1 ? x ? 2) ;② y ? 9 ? ( x ? 1) 2 ;③ y ? x ? 4( x ? ? ) .其中,“点距函数” 2
的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 进行简单的合情推理. 分析: 根据已知中函数 f(x)为“点距函数”的定义,逐一判断所给定的三个函数,是否满足 函数 f(x)为“点距函数”的定义,最后综合讨论结果,可得答案. 解答: 解:对于①,过 A 作直线 y=﹣x+2 的垂线 y=x+1,交直线 y=﹣x+2 于 D ( , ) 点,

1 3 2 2

D ( , ) 在 y=﹣x+2(﹣1≤x≤2)的图象上,故 y=﹣x+2(﹣1≤x≤2)的图象上距离 D 距离相等 的两点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离相等,故该函数 f(x)为“点距函数”;对于②,y=

1 3 2 2

9 ? ( x ? 1) 2 表示以(﹣1,0)为圆心以 3 为半径的半圆,图象上的任意两点 B、C,满足 B、
-7-

C 到点 A 的距离相等,故该函数 f(x)为“点距函数”;对于③,过 A 作直线 y=x+4 的垂线 y= ﹣x﹣1,交直线 y=x+4 于 E( , )点,E( , )是射线 y=x+4(x≤﹣ )的端点,

故 y=x+4(x≤﹣ )的图象上不存在两点 B、C,满足 B、C 到点 A 的距离相等, 故该函数 f(x)不为“点距函数”;综上所述,其中“点距函数”的个数是 2 个,故选:C 点评: 本题考查的知识点是新定义函数 f(x)为“点距函数”,正确理解函数 f(x)为“点距 函数”的概念是解答的关键.

10.已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 4 x, ?4 x ? x ,
2

x?0 x?0
B (?1, 2)

若 f (2 ? a 2 ) ? f (a), 则实数 a 的取值范围是 C (?2,1) D (??, ?2) ? (1, ??)

A (??, ?1) ? (2, ??)

考点:本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
2 解析:由题知 f ( x ) 在 R 上是增函数,由题得 2 ? a ? a ,解得 ? 2 ? a ? 1 ,故选择 C。

点评:利用函数单调性比较大小,特别是抽象函数的大小问题,常利用函数单调性,因些,涉 及 f ( m) 与 f (n) 比较大小时,就应先想到用函数单调性转化为 m 和 n 的大小关系。 11.在△ ABC 中, AB =2, AC =3 , AB · BC =1,则 BC = ( A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23 )

考点:向量的数量积及余弦定理

解析:由下图知 AB · BC = AB BC cos(? ? B) ? 2 ? BC ? (? cos B) ? 1 .

??? ? ??? ?

??? ?

? cos B ?

1 AB 2 ? BC 2 ? AC 2 cos B ? .又由余弦定理知 ,解得 BC ? 3 . ?2 BC 2 AB ? BC

点评:将解三角形与向量结合考查,是较常见的在知识交汇处命题形式,三角形中考查向量 时要注意向量夹角与三角形内角之间的关系。 12.已知定义在 ∴ >1 ∴ >

综上所述: 的取值范围为 (2)证明:∵ ∴ 在 即 上是单调增函数 对 恒成立,

∴ 分三种情况:

而当

时,

>



-8-

(Ⅰ)当

时,

>0

∴f(x)在

上为单调增函数



∴f(x)存在唯一零点

(Ⅱ)当 <0 时,

>0 ∴f(x)在

上为单调增函数

∵ ∴f(x)存在唯一零点 (Ⅲ)当 0< 时,

<0 且

>0

,令



∵当 0< <

时,

>0; >

时,

<0



为最大值点,最大值为

①当

时,

,

,

有唯一零点

②当

>0 时,0<

,

有两个零点







,





0<

,





<0,

>0

且函数在

上的图像不间断 ∴函数



上有存在零点

另外,当 有一个零点 下 面 考

,

>0,故



上单调增,∴















,





<0

-9-

为此我们要证明 : 当

>

时,

>

,设

,则

, 再设

∴ 当 >1 时, 故当 >2 时, 从而 >0 即当 > 时, > , 在 > -2>0, > >0 上是单调增函数,进而当 > 时, > 在 上是单调增函数

当 0< <

时,即

>e 时,

<0



>0 且函数



上的图像不间断,

∴函数 在



上有存在零点,又当 在

>

时, 只有一个零点

<0 故

上是单调减函数∴函数

综合(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)知:当

时,

的零点个数为 1;当 0< <

时,

的零点个数

为2 点评:导函数的应用主要考查切线的斜率;单调区间;极最值。特别是含参问题的处理 是常考题型,学会找到参数的讨论标准。 选修题:请考生在第(22) 、 (23) (24)三体中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 记分.选修 4-1:几何证明选讲 22.如图所示,圆 O 的直径为 BD,过圆上一点 A 作圆 O 的切线 AE,过点 D 作 DE⊥AE 于 点 E,延长 ED 与圆 O 交于点 C. (1)证明:DA 平分∠BDE; (2)若 AB=4,AE=2,求 CD 的长.

- 10 -

考点:相似三角形的判定. 解答: (1)证明:∵AE 是⊙O 的切线,∴∠DAE=∠ABD, ∵BD 是⊙O 的直径,∴∠BAD=90°, ∴∠ABD+∠ADB=90°, 又∠ADE+∠DAE=90°, ∴∠ADB=∠ADE. ∴DA 平分∠BDE. (2)由(1)可得:△ADE∽△BDA,∴ ∴ ,化为 BD=2AD. ,

∴∠ABD=30°. ∴∠DAE=30°. ∴DE=AEtan30°= .
2

由切割线定理可得:AE =DE?CE, ∴ 解得 CD= . ,

点评:本题考查了弦切角定理、圆的性质、相似三角形的性质、直角三角形的边角公式、切 割线定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 23.在直角坐标系 xoy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的参数方程为

?x ? t , ( t 为参数) ,曲线 C1 的方程为 ? ( ? ? 4 sin ? ) ? 12 ,定点 A(6,0) ,点 P 是曲线 C1 ? y ? at ?
上的动点, Q 为 AP 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 l 与曲线 C2 交于 A, B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求实数 a 的取值范围. 考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 解答: 解: (1)根据题意,得 2 2 曲线 C1 的直角坐标方程为:x +y ﹣4y=12, 设点 P(x′,y′) ,Q(x,y) , 根据中点坐标公式,得

? x? ? 2 x ? 6 2 2 ,代入 x +y ﹣4y=12, ? ? y ? 2 y ?
得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程为: (x﹣3) +(y﹣1) =4,
- 11 2 2

(2)直线 l 的普通方程为:y=ax,根据题意,得

3a ? 1

3 ? 22 ? ( 3 )2 ,解得实数 a 的取值范围为: [ 0, ] . 4 a2 ? 1

点评:本题重点考查了圆的极坐标方程、直线的参数方程,直线与圆的位置关系等知识,考 查比较综合,属于中档题,解题关键是准确运用直线和圆的特定方程求解. 24.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | , g ( x) ?| x | ?a (Ⅰ)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

考点:绝对值不等式的解法;带绝对值的函数. 2 解答: 解: (Ⅰ)当 a=0 时,由 f(x)≥g(x)得|2x+1|≥x,两边平方整理得 3x +4x+1≥0, 解得 x≤﹣1 或 x≥﹣ ∴原不等式的解集为(﹣∞,﹣1]∪[﹣ ,+∞)

(Ⅱ) 由( f x) ≤g (x) 得 a≥|2x+1|﹣|x|, 令 h (x) =|2x+1|﹣|x|, 即 h (x) =



故 h(x)min=h(﹣ )=﹣ ,故可得到所求实数 a 的范围为[﹣ ,+∞) . 点评:本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,求函数的最值,属于中档题.

- 12 -


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