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70东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--函数的图象专题B


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)专题复习 70B

函数的图象专题(学案)B 一、知识梳理: 1.函数图象 (1)作图方法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变 换法,掌握这两种方法是本讲座的重点。 作函数图象的步骤:① 确定函数的定义域;② 化简函数的解析式;③ 讨论函数的性 质即单调性、 奇偶性、 周期性、 最值 (甚至变化趋势) ④ ; 描点连线, 画出函数的图象。 运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线,要把表列 在关键处,要把线连在恰当处 这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化 趋势等作一个大概的研究。而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手 段,是一个难点,用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变 换,以及确定怎样的变换,这也是个难点。 (2)三种图象变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等等; ① 平移变换:
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Ⅰ 、水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向 向左 (a ? 0) 或向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x+h);2)y=f(x) ? y=f(x?h); Ⅱ 、竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向 向上 (a ? 0) 或向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; 1)y=f(x) ? y=f(x)+h;2)y=f(x) ? y=f(x)?h 。
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左移 h

右移 h

上移 h

下移 h

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② 对称变换: Ⅰ 、函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; y=f(x) ? y=f(?x) Ⅱ 、函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; y=f(x) ? y= ?f(x) Ⅲ 函数 y ? ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; 、
x轴

y轴

1

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y=f(x) ? y= ?f(?x) Ⅳ 、函数 x ? f ( y ) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到。
直线 y ? x

原点

y=f(x)

? x=f(y)

Ⅴ 、函数 y ? f (2a ? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 对称
直线 x? a

即可得到;y=f(x) ③ 翻折变换:

? y=f(2a?x)。

Ⅰ 、函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻 折到 x 轴上方,去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到;
y

y=f(x)

y

y=|f(x)|

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

Ⅱ 函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左 、 边替代原 y 轴左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部分即可得到
y
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y=f(x)

y

y=f(|x|)

a

o

b

c

x

a

o

b

c

x

④ 伸缩变换: (选讲 4-4 坐标系) Ⅰ 函数 y ? af ( x) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点横坐标 、 不变纵坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的 a 倍得到;y=f(x) ? y=af(x)
y? a

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Ⅱ、函数 y ? f (ax) (a ? 0) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像中的每一点纵坐 标不变横坐标伸长 (a ? 1) 或压缩( 0 ? a ? 1 )为原来的
x? a 1 倍得到。 y=f(x) ? a

y=f( ax )

Ⅲ、设点 p(x,y)是平面直角坐标系一的任意一点,在变换 x ’ = λ ? x(λ > 0) ’ φ: 的作用下, p 点 (x, 对就到p(x ’ , ’ ) 称φ为平面 y) y , ’ y = μ ? y(μ > 0) 直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
(3)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面。 2.幂函数

y ? x ? (? ? 0,1) 在第一象限的图象,可分为如图中的三类:
? ?1
0?? ?1

? ?0

如右图,在考查学生对幂函数性的掌握和运用 函数的性质解决问题时, 所涉及的幂函数 y ? x 中
1 1 1 1 ? 限于在集合{-2,-1,1,2,3,2, 3,? 2,? 3}中取值。

?

幂函数有如下性质: ⑴ 它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限, 且除原点外与坐标轴都不相交; ⑵ 定义域为 R 或(-∞, 0)∪ (0, +∞)的幂函数都具 有奇偶性, 定义域为R+或[0, +∞)的幂函数都不具有 奇偶性;
? ⑶ 幂函数 y ? x (? ? 0) 都是无界函数;在第一象限中,当 ? ? 0 时为减函数,

当 ? ? 0 时为增函数; ⑷ 任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1) ,至多有三个公共点;

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二、题型探究 [探究一]:作函数图像
例 1. (2012 沈阳二中阶段考试)如图所示,单位圆中弧 AB 的长为 x,f(x)表示弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积的2倍,则函数 y=f(x)的图象是( )

A

B

C

D )

b x 例 2. 在下列图象中, 二次函数 y=ax2+bx 与指数函数 y= ( )的图象只可能是 ( a

[探究二]:函数图像的识别 例 3.某地一年内的气温 Q(t ) (单位:℃ )与时间 t (月份)之间的关系如图所示,已知该 年的平均气温为 10℃ ,令 C (t ) 表示时间段 ?0,t ? 的平均气温, C (t ) 与 t 之间的函数关 系用下图表示,则正确的应该是( )

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例 4.一般地,家庭用电量(千瓦时)与气温(℃ )有一定的关系,如图 2—1 所示, 图(1)表示某年 12 个月中每月的平均气温.图(2)表示某家庭在这年 12 个月中每 个月的用电量.根据这些信息,以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中,正 确的是( )

A.气温最高时,用电量最多 B.气温最低时,用电量最少 C.当气温大于某一值时,用电量随气温增高而增加 D.当气温小于某一值时,用电量随气温渐低而增加 [探究三]:函数的图象变换 例 5.函数 y=1-

1 的图象是( x ?1



例 6. 在同一平面直角坐标系中, 函数 y ? f (x) 和 y ? g (x) 的图象关于直线 y ? x 对 称。现将 y ? g (x) 的图象沿 x 轴向左平移 2 个单位,再沿 y 轴向上平移 1 个单位, 所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图 2 所示) 则函数 f (x) 的表达式为 , ( )

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? A. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ?

?2 x ? 2,?1 ? x ? 0 ? B. f ( x) ? ? x ? 2 ? 2,0 ? x ? 2 ?

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?2 x ? 2,1 ? x ? 2 ? C. f ( x) ? ? x ? 2 ? 1,2 ? x ? 4 ?
[探究四]:函数图象应用

?2 x ? 6,1 ? x ? 2 ? D. f ( x) ? ? x ? 2 ? 3,2 ? x ? 4 ?

例 7.函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像如下图:则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的图像 可能是( )
y y=f(x) o x
o y y=g(x) x

y

y
x

y
x
B

y x
C
y

o

o

o

o
D

x

A

例 8.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象如图,求 b 的 范围。

o

1

2

x

[探究五]:函数图像变换的应用 例 9.已知 0 ? a ? 1 ,方程 a| x| ?| loga x | 的实根个数为( A.2 B.3
2



D.2 或 3 或 4 b 例 10. f ( x) ?| 2 ? x | , a ? b ? 0 , f ( ) ?f ( ) , ab 的取值范围是 设 若 且 a 则 ( C.4



A. (0 , 2)

B. (0 , 2]

C. (0 , 4]

D. (0 , 2)

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[探究六]:幂函数概念及性质 例 11.函数 y ? x
m n

(m, n ? Z , m ? 0, | m |, | n |


y

互质)图像如图所示,则( A. m n ? 0, m, n 均为奇数 B. m n ? 0, m, n 一奇一偶 C. m n ? 0, m, n 均为奇数 D. m n ? 0, m, n 一奇一偶 例 12.画出函数 y ?

O

x

3 ? 2x 的图象,试分析其性质。 x ?3

[探究七]:抽象函数问题 例 13 . 函 数 f (x) 的 定 义 域 为 D : {x | x ? 0} 且 满 足 对 于 任 意 x1 , x2 ? D , 有
f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

(Ⅰ )求 f (1) 的值; (Ⅱ )判断 f (x) 的奇偶性并证明; (Ⅲ )如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3, 且f ( x)在(0,??) 上是增函数, 求 x 的取值范围。

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例 14.设函数 f ( x)在(??,??) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x), f (7 ? x) ? f (7 ? x) , 且在闭区间[0,7]上,只有 f (1) ? f (3) ? 0. (Ⅰ )试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; (Ⅱ )试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间[-2005,2005]上的根的个数,并证明你的结论。

例 15.定义在 R 上的函数 f(x),f(0)≠ o ,当 x>0 时, f(x)>1,且对任意的 a、b∈ R,有 f(a+b)=f(a)?f(b). (1)求证:f(0)=1; (2)求证:对任意 x∈ R,f(x)> 0; (3)证明:f(x)是 R 上的增函数。

[探究八]:函数图象综合问题 例 16.如图,点 A、B、C 都在函数 y= x 的图象上,它们的横坐标分别是 a、a+1、 a+2。又 A、B、C 在 x 轴上的射影分别是 A′、B′、C′,记△AB′C 的面积为 f(a),△A′BC′ 的面积为 g(a)。 (1)求函数 f(a)和 g(a)的表达式; (2)比较 f(a)与 g(a)的大小,并证明你的结论。

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例 17. 设曲线 C 的方程是 y ? x ? x , C 沿 x 轴、y 轴正方向分别平移 t 、s (t ? 0) 将
3

个单位长度后得到曲线 C1 , (1)写出曲线 C1 的方程; (2)证明曲线 C 与 C1 关于点 A( , ) 对称; (3)如果曲线 C 与 C1 有且仅有一个公共点,证明: s ?

t s 2 2

t2 ?t 4

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三、方法提升
函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合, 有效地揭示了各类函数和 定义域、 值域、 单调性、 奇偶性、 周期性等基本属性, 体现了数形结合的特征与方法, 为此,既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形,又要熟练 地掌握函数图象的平移变换、对称变换。 常见的函数数字特征有: (1)函数奇偶性: 奇函数 f (? x) ? ? f ( x) ;偶函数 f (? x) ? f ( x) 。 (2)函数单调性: 单调递增

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 ; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 或 ( x1 ? x2 )( f ( x1 ) ? f ( x2 )) ? 0 。 x1 ? x2

单调递增

(3)函数周期性

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周期为 T : f ( x ? T ) ? f ( x) 或 f ( x ? (4)对称性

T T ) ? f (x ? ) ; 2 2

关于 y 轴对称: f (? x) ? f ( x) ;关于原点对称: f (? x) ? ? f ( x) ; 关于直线 x ? a 对称: f (a ? x) ? f (a ? x) 或 f ( x) ? f (2a ? x) ; 关于点 ( a, b) 对称: f ( x) ? 2b ? f (2a ? x) 或 f (a ? x) ? b ? b ? f (a ? x) 。 四、思想感悟

五、课时作业: 函数图象 一、 选择题 1、 y ? ( x) ? 1 ? 1 ? x 2

(?1 ? x ? 0) 则 y ? f ?1 ( x) 的图象是()

B 2、 y ? ? x cos x 的部分图象是()

A

C

D

3.函数 y=ln

1 的图象为( |2x-3|

)

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4.下列函数的图像中,经过平移或翻折后不能与函数 y=log2x 的图象重合 的函数是( ) 1 4x 1 A.y=2x B.y=log2x C.y= 2 D.y=log2 x+1 5.若函数 f(x)在(4,+∞)上为减函数,且对任意的 x∈R,有 f(4+x)=f(4 -x),则( ) A.f(2)>f(3) B.f(2)>f(5) C.f(3)>f(5) D.f(3)>f(6) 6.(2009· 安徽)设 a<b,函数 y=(x-a)2(x-b)的图象可能是(

)

7. 已知下图①的图象对应的函数为 y=f(x), 则图②的图象对应的函数在下 列给出的四式中,只可能是( )

C.y=f(-|x|) 1 8.(2010· 江南十校联考)函数 f(x)= 的图象是( 1+|x|

A.y=f(|x|)

B.y=|f(x)|

D.y=-f(|x|) )

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9.已知函数 f(x)的定义域为[a,b],函数 y=f(x)的图象如下图所示,则函 数 f(|x|)的图象大致是( )

10.若对任意 x∈R,不等式|x|≥ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.a<-1 B.|a|≤1 C.|a|<1 D.a≥1 11.f(x)定义域为 R,对任意 x∈R,满足 f(x)=f(4-x)且当 x∈[ 2,+∞) 时,f(x)为减函数,则( ) A. f(0)<f(1)<f(5) B. f(1)<f(5)<f(0) C. f(5)<f(0)<f(1) D. f(5)<f(1)<f(0)
12.已知 lga+lgb=0,函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是( )

二、填空题 1 13.若函数 y=(2)|1-x|+m 的图像与 x 轴有公共点,则 m 的取值范围是 ________.

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14.若直线 y=x+m 和曲线 y= 1-x2有两个不同的交点,则 m 的取值范 围是________. 15.设函数 f(x)、g(x)的定义域分别为 F、G,且 F? G.若对任意的 x∈F, 都有 g(x)=f(x), 则称 g(x)为 f(x)在 G 上的一个“延拓函数”. 已知函数 f(x) 1x =(2) (x≤0),若 g(x)为 f(x)在 R 上的一个延拓函数,且 g(x)是偶函数,则 函数 g(x)的解析式为________. π 16. (2010· 福建)已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对 ? ?
π 称轴完全相同.若 x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ?

三、解答题
17、作出下列函数的图象 (1) y ? ( ) 、 (2) y ? o 、 g l (3) y ? 、

1 2

x

2

( x ? 1)

2x ? 1 x ?1

(4) y ? x ? 1 ? 2x ? 1 、

(5) 、y=a|x-1| (6) 、y=log|?x-1?| a (7) 、y=|loga(x-1)|(a>1).

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18.已知函数 f(x)=|x -4x+3| (1)求函数 f(x)的单调区间,并指出其增减性; (2)若关于 x 的方程 f(x)-a=x 至少有三个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围.

2

19、已知函数 y ? f (x) 的定义域为 R 并且满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) (1)证明: y ? f (x) 的图象关于直线 x ? 2 对称。 (2)若 f (x) 又是偶函数且 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? 2 x ? 1 求 x ? ?? 4,0? 时求 f (x) 表达 式。

20 : 如 图 A 、 B 、 C 、 为 函 数 y ? lo g1 x 的 图 象 上 三 点 , 它 们 的 横 坐 标 分 别 是
3

t、t ? 2、t ? 4(t ? 1) 。
(1)设 ?ABC 的面积为 S ,求 S ? f (t ) 最大值。 (2)判断函数 S ? F (t ) 的单调性并求

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2 21:已知 f ( x) ? ax ? bx ? c (

1 ? a ? 1) 的图象过 A(0,1) 且在该点处的切线与直线 3

2 x ? y ? 1 ? 0 平行。
(1)、求 b, c 值 (2) 、 设 f ( x)在? ,3? 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 M (a), N (a) , 试 求 1

F (a) ? M (a) ? N (a) 表达式。
(3)、在(2)的条件下,当 a 在区间 ? , 上变化时,证明: 3a ? 2 ? F (a) 1?
2

?1 ? ?2 ?

π 1 1 22、 (2010· 山东)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin?2+φ?(0<φ<π ), 其图象过 ? 2 2 ? π 1 点?6,2?. ? ? (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 2 π y=g(x)的图象,求函数 g(x)在?0,4?上的最大值和最小值. ? ?

15


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