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函数与基本初等函数3--教案版


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环球雅思学科教师辅导教案
学员编号: 学员姓名: 顾淑博 授课类型 星 级 T -★★★★ 幂函数与二次函数 年 级: 辅导科目: 新高三 数学 T-★★★★ 函数图象 课 时 数: 3 学科教师:谭盼盼

重点:1、二次函数的图像;2、二次函数的性质;3、幂函数的图象与性 教学重难点 质 4、作函数的图象 5、函数图象的识辨 6、函数图象的应用 难点:1、求解二次函数闭区间的最值 2、高考中函数图象的考查问题 授课日期及时段 2014 年 7 月 25 日周四 10:00-12:00 教学内容

T——幂函数与二次函数
课堂导入
1、(2011· 安徽)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=( A.-3 B.-1 C.1 D.3 答案 A ).

解析 ∵f(x)为奇函数,∴f(1)=-f(-1)=-3.

1 2.(人教 A 版教材例题改编)如图中曲线是幂函数 y=xn 在第一象限的图象.已知 n 取± 2,± 四个值,则相应于曲线 C1, 2 C2,C3,C4 的 n 值依次为( 1 1 A.-2,- , ,2 2 2 1 1 C.- ,-2,2, 2 2 ). 1 1 B.2, ,- ,-2 2 2 1 1 D.2, ,-2,- 2 2 ). D.-2 或 2 或 α = 2 , 故 选 B. 答 答案 B

?-x,x≤0, ? 3.(2011· 浙江)设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α 等于( ? ?x ,x>0.

A.-4 或-2 解 析
? ?α≤0, 由 ? ?-α=4 ?

B.-4 或 2
? ?α>0, 或 ? 2 ?α =4, ?

C.-2 或 4 得 α = - 4

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中国教育培训领军品牌 案 B 4.已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b 等于( A.3 B.2 或 3 C.2 D.1 或 2 ).

解析 函数 f(x)=x2-2x+2 在[1,b]上递增, f?1?=1, ? ? 由已知条件?f?b?=b, ? ?b>1,
2 ?b -3b+2=0, ? 即? 解得 b=2. ?b>1. ?

答案 C

5.(2012· 武汉模拟)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式 f(x)=________. 解析 f(x)=bx2+(ab+2a)x+2a2

a≠0, ? ? 由已知条件 ab+2a=0,又 f(x)的值域为(-∞,4],则?b=-2, ? ?2a2=4.

因此 f(x)=-2x2+4.

答案 -2x2+4

知识典例
夯实基础 (30 分钟)

一、基础梳理

1.幂函数的定义
一般地,形如 y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数 x 是自变量,α 为常数.

2.幂函数的图象
1 - 在同一平面直角坐标系下,幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x ,y=x 1 的图象分别如右图. 2

3.幂函数的性质

2

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y=x

y=x2

y=x3

1 y=x 2

y=x

-1

定义域 值 域

R R 奇

R [0,+∞) 偶 x∈[0,+∞)

R R 奇

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶

{x|x∈R 且 x≠0} {y|y∈R 且 y≠0} 奇 x∈(0,+∞)时,

奇偶性

单调性



时,增 x∈(-∞,0] 时,减





减 x∈(-∞,0)时, 减

定点

(0,0),(1,1)

(1,1)

二.考点分类
1、二次函数的图象;2、二次函数的性质;3、幂函数的图象与性质

考点一:二次函数的图象 【例 1】(2010· 安徽)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( ).

[审题视点] 分类讨论 a>0,a<0. b 解析 若 a>0,则 bc>0,根据选项 C、D,c<0,此时只有 b<0,二次函数的对称轴方程 x=- >0,选项 D 有可 2a 能;若 a<0,根据选项 A,c<0,此时只能 b>0,二次函数的对称轴方程 x=-
3

b >0,与选项 A 不符合;根据选项 B, 2a

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中国教育培训领军品牌 b c>0,此时只能 b<0,此时二次函数的对称轴方程 x=- <0,与选项 B 不符合.综合知只能是选项 D. 2a 答案 D 分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二 是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断, 如函数图象与正半轴的交点、函数图象的最高点与最低点等. 【变式训练 1】 已知二次函数 f(x)的图象如图所示,则其导函数 f′(x)的图象的大致形状是( ).

解析 由函数 f(x)的图象知: 当 x∈(-∞, 1]时, f(x)为减函数, ∴f′(x)≤0; 当 x∈[1, +∞)时, f(x)为增函数, ∴f′(x)≥0. 结合选项知选 C. 答案 C

考点二:二次函数的性质 【例 2】函数 f(x)=x2-2x+2 在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为 g(t). (1)试写出 g(t)的函数表达式; (2)作 g(t)的图象并写出 g(t)的最小值. [审题视点] 分类讨论 t 的范围分别确定 g(t)解析式. 解 (1)f(x)=(x-1)2+1. 当 t+1≤1,即 t≤0 时,g(t)=t2+1. t +1≤0,t≤0, ? ? 综上可知 g(t)=?1,0<t<1, ? ?t2-2 t+2,t≥1. (2)g(t)的图象如图所示,可知 g(t)在(-∞,0]上递减,在[1,+∞)上递增,因此 g(t)在[0,1]上取到最小值 1.
2

当 t<1<t+1,即 0<t<1 时,g(t)=f(1)=1

当 t≥1 时,g(t)=f(t)=(t-1)2+1

(1)二次函数 y=ax2+bx+c,在(-∞,+∞)上的最值可由二次函数图象的顶点坐标公式求出;(2)二次函数 y=ax2+bx+c,在[m,n]上的最值需要根据二次函数 y=ax2+bx+c 图象对称轴的位置,通过讨论进行求解. 【变式训练 2】 已知函数 f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
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中国教育培训领军品牌 (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值和最小值. (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数. 解 (1)当 a=-1 时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],∴x=1 时,f(x)取得最小值 1; x=-5 时,f(x)取得最大值 37. (2)函数 f(x)=(x+a)2+2-a2 的图象的对称轴为直线 x=-a, ∵y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,∴-a≤-5 或-a≥5,故 a 的取值范围是 a≤-5 或 a≥5.

考点三:幂函数的图象与性质 m 【例 3】已知幂函数 f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的图象关于 y 轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1)- <(3 3 m -2a)- 的 a 的取值范围. 3 [审题视点] 由幂函数的性质可得到幂指数 m2-2m-3<0,再结合 m 是整数,及幂函数是偶数可得 m 的值. 解 ∵函数在(0,+∞)上递减, 又函数的图象关于 y 轴对称, ∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3. ∴m2-2m-3 是偶数, ∵m∈N*,∴m=1,2.

而 22-2×2-3=-3 为奇数,

1 12-2×1-3=-4 为偶数,∴m=1.而 f(x)=x- 在(-∞,0),(0,+∞)上均为减函数, 3 1 1 ∴(a+1)- <(3-2a)- 等价于 a+1>3-2a>0 或 0>a+1>3-2a 或 a+1<0<3-2a. 3 3 2 3 解得 a<-1 或 <a< . 3 2 2 3? ? 故 a 的取值范围为?a|a<-1或3<a<2?.
? ?

本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性较强,解此题的关键是弄清幂函数的概念及性 质.解答此类问题可分为两大步:第一步,利用单调性和奇偶性(图象对称性)求出 m 的值或范围;第二步,利用分类 讨论的思想,结合函数的图象求出参数 a 的取值范围.

【变式训练 3】 幂函数 y=xa,当 a 取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点 A(1,0), B(0,1), 连接 AB, 线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y=xα, y=xβ 的图象三等分, 即有|BM|=|MN|=|NA|.那么, αβ=( A.1 C.3 B.2 D.无法确定 ).

1 2? ?2 1? 1 2?α 2 ?1?β 21 12 21 1 解析 法一 由条件得 M? N?3,3?, 由一般性, 可得 =? ,= , 即 α=log , β=log .所以 αβ=log · log ?3,3?, 3 ?3? 3 ?3? 33 33 33 3

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中国教育培训领军品牌 1 2 lg lg 3 3 2 = · =1. 3 2 1 lg lg 3 3 1 2?α 2 ?1?β 法二 由解法一,得 =? , = , 3 ?3? 3 ?3? 1?αβ ??1?β?α ?2?a 1 则? ?3? =??3? ? =?3? =3,即 αβ=1. 答案 A

考点四:求解二次函数在某个闭区间上的最值 【例 4】(2011· 济南模拟)已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在区间[0,1]内有最大值-5,求 a 的值及函数表达式 f(x). 求二次函数 f(x)的对称轴,分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论. a?2 [解答示范] ∵f(x)=-4? ?x-2? -4a, a ? ∴抛物线顶点坐标为? ?2,-4a?.(1 分) a ①当 ≥1,即 a≥2 时,f(x)取最大值-4-a2. 2 令-4-a2=-5,得 a2=1,a=± 1<2(舍去);(4 分) a a ②当 0< <1,即 0<a<2 时,x= 时, 2 2 f(x)取最大值为-4a. 5 令-4a=-5,得 a= ∈(0,2);(7 分) 4 a ③当 ≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]内递减, 2 ∴x=0 时,f(x)取最大值为-4a-a2, 令-4a-a2=-5,得 a2+4a-5=0, 解得 a=-5 或 a=1,其中-5∈(-∞,0].(10 分) 5 综上所述,a= 或 a=-5 时,f(x)在[0,1]内有最大值-5. 4 105 ∴f(x)=-4x2+5x- 或 f(x)=-4x2-20x-5.(12 分) 16

求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得, 忽视对称轴与闭 区间的位置关系,不进行分类讨论.
【变式训练 4】 设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],求函数的最小值 g(a). [尝试解答] ∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1,∴对称轴为直线 x=1,而 x=1 不一定在区间[-2,a]内,应进行讨论. 当-2<a<1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,ymin=a2-2a;当 a≥1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在
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中国教育培训领军品牌 [1,a]上单调递增,则当 x=1 时,ymin=-1. 综上,g(a)=?
?a -2a,-2<a<1, ? ? ?-1,a≥1.
2

回顾小结
(2 分钟)

T——函数图象
课堂导入
( ) ). x+3 1.(人教 A 版教材习题改编)为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象上所有的点( 10 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 x+3 解析 y=lg =lg(x+3)-1 可由 y=lg x 的图象向左平移 3 个单位长度,向下平移 1 个单位长度而得到. 10 答案 C 2.(2011· 安徽)若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象上的是 ( 1 ? A.? ?a,b? 10 ? C.? ? a ,b+1? B.(10a,1-b) D.(a2,2b) )

解析 本题主要考查对数运算法则及对数函数图象,属于简单题.当 x=a2 时,y=lg a2=2lg a=2b,所以点(a2,2b)在函 数 y=lg x 图象上. 答案 D 3.函数 y=1- 1 的图象是( x-1 ).

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-1 1 解析 将 y= 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数 y=1- 的图象. x x-1 答案 B 1 4.(2011· 陕西)函数 y=x 的图象是( 3 ).

解析 该题考查幂函数的图象与性质,解决此类问题首先是考虑函数的性质,尤其是奇偶性和单调性,再与函数 y=x 比较即可. 1 1 1 1 由(-x) =-x 知函数是奇函数.同时由当 0<x<1 时,x >x,当 x>1 时,x <x,知只有 B 选项符合. 3 3 3 3 答案 B 5.已知图①中的图象对应的函数为 y=f(x),则图②的图象对应的函数为( ).

A.y=f(|x|) C.y=f(-|x|)
? ?f?-x?,x≥0, 解析 y=f(-|x|)=? ?f?x?,x<0. ?

B.y=|f(x)| D.y=-f(|x|)

答案 C

知识典例
夯实基础 (30 分钟)

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一、知识梳理:
1.函数图象的变换 (1)平移变换 ①水平平移:y=f(x± a)(a>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向左(+)或向右(-)平移 a 个单位而得到. ②竖直平移:y=f(x)± b(b>0)的图象,可由 y=f(x)的图象向上(+)或向下(-)平移 b 个单位而得到. (2)对称变换 ①y=f(-x)与 y=f(x)的图象关于 y 轴对称.②y=-f(x)与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称. ③y=-f(-x)与 y=f(x)的图象关于原点对称. 由对称变换可利用 y=f(x)的图象得到 y=|f(x)|与 y=f(|x|)的图象. ①作出 y=f(x)的图象,将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到 y=|f(x)|的图象; ②作出 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象,即得 y=f(|x|)的图象. (3)伸缩变换 ①y=af(x)(a>0)的图象,可将 y=f(x)图象上每点的纵坐标伸(a>1 时)或缩(a<1 时)到原来的 a 倍,横坐标不变. 1 ②y=f(ax)(a>0)的图象,可将 y=f(x)的图象上每点的横坐标伸(a<1 时)或缩(a>1 时)到原来的 倍,纵坐标不变. a (4)翻折变换 ①作为 y=f(x)的图象,将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到上方,其余部分不变,得到 y=|f(x)|的图象; ②作为 y=f(x)在 y 轴上及 y 轴右边的图象部分,并作 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的图象,即得 y=f(|x|)的图象. 2.等价变换 例如:作出函数 y= 1-x2的图象,可对解析式等价变形 y≥0 ? ? 2 y= 1-x2??1-x ≥0 ? ?y2=1-x2
? ?y≥0 ?y =1-x ?
2 2

??

?x2+y2=1(y≥0),可看出函数的图象为半圆.此过程可归纳为:(1)写出函数

解析式的等价组;(2)化简等价组;(3)作图. 3.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至 变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图象.

二、考点分析:
考点一:作函数的图象 【例 5】分别画出下列函数的图象:

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中国教育培训领军品牌 (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1;

x+2 (4)y= . x-1

[审题视点] 根据函数性质通过平移,对称等变换作出函数图象.
?lg x ?x≥1?, ? 解 (1)y=? 图象如图①. ?-lg x ?0<x<1?. ?

(2)将 y=2x 的图象向左平移 2 个单位.图象如图②.
2 ? ?x -2x-1 ? (3)y= 2 ?x +2x-1 ?

?x≥0? ?x<0?

.图象如图③.

x+2 3 3 (4)因 y=1+ ,先作出 y= 的图象,将其图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位,即得 y= 的图象,如 x x-1 x-1 图④.

. 【变式训练 5】 作出下列函数的图象: (1)y=2x 1-1;
+ +

(2)y=sin|x|;

(3)y=|log2(x+1)|.
+1

解 (1)y=2x 1-1 的图象可由 y=2x 的图象向左平移 1 个单位,得 y=2x -1 的图象,如图①所示.

的图象,再向下平移一个单位得到 y=2x

+1

(2)当 x≥0 时,y=sin|x|与 y=sin x 的图象完全相同,又 y=sin|x|为偶函数,其图象关于 y 轴对称,如图②所示.

(3)首先作出 y=log2x 的图象 c1,然后将 c1 向左平移 1 个单位,得到 y=log2(x+1)的图象 c2,再把 c2 在 x 轴下方的图象 翻折到 x 轴上方,即为所求图象 c3:y=|log2(x+1)|.如图③所示(实线部分).

考点二:函数图象的识辨 【例 6】函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=21 x 在同一直角坐标系下的图象大致是


(

).

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[审题视点] 在同一个坐标系中判断两个函数的图象,可根据函数图象上的特征点以及函数的单调性来判断. 解析 f(x)=1+log2x 的图象由函数 f(x)=log2x 的图象向上平移一个单位而得到,所以函数图象经过(1,1)点,且为单调

增函数,显然,A 项中单调递增的函数经过点(1,0),而不是(1,1),故不满足; 1?x - 函数 g(x)=21 x=2×? ?2? ,其图象经过(0,2)点,且为单调减函数,B 项中单调递减的函数与 y 轴的交点坐标为(0,1),故 不满足;D 项中两个函数都是单调递增的,故也不满足. 综上所述,排除 A,B,D.故选 C. 答案 C

函数图象的识辨可从以下方面入手: (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置; (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. 利用上述方法,排除、筛选错误与正确的选项.
【变式训练 6】(2010· 山东)函数 y=2x-x2 的图象大致是( ).

解析 当 x>0 时,2x=x2 有两根 x=2,4;当 x<0 时,根据图象法易得到 y=2x 与 y=x2 有一个交点,则 y=2x-x2 在 R 上有 3 个零点,故排除 B、C;当 x→-∞时,2x→0.而 x2→+∞,故 y=2x-x2<0,故选 A. 答案 A

考点三:函数图象的应用 【例 7】已知函数 f(x)=|x2-4x+3|. (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合 M={m|使方程 f(x)=m 有四个不相等的实根}. [审题视点] 作出函数图象,由图象观察. 解
2 ? ??x-2? -1, x∈?-∞,1]∪[3,+∞?, f(x)=? 2 ?-?x-2? +1, x∈?1,3?, ?

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中国教育培训领军品牌 作出图象如图所示.

(1)递增区间为[1,2]和[3,+∞),递减区间为(-∞,1]和[2,3]. (2)由图象可知,y=f(x)与 y =m 图象,有四个不同的交点,则 0<m<1, ∴集合 M={m|0<m<1}.

(1)从图象的左右分布,分析函数的定义域;从图象的上下分布,分析函数的值域;从图象的 最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势, 分析函数的单调性、周期性等. (2)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,比如判断方程是否有解,有多少个解?数形结合是 常用的思想方法.
【变式训练 7】 (2010· 湖北)若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x2有公共点,则 b 的取值范围是( A.[-1,1+2 2] C.[1-2 2,3] B.[1-2 2,1+2 2] D.[1- 2,3] ).

解析 在同一坐标系下画出曲线 y=3- 4x-x2(注:该曲线是以点 C(2,3)为圆

心、2 为半径的圆不在直线 y=3 上方的部分)与直线 y=x 的图象,平移该直线,结合图形分析可知,当直线沿 y 轴正 方向平移到点(0,3)的过程中的任何位置相应的直线与曲线 y=3- 4x-x2都有公共点;注意到与 y=x 平行且过点(0,3) 的直线的方程是 y=x+3;当直线 y=x+b 与以点 C(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切时(圆不在直线 y=3 上方的部分), |2-3+b| 有 =2,b=1-2 2.结合图形可知,满足题意的只有 C 选项. 2 答案 C

考点四:高考常考的函数图象题型

【例 8】

x (2011· 山东)函数 y= -2sin x 的图象大致是( 2

).

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二、图象平移问题 一般地,平移按“左加右减,上正下负”进行函数式的变换. 【示例】 ? (2011· 郑州模拟)若函数 f(x)=kax-a x(a>0 且 a≠1)在(-∞, +∞)上既是奇函数又是增函数, 则 g(x)=loga(x


+k)的图象是(

).

三、图象对称问题 (2011· 厦门质检)函数 y=log2|x|的图象大致是( ).

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回顾小结
( ) (2 分钟)

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