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高三周考文科数学第二次


莘县一中高三质量检测文科数学
第Ⅰ卷 选择题(共 50 分)

2015.5.18

7.一个组合体的主视图和左视图相同,如右图, 其体积为 22? ,则图中的 x 为 A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5

3

x

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 要求的. 1.已知集合 A ? {x | A. (??,1]

8. x 为实数, [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为 A.增函数 9.双曲线 y 2 ? B.周期函数 C.奇函数 D.偶函数 4

x ? 0, x ? R} , B ? { y | y ? 2 x ? 1, x ? R} ,则 CR ( A ? B) ? x ?1
B. (??,1) C. (0,1] D. [0,1]

2.若复数 z 满足 (2 ? i) z ? 1 ? 2i(i 是虚数单位) ,则 z 的共轭复数所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A. 4 2

x2 则以双曲线的两条渐近线与抛物线 y 2 ? mx 的交点为顶点的三 ? 1的离心率 e ? 3 , m

角形的面积为 3.已知 A, B, C 是不共线的三点,则“ AB ? CA ? 0 ”是“ ?ABC 是钝角三角形”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 开始 B. 12 2 C. 8 2 D.16 2

4.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为

10 A. 11

36 B. 55

5 C. 11

72 D. 55

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 10.已知函数 f ( x) ? ? ,若 | f ( x) |? 2ax ,则 a 的取值范围是 ?ln( x ? 1), x ? 0
A. (??, 0] B. [?2,1] C. [?2, 0] D. [?1, 0]

i ?1 S ?0

5.若 a ? b ? c ,则函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? ( x ? b)( x ? c) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应题的横线上. 否 11.已知 x, y 的取值如下表:

?( x ? c)( x ? a) 的两个零点分别位于区间
A. (??, a) 和 ( a, b) 内 C. (b, c ) 和 (c, ??) 内 B. (??, a) 和 (c, ??) 内

i?9


x
输出 S 结束

2

3 3 .8
?

4

5 6 .5
.

D. ( a, b) 和 (b, c ) 内

S?S?

1 i(i ? 2)

y

2 .2

5 .5

?x ? 0 ? 6. 若 不 等 式 组 ? x ? 3 y ? 4 , 所 表 示 的 平 面 区 域 被 直 线 ?3 x ? y ? 4 ?
y ? kx ? 3 A. 7 4 分为面积相等的两部分,则 k = 3 4 7 B. C. 3 3

从散点图分析, y 与 x 线性相关,且回归方程为 y ? 1.46x ? a ,则实数 a 的值为

i ? i ?1

2 2 12. 若在 [?5,5] 内任取一个实数 a ,则使 x ? y ? a ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 无公共点的概率



.

3 D. 4

13.已知 ?ABC 中,设三个内角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 a ? 1, b ? 则c = .

3, A ?

?
6

,

1

14.设 e1 , e2 为单位向量,非零向量 a ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角为 于 .

? |x| ,则 的最大值等 4 |a|

19.已知四边形 ABCD 满足 AD // BC , BA ? AD ? DC ?

1 BC ? a , E 是 BC 的中点,将 ?BAE 沿 2

着 AE 翻折成 ?B1 AE ,使面 B1 AE ? 面 AECD , F , G 分别为

15.已知椭圆的左焦点为 F ,右焦点为 F2 .若椭圆上存在一点 P ,满足线段 PF2 相切于以椭圆的短轴 1

B1D , AE 的中点.
为直径的圆,切点为线段 PF2 的中点,则该椭圆的离心率为 . (Ⅰ)求三棱锥 E ? ACB1 的体积; (Ⅱ)证明: B1E ∥平面 ACF ; 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤. 16.已知 m ? (1, 2), n ? (cos 2 x, cos 2 ), 且 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ)在 ?ABC 中,若 f ( A) ? 1,求 A 的大小; (Ⅱ)若 g ( x) ? f ( x) ? 2 cos2 x ? 3 sin x ,将 g ( x) 图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来 的 2 倍,得到 h( x) 的图像,求 h( x) 的单调减区间. 17.某区体育局组织篮球技能大赛,每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛,每名选手在各项比赛 中获得合格与不合格的机会相等,且互不影响.现有 A, B, C , D, E, F 六名选手参加比赛,体育局根据比 赛成绩对前 2 名选手进行表彰奖励. (Ⅰ)求 A 至少获得一个合格的概率; (Ⅱ)求 A 与 B 只有一个受到表彰奖励的概率. 18.已知数列 {an } 是各项均为正数的等差数列,首项 a1 ? 1 ,其前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 是等比数列, 首项 b1 ? 2 ,且 b2 S2 ? 16, b3S3 ? 72 . (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ) 令 c1 ? 1, c2k ? a2k ?1 , c2k ?1 ? a2k ? kbk , 其中 k ? 1,2,3? , 求数列 {cn } 的前 2n ? 1 项和 T2 n?1 . 21.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好经过抛物线 x2 ? 4 3 y 的准线,且 经过点 P ( ?1, ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 的方程为 x ? ?4 . AB 是经过椭圆左焦点 F 的任一弦,设直线 AB 与直线 l 相交于点

x 2

(Ⅲ) 证明: 平面 B1GD ? 平面 B1DC

a ? x ? ln x , a ? R . x (Ⅰ)设曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,求此切线方程; 1 2 x ? x(b ? R且b ? 0) ,求函数 g ( x) 在定义域内的极值 (Ⅱ)当 a ? 0 时,令函数 g ( x) ? f ( x) ? 2b
20.已知函数 f ( x ) ? 点; (Ⅲ)令 h ( x ) ?

a ? x ,对 ?x1 , x2 ? [1,??) 且 x1 ? x 2 ,都有 h( x1 ) ? h( x2 ) ? ln x2 ? ln x1 成立,求 a x

的取值范围.

3 2

M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 .试探索 k1 , k2 , k3 之间有怎样的关系式?给出证明过程.

2

高三文数学参考答案
一、 ADABD, CBBCD

2015.5

{C, D},{C, E},{C, F} , {D, E},{D, F } , {E , F } 共15 个

??? 8 分

A 与 B 只有一个受到表彰奖励的结果为 { A, C},{ A, D},{ A, E},{ A, F} ,

二、11. ?0.61

12.

3 5

13. 1 或 2

14. 2

15.
2

5 3

{B, C},{B, D},{B, E},{B, F} 共 8 种
则 A 与 B 只有一个受到表彰奖励的概率为 P ?

??? 10 分

x ? 2 cos 2 x ? cos x , 三、16.解: (Ⅰ)由题意 f ( x) ? m ? n ? cos 2 x ? 2 cos 2

8 . 15

??? 12 分

? f ( A) ? 2 cos A ? cos A ? 1 ,
2

18.解:(Ⅰ)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d ? 0 , 依题意有 ?

???2 分 ??? 4 分 ??? 6 分

1 ? cos A ? 或 cos A ? ?1 , 2

?b2 S 2 ? 2q (2 ? d ) ? 16
2 ?b3 S 3 ? 2q (3 ? 3d ) ? 72



???2 分

? A ? (0, ? ) ,? A ?

?

3

.
2

(Ⅱ)? g ( x) ? f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin x ?

3 sin x ? cos x ? 2 sin( x ?

?
6

) ,? 7 分

1 ? 由题意 h( x ) ? 2 sin( x ? ) , 2 6 ? 1 ? 3? 由 2k? ? ? x ? ? 2k? ? ,k ?Z , 2 2 6 2 2? 8? ? x ? 4k? ? 得 4k? ? ,k ?Z 3 3 2? 8? ,4k? ? ] , k ? Z . ? h( x) 的单调减区间[4k? ? 3 3

2 ? ?d ? 2 ? d ? ? 解得: ? 或? , 3 (舍去) ?q ? 2 ? q ? 6 ? ? an ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 2 ? 2n?1 ? 2n .
(Ⅱ) T2n?1 ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c2n?1

??? 4 分 ??? 6 分

??? 8 分

? T2n?1 ? c1 ? a1 ? (a2 ? b1 ) ? a3 ? (a4 ? 2b2 ) ? ? ? a2n?1 ? (a2n ? nbn )
??? 11 分 ??? 12 分

? 1 ? S 2n ? (b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ) ,
令 M n ? b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n

??? 7 分 ①

17. 解: (Ⅰ)记 A 运球,传球,投篮合格分别记为 W1 ,W2 ,W3 ,不合格为 W 1 ,W 2 ,W3 则 A 参赛的所有可能的结果为

? 2M n ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? n ? 2 n?1


n ?1

? ①-②得: ? M n ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? n ? 2
2 n

{W1,W2 ,W3},{W1,W2 ,W3}{W1,W2 ,W3}{W1,W2 ,W3} {W1,W2 ,W3},{W1,W2 ,W3}{W1,W2 ,W3},{W1,W2 ,W3} 共 8 种,
由上可知 A 至少获得一个合格对应的可能结果为 7 种, 所以 A 至少获得一个合格的概率为 P ? (Ⅱ)所有受到表彰奖励可能的结果为 ??? 3 分 ??? 4 分

2 ? 2 n?1 ? ? n ? 2 n?1 ? (1 ? n)2 n ?1 ? 2 1? 2

7 . 8

??? 9 分 ? M n ? (n ? 1)2n?1 ? 2 2n(1 ? 4n ? 1) ? S 2n ? ? 4n 2 , ??? 10 分 2 ?T2n?1 ? 1 ? 4n 2 ? (n ? 1)2n?1 ? 2 ? 3 ? 4n 2 ? (n ? 1)2n?1 . ??? 12 分 19 . 解 ( Ⅰ ) 由 题 意 知 , AD // EC 且 AD ? EC , 所 以 四 边 形 ADCE 为 平 行 四 边 形 ,

??? 6 分

? AE ? DC ? a,??ABE 为等边三角形,
3

{ A, B},{ A, C},{ A, D},{ A, E},{ A, F} , {B, C},{B, D},{B, E},{B, F}

??AEC ? 120?,? S?AEC

1 3 2 ? a 2 sin120? ? a ????1 分 2 4

x
g ' ( x)
O

(0, b )

b
0
极大值

( b ,??)
-

?
?

连结 B1G ,则 B1G ? AE ,又平面 B1 AE ? 平面 AECD 交线

g ( x)

?
??? 7 分

3 a AE,? B1G ? 平面 AECD 且 B1G ? 2 ?VE ? ACB1 ? VB1 ? AEC

???2 分

? g ( x) 的极大值点为 b ,无极小值点;
综上:当 b ? 0 时, g ( x) 在定义域内无极值;

1 1 3 3 2 a3 ? B1G ? S?AEC ? ? a? a ? ??4 分 3 3 2 4 8

当 b ? 0 时, g ( x) 的极大值点为 b ,无极小值点. ?? 8 分 (Ⅲ)? h ( x ) ?

(Ⅱ)连接 ED 交 AC 于 O ,连接 OF ,∵ AEDC 为菱形,且 F 为 B1D 的中点, ∴ FO ∥ B1E , 又 B1E ? 面 ACF , FO ? 平面 ACF ,∴ B1E ∥平面 ACF ???6 分 ???8 分

a ? x ,对 ?x1 , x2 ? [1,??) 且 x1 ? x 2 , x

?

a a a a ? x1 ? x2 ? ? ln x2 ? ln x1 ,? ? x1 ? ln x1 ? ? x2 ? ln x2 , x1 x2 x1 x2
?? 9 分

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,等价于 f ( x) 在 x ? [1,??) 上为增函数,

(Ⅲ)连结 GD ,则 DG ? AE ,又 B1G ? AE, B1G GD ? G,? AE ? 平面 B1GD .?10 分 又 AE // DC,? DC ? 平面 B1GD ,又 DC ? 平面 B1DC ∴平面 B1GD ? 平面 B1DC .???12 分

? f ' ( x) ? ?

a 1 x2 ? x ? a ? 1 ? ? ? 0 在 x ? [1,??) 上恒成立,?? 10 分 x x2 x2 2 即 a ? x ? x 在 x ? [1,??) 上恒成立, ?? 11 分
令 y ? x 2 ? x ,只需 a ? y min 即可

a 1 20.解:(Ⅰ)由题意知: f ( x) ? ? 2 ? 1 ? , ??? 1 分 x x 1 5 7 ??? 2 分 ? k ? f ' (1) ? ?a ? 2 ? ? ,? a ? ,切点为 (1, ) 2 2 2 7 1 ?? 3 分 ? 此切线方程为 y ? ? ? ( x ? 1) ,即 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 2 2 1 2 1 2 x ? x ? ln x ? x ,定义域为 x ? (0,??) , (Ⅱ)当 a ? 0 时, g ( x) ? x ? ln x ? 2b 2b
'

? y 在 x ? [1,??) 上为增函数,

? 当 x ? 1 时, y min ? 2 , ?a ? 2 .
21.解: (Ⅰ)设 C 方程为

?? 12 分 ?? 13 分

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,因为抛物线 x2 ? 4 3 y 的准线 2 a b
????1 分

y ? ? 3 ,?b ? 3
由 P ( ?1, ) 点在椭圆上,?

? g ' ( x) ?

1 x b?x ? ? x b bx

2

??? 4 分

3 2

1 9 ? ? 1,? a 2 ? 4 2 a 4?3
????4 分

???3 分

' ① 当 b ? 0 时,? g ( x) ? 0 恒成立,? g ( x) 在 x ? (0,??) 上为增函数,

? g ( x) 在定义域内无极值;

??? 5 分

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

' ② 当 b ? 0 时,令 g ( x) ? 0 ,? x ? b 或 x ? - b (舍去) ,

(Ⅱ)由题意知,直线 AB 的斜率存在.
4

F (?1,0),? 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,代入
得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (?4, ?3k ) 由韦达定理得 x1 ? x2 ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

????5 分

?8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? . ????6 分 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

3 3 3 y2 ? ? 3k 1 2 2 2 , k2 ? , k3 ? ?k? 由题意知 k1 ? x1 ? 1 x2 ? 1 ?1 ? 4 2 y1 ?

???9 分

3 1 3 1 ), k2 ? k ? ( ), y1 ? k ( x1 ? 1), y2 ? k ( x2 ? 1) ,代人 k1 , k2 得 k1 ? k ? ( 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 x1 ? x2 ? 2 3 1 1 3 ? k1 ? k2 ? 2k ? ( ? ) ? 2k ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
??11 分

?8k 2 ? 8k 2 ? 6 3 4k 2 ? 3 ? 2k ? ? 2k ? 1 2 2 4k ? 12 ? 8k 2 ? 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

???13 分

? k1 ? k2 ? 2k3

???14 分

5


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