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2015高中数学 1.1.1算法的概念总结 新人教A版必修3


1.1.1

算法的概念(结)
算法的概念

[例 1] 下列语句表述为算法的是(

)

①从济南到巴黎,可以先乘火车到北京,再坐飞机抵达; 1 ②利用公式 S= ah 计算底为 1,高为 2 的三角形的面积; 2 1 ③ x>2x+4; 2 ④求 M(1,2)与 N(-3,-5)两点连线的方程,可先求 M,N 的斜率, 再利用点斜式方程求得. A.①②③ C.①②④ B.①③④ D.②③④

[自主解答] 算法是解决问题的步骤与过程,这个问题并不仅仅限于数学问题,①②④都表达了一种 算法. [答案] C ————— 算法具有如下特点: 确定性:算法中的每一步都应该是确定的,并且能有效地执行得到确定的结果,而不能含糊其 辞,含有歧义. (2)有限性:对于一个算法来说,它的操作步骤必须是有限的,必须在有限的步骤之内完成. (3)普遍性:一个算法通常设计成能解决一类问题,不是仅仅解决一个单独问题. (4)不唯一性:解决一个问题可能有多个算法,但有优劣之分,其中操作简单、步骤少且能解决一类 问题的算法称为最优算法. ————————————————————————————————————— —————————————

1.下列关于算法的描述正确的是( A.算法与求解一个问题的方法相同

)

B.算法只能解决一个问题、不能重复使用 C.算法的过程要一步一步操作,每步操作必须确切 D.有的算法执行完后,可能无结果 答案 :C 算法的设计 [例 2] 已知长方体的长、宽、高分别为 a、b、h 设计算法求其体积. [自主解答] 算法如下:
1

第一步,输入长方体的长 a、宽 b、高 h. 第二 步:计算 V=abh. 第三步:输出 V. ————— —————————————

设计一个具体问题的算法,通常按以下步骤: 认真分析问题,找出解决此题的一般数学方法; 借助有关变量或参数对算法加以表述; 将解决问题的过程划分为若干步骤; 用简练的语言将这个步骤表示出来. ——————————————————————————————————————

2.解关于 x 的方程 ax+2=0(a∈R)写出算法. 解:第一步:移项得 ax=-2, 2 第二步:当 a≠0 时,x=- ,输出 x,

a

当 a=0,输出方程无根. 非数值性算法的设计 [例 3] 各种比赛在计算选手最后得分时,要去掉所有评委对该选手所打分数中的最高分和最低分, 试设计一个找出最高分的算法. [自主解答] 算法如下: 第一步,先假定其中一个为“最高分”. 第二步, 将第二个分数与“ 最高分”比较, 如果它比“最高分”还高, 就假定这个分数为“最高分”; 否则“最高分”不变. 第三步,如果还有其他分数,重复第二步. 第四步,一直到没有可比的分数为止,这时假定的“最高分”就是所有评委打分中的最高分. ————— —————————————

对于非数值性问题,应当首先建立过程模型,根据过程设计步骤,完成算法,在设计算法时应简洁、 清晰,要善于分析任何可能出现的情况以体现思维的严谨性. ——————————————————————————————————————

3.据《中国体育报》报道:对参与竞选的 5 个夏季奥林匹克运动会申办城市进行表决的操作程序是: 首先进行第一轮投票,如果有一个城市得票数超过总票数的一半,那么该城市将获得举办权;如果所有申 办城市得票数都不超过总票数的一半,则将得票最少的城市淘 汰,然后进行第二轮投票;如果第二轮投票 仍没选出主办城市,将进行第三轮投票,如此重复投票,直到选出一个主办城市为止,写出投票过程的算

2

法. 解:算法如下: 第一步,投票. 第二 步,统计票数,如果一个城市得票数 超过总票数的一半,那么该城市就获得主办权,否则淘汰得 票数最少的城市转第一步. 第三步,宣布主办城市.

? ?3x-2y=14 ①, 写出求方程组? ?x+y=-2 ② ?

的解的算法. 1 2 14 ) + ② , 得 到 ( + 1)y = - 2 - ,即方程组可化为 3 3 3

解 : 法 一 : 第 一 步 , ① ×( -

?3x-2y=14, ? 20 ?5 y=- ; ③ ? 3 ?3



第二步,解方程③可得 y=-4;④ 第三步,将④代入②,可得 x-4=-2,x=2; 第四步,输出 2,-4. 算法二:第一步,由②式可以得到 x=-2-y ⑤. 第二步,把 x =-2-y 代入①,得到 y=-4. 第三步,把 y=-4 代入⑤,得 x=2. 第四步,输出 2,-4.

1.算法的有穷性是指( A.算法的最后必包含输出

)

B.算法中每个操作步骤都是可执行的 C.算法 的步骤必须有限 D.以上说 法均不正确 答案:C 2.在用二分法求方程零点的算法中,下列说法正确的是( A.这个算法可以求所有的零点 B.这个算法可以求任何方程的零点 )

3

C.这个算法能求所有零点的近似解 D.这 个算法可以求变号零点的近似解 解析:二分法的理论依据是函数的零点存在定理,它解决的是求变号零点的问题,并不能求所有零点 的近似值. 答案:D 3.下列所给问题中,不可以设计一个算法求解的是( A.求 1+2+3+?+10 的和 B.解方程组?
? ?x+y+5=0 ?x-y+3=0 ?

)

C.求半径为 3 的圆的面积 D.判断 y=x 在 R 上的单调性 答案:D 4.已知一个学生的语文成绩为 89,数学成绩为 96,外语成绩为 99.求他的总分和平均分的一个算法 为: 第一步,令 A=89 ,B=96,C=99. 第二步,计算总分 S=____①__ __. 第三步,计算平均分 M=____②____. 第四步,输出 S 和 M. 答案:①A+B+C ② 3 5.给出下面的算法: 第一步,输入 x. 第二步,判断 x 是否小于 0,若是,则输出 x+2,否则执行第三步. 第三步,输出 x-1. 当输入的 x 的值分别为-1,0,1 时,输出的结果分别为________、________、________. 解析:该算法实际上是分段函数
? x≥0, ?x-1, f(x)=? ?x+2, x<0, ?
2

S

∴f(-1)=-1+2=1,f(0)=0-1=-1,

f(1)=1-1=0.
答案:1 -1 0 6.写出一个算法,求底面边长为 4 2,侧棱长为 5 的正四棱锥的体积. 解:如图 算法一:S1 令 a=4 2,l=5;
4

S2 S3 S4 S5 S6

计算 R= 2· ; 2 计算 h= l -R ; 计算 S=a ; 1 计算 V= Sh; 3 输出运算结果 V.
2 2 2

a

算法二:S1 令 a=4 2,l=5; S2 S3 1 2 计算 V= a 3

a2 l2- ;
2

输出运算结果 V.

5



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