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2010年高考新课标全国卷理科数学试题及答案


2010 年高考新课标全国卷理科数学试题及答案
( 宁夏、吉林、黑龙江、海南)

(新课标)理科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(24) 题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2、 选择题答案使用 2B 铅笔填涂, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 k.Com]

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式[来源:Z。xx。

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R 2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第 1 页 共 22 页

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 (1)已知集合 A ? {x | x | ? 2, x ? R } }, B ? {x | (A)(0,2) (2)已知复数 z ? (B)[0,2]

x ? 4, x ? Z} ,则 A ? B ?
(D){0,1,2}

(C){0,2]

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = (1 ? 3i)2
B.

A.

1 4

1 2

C.1

D.2

(3)曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2
(B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

(A)y=2x+1

(4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ) ,角速度 为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

y
P

o
P0

2

x

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(5)已知命题

p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数,
p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数,
则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ? p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,真命 题是 (A) q1 , q3 (B) q2 , q3 (C) q1 , q4 (D) q2 , q4

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需
第 2 页 共 22 页

再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400

(7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于

5 4 6 (C) 5
(A)

4 5 5 (D) 6
(B)

(8)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? (A) {x | x ? ?2或x ? 4} (C) {x | x ? 0或x ? 6} (B) {x | x ? 0或x ? 4} (D) {x | x ? ?2或x ? 2}

(9)若 cos ? ? ?

4 , ? 是第三象限的角,则 5

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?

2

(A) ?

1 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) -2

(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为 (A) ? a
2

(B)

7 2 ?a 3

(C)

11 2 ?a 3

(D) 5? a

2

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? ( 11)已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
abc 的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)

(12)已知双曲线 E 的中心为原点, F (3, 0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为

(A)

x2 y 2 ? ?1 3 6 x2 y 2 ? ?1 6 3

(B)

x2 y 2 ? ?1 4 5 x2 y 2 ? ?1 5 4

(C)

(D)

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都 必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设 y ? f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用随机模拟方法 近似计算积分

?

1

0

先产生两组 (每组 N 个) 区间 [0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 ,…xN 和 f ( x)dx ,

y1, y2 ,…yN , 由 此 得 到 N 个 点 ( x1 , y1 )(i ? 1, 2,…,N ) , 再 数 出 其 中 满 足 y1 ? f ( x1 )(i ? 1, 2,…,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可得积分 ? f ( x)dx 的近似值
0 1





(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方程为____ (16)在△ABC 中, D 为边 BC 上一点, BD=

1 DC,? ADB=120°, AD=2, 2

若△ADC 的面积为 3 ? 3 ,则 ? BAC=_______
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三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3? 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn (18)(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面为等腰梯形,AB ? CD,AC ? BD, 垂足为 H,PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中点 (1) 证明:PE ? BC (2) 若 ? APB= ? ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的 正弦值

P

C D H E A B

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(19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老 年人,结果如下: 是否需要志愿 需要 不需要 性别 男 40 160 女 30 270

(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2) 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3) 根据(2)的结论,能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人,需要志愿帮助的 老年人的比例?说明理由 附:

P( K 2 ? k )
k
K2 ?

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

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(20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 y 2 i ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过F 1 斜率为 1 的直线 与 a 2 b2

E 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列。
(1)求 E 的离心率; (2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? PB ,求 E 的方程 (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e ?1 ? x ? ax 。
x 2

(1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围

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请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

? ,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: 如图,已经圆上的弧 ? AC ? BD
(Ⅰ)∠ACE=∠BCD; (Ⅱ)BC =BF×CD。
2

D

C

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B

A

E

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方 程 已知直线 C1 ? (Ⅰ)当 ? =

?x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? (t 为参数) ,C2 ? ( ? 为参数) , ? y ? t sin ? ? y ? sin ?

? 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; 3

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。
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(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选项 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 4 | ?1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图像 (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ ax 的解集非空,求 a 的
8 6 4 2

y

5

4

3

2

1
1

o
1 2

取值范围。

1

2

4

6

x

3

4

5

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标)理科数学试题参考答案
一、 选择题 (1)D (7)D (2)A (8)B (3)A (9)A (4)C (10)B (5)C (11)C (6)B (12)B

(1) 已知集合 A ? {| x | ? 2, x ? R } }, B ? {x | (A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2]

x ? 4, x ? Z} ,则 A ? B ?
(D){0,1,2}

解析: A ? {x ?2 ? x ? 2}, B ? {0,1,2,3,4} , ?A ? B={0,1,2} ,选 D 命题意图:考察集合的基本运算 (2)已知复数 z ?

3 ?i , z 是 z 的共轭复数,则 z ? z = (1 ? 3i)2
B.

A.

1 4

1 2

C.1

D.2

解析: z ?

3 ?i 3 ?i ?4 3 ? 4i ? 3 ? i ? ? ? 16 4 (1 ? 3i)2 ?2 ? 2 3i
? 3 ? i ? 3? i 1 ? ? ,所以选 A 4 4 4

z ?z ?

命题意图:考察复数的四则运算 (3)曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2
(B)y=2x-1 C y=-2x-3 D.y=-2x-2

(A)y=2x+1 解析:? y ?
'

2 ,? k ? y ' |x ??1 ? 2 ,所以点(-1,-1)处的切线方程为 y=2x+1, ( x ? 2)2

命题意图:考察导数的几何意义 (4)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2 ,- 2 ) ,角 速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致为

y
P

o
P0

2

x

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解析:法一:排除法 取点 t ? 0时, d ? 2 ,排除 A、D,又当点 P 刚从 t=0 开始运动,d 是 关于 t 的减函数,所以排除 B,选 C 法二:构建关系式 x 轴非负半轴到 OP 的角 ? ? t ?

?
4

,由三角函数的定义可知

y p ? 2sin(t ? ) ,所以 d ? 2sin(t ? ) ,选 C 4 4
命题意图:考察三角函数的定义及图像 (5)已知命题

?

?

p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数,
则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ? p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,真命题是 (A) q1 , q3 (B) q2 , q3
x

(C) q1 , q4

(D) q2 , q4

解析:对于 p1 : y ? 2 ?

1 显然在 R 为增函数,命题为真 2x 1 1 x ' x ?x x 对于 p2 : y ? 2 ? x , y ? 2 ln 2 ? 2 ln 2 ? (2 ? x ) ln 2 2 2
当 x ? 0时,y' ? 0, y单调递减,x ? 0时,y' ? 0, y单调递增 ,命题为假 对于 p2 ,也可通过复合函数单调性法则,分解为简单函数 t ? 2 , y ? t ? 处理
x

1 t

利用复合命题真值表,显然 p1 ? p2 , p1 ? ? ? p2 ? 为真命题,选 C 命题意图:复合命题真假判断为背景考察函数的单调性 (6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子,每粒需 再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (B)200 (C)300 (D)400

解析:设发芽的粒数为 ? , 则? ~ B(1000,0.9),? E? ? 900 又 X ? (1000 ? ? ) ? 2 ? ?2? ? 2000,? EX ? ?2E? ? 2000 ? 200 ,选 B 命题意图:考察二项分布期望公式及公式 E (a? ? b) ? aE? ? b (7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于 (A)

5 4

(B)

4 6 (C) 5 5

(D)

5 6

第 8 页 共 22 页

解析: S ?

1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
所以选 D

命题意图:以算法为背景考察裂项相消求和 (8)设偶函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? (A) {x | x ? ?2或x ? 4} (C) {x | x ? 0或x ? 6} (B) {x | x ? 0或x ? 4} (D) {x | x ? ?2或x ? 2}

解析: 当x ? 0时,由f ( x) ? x3 ? 8 ? 0得x ? 2

又f ( x)为偶函数, ? f ( x) ? 0时x ? 2或x ? ?2 ? f ( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ? 2或x ? 2 ? ?2,即x ? 4或x ? 0 ,选 B
另法: (特征分析法)偶函数 f ( x ) 的图像关于 y 轴对称,函数 y ? f ( x ? 2) 的图形必关于直 线 x ? 2 对称,由此可知不等式 f ( x ? 2) ? 0 的解集应该关于 2 对称。符合这一条件的选项 只有 B,故选 B.

命题意图:利用函数性质解不等式

4 (9)若 cos ? ? ? , ? 是第三象限的角,则 5
(A) ?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?

2

1 2

(B)

1 2

(C) 2

(D) -2

解析:?? 是第三象限的角,?

?
2

是第二或四象限角

又 cos ? ?

cos 2 cos 2

? ?
2

? sin 2 ? sin 2

? ?
2 ? 2

2

2 ? ? 4 , 化简得 tan 2 ? ? 9,? tan ? ? ?3 ? 5 2 2 1 ? tan 2 2

1 ? tan 2

?

1 ? tan


?

2 ? ? 1 ,选 A ? 2 1 ? tan 2

命题意图:考察三角函数的化简求值
第 9 页 共 22 页

(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该球的表面 积为 (A) ? a
2

(B)
2 2

7 2 ?a 3
2 2

(C)

11 2 ? a (D) 5? a 2 3

解析: R ? OB ? OE ? BE ?

a2 a2 7 2 ? ? a 4 3 12

7 ? S ? 4? a 2 ? ? a 2 3
命题意图:考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? ( 11)已知函数 f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等,且 f ( a) ? f (b) ? f (c), 则 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2
abc 的取值范围是
(A) (1,10) (B) (5, 6) (C) (10,12) (D) (20, 24)

解析: a, b, c 互不相等,不妨设 a ? b ? c

由f (a) ? f (b), 得 ? lg a ? lg b,即ab=1
? abc ? c ,显然 10 ? c ? 12
所以选 C 命题意图:考察数形结合思想,利用图像处理函数与方程问题 (12)已知双曲线 E 的中心为原点, F (3, 0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ?1 (A) 3 6 4 5
解析:设双曲线方程为

x2 y 2 ? ?1 (C) 6 3

x2 y 2 ? ?1 (D) 5 4

x2 y 2 ? 2 ? 1,即b2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b2 , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 2 a b
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

由 b x1 ? a y1 ? a b , b x2 ? a y2 ? a b 得 b ( x1 ? x2 ) ? a ( y1 ? y2 )
2 2 2 2

( y1 ? y2 ) ?0 ( x1 ? x2 )

又中点N(-12,-15),kAB =kPN ,? -12b2 +15a2 ? 0即4b2 =5a2 , b2 +a 2 ? 9
所以 a ? 4, b =5 ,选 B
2 2

命题意图:利用点差法处理弦中点与斜率问题

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二、填空题 (13)

N1 N

(14)三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分) (16)60°

(15) ( x ? 3)2 ? y 2 ? 2

(13)设 y ? f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用随机模拟方法 近似计算积分

?

1

0

先产生两组 (每组 N 个) 区间 [0,1] 上的均匀随机数 x1 , x2 ,…xN 和 f ( x)dx ,

y1, y2 ,…yN , 由 此 得 到 N 个 点 ( x1 , y1 )(i ? 1, 2,…,N ) , 再 数 出 其 中 满 足 y1 ? f ( x1 )(i ? 1, 2,…,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可得积分 ? f ( x)dx 的近似值
0 1





N1 N

(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) 【解析】可以从①三棱锥、②四棱锥、③五棱锥、④三棱柱、⑤圆锥、…… 中任选填 三个就可以了。 (15) 过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B (2,1) , 则圆 C 的方程为 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 2

? 解析: 设圆心 O (a, b) ,借助图形可知 a ? 3 ,又 OB与切线垂直,

b ?1 ? ?1即b ? 0 3? 2

r ? OB ? 2,?圆C的方程为( x ? 2)2 ? y2 ? 2
(16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= 积为 3 ? 3 ,则 ? BAC=_______ 解析:

1 DC, ? ADB=120°,AD=2,若△ADC 的面 2

1 3 S? ADC ? AD ? DC ? =3 ? 3, ? CD= 3-1,BD=2 3-2 2 2
在△ADC, AC= AD2 +DC2 -2AD ? DC ? COS60? =3 2- 6 在△ADB, AB= AD2 +BD2 -2AD ? BD ? COS120? = 6 所以,在△ABC 中,由余弦定理的

AB2 +AC2 -BC2 1 = , ? BAC=60° cos ? BAC= 2AB ? AC 2

第 11 页 共 22 页

另 法 : 作 AE ⊥ BE 于 E , 由 ? ADB=120 ° , AD=2 知 DE=1,AE=

3 ,从而有
A

1 ? 3 ?D E ? 3 ? 2

3 ? D E ? 2 ( 3? 1)

所以 BD= 3 ? 1 , BE= ( 3 ?1) ?1 ? 3 ,EC= 2 3 ? 3 , 所以 ?BAE ?

?
4

, tan ?CAE ? 2 ? 3 ,
0 0

2

3 E C

所以 tan ?BAC ? tan(

?
4

? ?EAC ) ? 3 ? ?BAC ?

?
3

.

B

120 60 D 1

------------------------------------------------------------------------------------

2010 年全国高考课标数学解析
题号 答案 1 D 2 A 3 A 4 C 5 C 6 B 7 D 8 B 9 A 10 B 11 C 12 B

1. D 解析:本题考查了集合的运算、绝对值不等式的解法。 ∵ A ? {x | ?2 ? x ? 2}, B ? {0,1, 2,?,16},∴ A ? B ? {0,1, 2} 2. A 解 析 : 本 题 考 查 了 复 数 的 共 轭 复 数 、 复 数 的 基 本 运 算 。 ∵ z z ? z , ∴
2

z ?

3 ?i (1 ? 3i)2
2 ( x ? 2) 2

?

1 2 1 ? ,∴ z z ? 4 4 2

3. A 解析:本题考查了导数的运算、导数的几何意义求切线方程。 ∵ y? ?
x ??1

? 2 ,∴切线方程为 y ? 2 x ? 1

4. C 解析:本题考查了三角函数图象及其应用。

?xOP0 ? ∵初始位置为 P 0 ( 2, ? 2) ,

?
4

,角速度 ? ? 1 , P 到 x 轴的距离为∴

? ? y ? 2 sin( x ? ) ,其周期 T ? ? ,∵当 x ? 时,∴ y ? 0 ,且 x ? 0 时, y ? 2 , 4 4
故选 C 5. C 解析:本题考查了函数的单调性、简易逻辑的基础知识 ∵y?2 ?
x

1 1 x 在 R 上是增函数,∴ p1 真命题, ?p1 假命题,∵ y ? 2 ? x ? 2 ,当 x 2 2

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且仅当 x ? 0 时函数有最小值,y ? 2 ?
x

1 在 R 既不是增函数也不是减函数, ∴ p2 假 2x

命题, ?p2 真命题,∴ p1 ? p2 为真命题, p1 ? p2 为假命题, ?p1 ? p2 为假命题,

p1 ? ?p2 为真命题,故选 C
6. B 解析:本题考查了概率分布列的二项分布及数学期望的基础知识。 ∵需要补种为事件 ? ,其概率 p ? 0.1 ,其服从二项分布, n ? 1000 ,数学期望∴

E? ? np ? 100 ,∴补种要 2 粒,∴ EX ? 200
7. D 解析:本题考查了算法的流程图、数列求和的基础知识 列出关于 S k 的表格如下 k S 1
1 1? 2

2
1 1 ? 1? 2 2 ? 3

3
1 1 1 ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4

4
1 1 1 1 ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

5
1 1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6

∵从表格可得当 k=5 时,∴ S ?

1 1 1 1 1 1 5 ? ? ? ? ? 1 ? ? ,故选 D 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 6 6

8. B 解 析 : 本 题 考 查 了 函 数 的 奇 偶 性 、 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 的 基 础 知 识 。 ∵

x ? 0, f ( x) ? x3 ? 8 ,∴ f ?( x) ? 2 x ? 0 ,∴ f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数,∵ f ( x) 为
偶 函 数 , ∴ f ( x) ? f ( x ) , ∵ f (2) ? 0 , f ( x ? 2) ? f ( x ? 2 ) ? 0 ? f (2) , ∴

x ? 2 ? 2 ,∴ x ? 0或x ? 4
9. A 解析:本题考查了同角三角函数关系、二倍角的正弦余弦公式。

? sin ) 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 1 ? sin ? ,cos ? ? ? 4 ,? 为第 ∵ ? ? ? ? ? 5 cos ? 1 ? tan cos ? sin cos 2 ? sin 2 2 2 2 2 2 cos (cos
三象限角,∴ sin ? ? ?

1 ? tan

?

?

? sin

?

?

?

3 , 5

1 ? tan

2 ? 1 ? sin ? ? ? 1 cos ? 2 1 ? tan 2

?

?

10.B 解析:本题考查了空间直线与平面、直三棱柱、球的表面积公式。 ∵三棱柱内接于球,且各棱都相等,则上下底面的截面圆的圆心 连线过球心 O,且 ON=

1 a ,N 为截面圆的圆心且为底面正三角形的 2
AN=











2 3 AE ? a 3 3









径 A

O N

C E B

OA2 ? AN 2 ? ON 2 ?

7 2 7 a ,∴球的表面积为 4? OA2 ? ? a 2 12 3

11.C 解析:本题考查了对数函数图象、分段函数的基本知识
第 13 页 共 22 页

a1 b

10 c 12

作出函数图象如下,∵ a, b, c 不相等,∴不妨设 a ? b ? c , f (a) ? f (b) ? f (c) ? t ,所以 与函数 y ? t 与 f ( x ) 三个交点即如图所示, c 的取值范围为 (10,12),∵ a , b 是

1 y ? lg x 与 y ? t 的两个交点的横坐标,∴ lg a ? lg b ,∴ a ? , ab ? 1 ,∴ abc b
的取值范围为 (10,12)

x2 y 2 12. B 解析:A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 , ∵AB 过 F, N, ∴斜率 k AB ? 1 a b

2 2 ( x ? x )( x ? x ) ( y ? y )( y ? y2 ) x12 y12 x2 y2 ? 0 ,∴ ? ? 1, ? ?1 ,∴两式差有 1 2 2 1 2 ? 1 2 2 1 2 2 2 2 a b a b a b

4b2 ? 5a 2 ,又∵ a 2 ? b 2 ? 9 ,∴ a2 ? 4, b2 ? 5 ,故选 B
1 N1 ,解析:本题考查了几何概型、定积分的基本概念及几何意义。 ? f ( x)dx ? S1 , 0 N S N x, y ? [0,1] ,其构成的边长 1 的正方形面积 S ,由古典概型知 1 ? 1 , S ? 1 , S N 1 N1 S1 ? ? f ( x)dx ? 0 N

13.

14.三棱锥 解析:本题考查了立体几何的三视图的基础知识,直观的想象可知几何体为三 棱锥 15. ( x ? 3) ? y ? 2 解析:本题考查了圆的标准方程、直线的垂直、直线与圆的位置关
2 2

系到的基础知识 ∵直线 x ? y ? 1 ? 0 与圆切于点(2,1) ,∴圆心在过切点且垂直于直线 x ? y ? 1 ? 0 的 直线上,该直线为 x ? y ? 3 ? 0 ,∵圆过点(4,1) , (2,1) ,∴圆心在这两点的垂直平 分线 x ? 3 上,圆心为(3,0) ,∴圆方程为 ( x ? 3) ? y ? 2
2 2

16. 60 解析本题考查了正弦定理、余弦定理的基础知识。 ∵

?

1 AD?DC sin 60? ? 3 ? 3 , ∴ 2 1 DC ? 2( 3 ?1) , BD ? DC ? 3 ? 1 ,∵在三角形 2 S?ACD ?
2

A

ABD 中由余弦定理 AB ? 6 ,在三角形 ACD 中由余弦 定理 AC ? 24 ?12 3 ,在三角形 ABC 中由余弦定理
2

B

D

C

第 14 页 共 22 页

cos ?BAC ?

6 ? 24 ? 12 3 ? 36 ? 18 3 2 6 24 ? 12 3

?

6 3 ?6 2 6 24 ? 12 3

?

6? 3 ? 6 2 24 ? 12 3

?

24 ? 12 3 1 ? , ?BAC ? 60? 4(24 ? 12 3) 2

另法:作 AE⊥BE 于 E,由 ? ADB=120°,AD=2 知 DE=1,AE= 3 , 从而有 ? 3 ?DE ? 3 ? 3 ? DE ? 2( 3 ? 1) 所以 BD= 3 ? 1 , BE= ( 3 ?1) ?1 ? 3 ,EC= 2 3 ? 3 , 所以 ?BAE ?

1 2

A

?
4

, tan ?CAE ? 2 ? 3 ,
0

2

3 E C

所以 tan ?BAC ? tan(

?
4

? ?EAC ) ? 3 ? ?BAC ?

?
3

.

120 600 B D 1

三、解答题 (17)解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ?? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22n?1 ? 22n?3 ? ? ? 2) ? 2
? 22( n ?1) ?1 。
而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ?? n ? 22n?1
从而
3 5 7 22 ? Sn ? 1 ? 2 ? ? 2 2 ? ?3 ? 2?? n ? n? 2



2 1②

①-②得

(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ?? 22n?1 ? n ? 22n?1 。
第 15 页 共 22 页



1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9
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(18)解: 以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴,线段 HA 的长为单 位长, 建立空间直角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0)

P

C D H E A B

1 m D( 0 m , , 0E ), ( , , 0). 2 2 1 m ,n ) BC , ? m( ? , 1 , 0 ) . 可得 PE ? ( , ? 2 2 m m 因为 PE ? BC ? ? ? 0 ? 0 2 2
则 所以

P E? B C
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z
P

(Ⅱ)由已知条件可得

m??

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3 3 1 3 D( 0 ? , , 0E ), ? ( , 3 2 6
第 16 页 共 22 页

C D

,P0 ) ,

( 0 , 0 , 1)
E A

H

B

y

x

设 n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量



? ?n ? H E? ,o ? ? ?n ? H P? ,o

? 1 x ? 3 y ?0 ?2 6 即? ? ? z?0

因此可以取 n ? (1, 3,0) , 由 PA ? (1,0, ?1) ,

??? ?

可得

? ? ?? 2 c o sP A n , ? 4 2 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为

(19)解: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中,需要 帮助的老年人的比例的估算值为 (2) K ?
2

70 ? 14% 500

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160)2 ? 9.967 。 200 ? 300 ? 70 ? 430

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据能看出该 地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在调查时, 先确定该地区 老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽 样方法更好. (20.)解: (I)由椭圆定义知 AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2 , 得 AB ?

4 a 3

l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a2 ? b2 。

第 17 页 共 22 页

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组

?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 2 ? a b2
2 2 2 2 2 2 2 化简的 a ? b x ? 2a cx ? a c ? b ? 0

?

?

?

?

a 2 ? c 2 ? b2 ? ?2a 2c 则 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? a ? b2 a 2 ? b2
因为直线 AB 斜率为 1,所以 AB ?
2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?



4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 2 3 a ?b

所以 E 的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知

x0 ?

c x1 ? x2 ?a 2 c 2 ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 3 2 a ?b 3

由 PA ? PB ,得 kPN ? ?1 , 即

y0 ? 1 ? ?1 x0

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 2, b ? 3

故椭圆 E 的方程为

x2 y 2 ? ? 1。 18 9
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(21)解:
x x (1) a ? 0 时, f ( x) ? e ? 1 ? x , f '( x) ? e ?1 .

当 x ? (??,0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x ) 在 (??, 0) 单调减 少,在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e ?1 ? 2ax
x

第 18 页 共 22 页

由(I)知 e ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
x

f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,
从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ?

1 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 2

于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e x ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e? x ? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ?

1 时, 2

f '( x) ? ex ?1 ? 2a(e? x ?1) ? e? x (ex ?1)(ex ? 2a) ,
故当 x ? (0, ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0, ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 (??, ] .

1 2

(22)解:

? , (I)因为 ? AC ? BC
所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC , 所以 ?ACE ? ?BCD . (II)因为 ?ECB ? ?CDB, ?EBC ? ?BCD ,

D

C

B

A

BC CD ? 所以 ?BDC ∽ ?ECB ,故 , BE BC
即 BC ? BE ? CD .
2

E

(23)解: (Ⅰ)当 ? ? 方程组 ?

?
3
2

时, C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , C2 的普通方程为 x ? y ? 1。联立
2 2

? ? y ? 3( x ? 1) ? ?x ? y ? 1
2

? ,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0), ? ,

?1 ?2 ?

3? ?。 2 ? ?

第 19 页 共 22 页

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。
2 A 点坐标为 sin ? ? cos ? sin ? ,

?

?

故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为:

1 ? x ? sin 2 ? ? ? 2 ??为参数 ? ? 1 ? y ? ? sin ? cos ? ? ? 2
P 点轨迹的普通方程为 ( x ? ) ? y ?
2 2

1 4

1 。 16

故 P 点轨迹是圆心为 ? , 0 ? ,半径为

?1 ?4

? ?

1 的圆。 4

(24) 解:
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(Ⅰ)由于 f ( x) ? ?

??2 x ? 5, x ? 2 则函数 y ? f ( x) 的图像如图所示。 ?2 x ? 3, x ? 2
y
8 7

6

5

4

3

2

1
1 8 6 4 2

o
1 2

1

2

4

6

x

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 a ?

1 或 a ? 2 时,函数 2
8 7

y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点。故不等
式 f ( x) ? ax 的解集非空时, a 的取值范围为

y

6

5

4

3

第 20 页 共 22 页
8 6 4 2

2

1
1

o
1 2

1

2

4

6

x

1 (??, ?2) ? [ , ??) 学子 http://www.wxckt.cn 特级教师王新敞 wxckt@126.com 2

理科数学点评
从今年的试卷和考生反映来看,2010 年新课标全国高考数学试卷(吉林、黑龙江、宁夏 卷)与 2009 年全国高考数学试卷(宁夏、海南卷)结构相同。选择题比去年全国二卷容易,填 空题基本同去年全国二卷持平,解答题中的立体几何、解析几何比去年略难。选答题的三个 题中参数方程的题比平面几何和不等式的题略难。 2010 年新课标全国高考数学试卷(吉林、黑龙江、宁夏卷)有以下特点: 第一,立足教材,紧扣考纲 试卷中所有考题无一超纲。选择题、填空题中半数源于课本,解答题中的 17 题、19 题 也都源于课本。17 题是考查数列内容,突出了累加法求通项,倍差法求和的基本方法。 第二,突出基础,强化综合 试卷考查了集合、复数、函数奇偶性、定积分、三视图、数学期望、直线与平面所成的 角等概念。 第 7 题体现了算法与数列求和的综合,第 11 题体现了对数函数与一次函数、方程与不 等式的综合, 第 13 题体现了定积分与随机模拟方法的综合, 第 19 题体现了抽样方法与独立 性检验的综合。 第三,着意思维,能力立意 试卷对能力的考查全面且重点突出,特别对空间想象能力、推理论证能力、运算求解能 力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的要求更高。第 14 题对学生的空间想象能力要 求适度,第 18 则对学生的空间想象能力要求过高,第 13 题、第 19 题对学生的数学据处理 能力及应用意识要求恰到好处,第 14 题、第 19 题都有一定的开放度,很好的考查了学生的 创新意识。第 16 题、第 20 题对学生理性思维能力提出了较高的要求。第 21 题的第二问则
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很好地考查了学生的推理与论证能力。 第 18 题为: 已知四棱锥 P—ABCD 的底面为等腰梯形, AB//CD,AC⊥BD,垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 中点。(1)证明 PE⊥BC;(2)若∠APB= ∠ADB=60 度,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值。这道题是解答题的第 2 题,命题者本 意不想难为学生,但实际上此题的确难住了很多学生,个中原因值得我们深思。一方面此题 对空间想象能力的要求有点脱离学生与教材的实际, 另一方面平时训练的过分模式化也是导 致学生应变能力差的原因。第 21 题的函数是一个指数函数与一个含有参数的二次函数的代 数和,第一问给定参数的值,求单调区间,属于基本题,第二问是恒成立问题,求参数的取 值范围,与 2006、2008 年导数题的第二问类似,对推理论证能力有较高要求,有一定难度, 想得满分也不容易。 第四,体现课改,注重创新 对教材新增内容的考查全面, 且难易适度, 既体现了基础知识的与时俱进又有利于中学 数学教学,对算法、三视图、抽样方法与独立性检验、几何概率与定积分概念均考查到位, 试卷中共有 3 道小题、2 道大题考查新课程内容,共计 37 分。第 14 题、第 19 题开放式的 设问是一种创新,第 18 题、第 21 题的背景新也是一种创新。第 14 题考的是三视图,原题 为:正视图为一个三角形的几何体可以是____(写出三种)难度适中,有一定创新性。19 题 考查了抽样方法与独立性检验的初步应用。 原题为: 为调查某地区老年人是否需要志愿者提 供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老人,结果如下: (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论, 能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中, 需要志愿者提 供帮助的老年人的比例?说明理由。(卡方表略) 本题是必修三与选修 2—3 的结合,(1)、(2)问只要系统复习就没有问题,第(3)问则需 要对课本中各种抽样方法熟练掌握,才能答好。通过这道题,命题人向我们诠释了考纲对新 课程对统计的要求。 三道选答题,分别是平面几何,参数方程以及绝对值不等式,平面几 何、绝对值不等式相当于平时训练题的水平,学生比较容易上手,参数方程的第二问考查求 轨迹,则有一定难度,学生选此题不易得满分。因此,合理的选择也是对学生能力的检验。 纵观今年高考教学试题,它紧扣数学科考试大纲,强调基础与能力并重、继承与创新并 举, 实现了从旧课程高考数学卷向新课程高考数学卷的平稳过渡。 为新课程的教学起到了积 极的引领作用。不足之处是:可能是命题者对新课程的教材及学习新课程的学生了解不够, 导致解答题第 2 题对立体几何的要求与教材和学生的实际不符,从而影响了多数考生的发 挥。

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