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新课标全国卷近五年数列高考题


17. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn -1,其中 λ 为常数. (1)证明:an+2-an=λ. (2)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 17.解:(1)证明:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1, 两式相减得 an+1(an+2-an)=λan+1. 因为 an+1≠0,所以 an+2-an=λ. (2)由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得 a2=λ-1, 由(1)知,a3=λ+1. 若{an}为等差数列,则 2a2=a1+a3,解得 λ=4,故 an+2-an=4. 由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列, a2n-1=4n-3; {a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n=4n-1. 所以 an=2n-1,an+1-an=2. 因此存在 λ=4,使得数列{an}为等差数列. [2014· 新课标全国卷 2]17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 =1, an?1 ? 3an ? 1 . (Ⅰ)证明 an ? 1 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式;

?

2

?

(Ⅱ)证明: 1 ? 1 ? …+ 1 ? 3 .

a1

a2

an

2

【答案】 【解析】 (1)

(1) 无

(2) 无

? a1 = 1, an+1 = 3an + 1.n ∈ N * . 1 1 1 = 3an + 1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。 2 2 2 ∴ a n+1 +
(2)

1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1 1 1 2 1 = 1, 当n > 1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 3n 3 1 3 ∴ + + + ?+ < 1+ 1 + 2 + ?+ n-1 = = ( 1- n ) < . 1 2 a1 a2 a3 an 3 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + + ?+ < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 2

[2013· 新课标全国卷 1]7.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 ,则

m? (
A.3

) B.4 C.5 D.6

7. 【解析】有题意知 S m =

m(a1 ? am ) =0,∴ a1 =- am =-( S m - S m ?1 )=-2, 2

am ?1 = S m ?1 - S m =3,∴公差 d = am ?1 - am =1,∴3= am ?1 =- 2 ? m ,∴ m =5,故选 C.
[2013· 新课标全国卷 1]12.设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积为 Sn ,

n ? 1, 2,3,

, 若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ?

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则( 2 2

) A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列
12.B

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n - 1}为递减数列, {S2n} 为递增数列

[2013· 新课标全国卷 1]14.若数列{ an }的前 n 项和为 Sn= 是 an =______.
14. 【解析】当 n =1 时, a1 = S1 =

2 1 an ? ,则数列{ an }的通项公式 3 3

2 1 a1 ? ,解得 a1 =1, 3 3

当 n ≥2 时, an = S n

2 1 2 2 1 2 ? S n ?1 = an ? -( an ?1 ? )= an ? an ?1 ,即 an = ?2an ?1 , 3 3 3 3 3 3
n ?1

∴{ an }是首项为 1,公比为-2 的等比数列,∴ an = ( ?2)

.

3.(2013 课标全国Ⅱ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 =( ).

1 A. 3

1 B. 3 ?

1 C. 9

1 D. 9 ?

3. 答案:C 解析:设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3=27,而 a2+10a1= 99,不满足题意,因此 q≠1. ∵q≠1 时,S3=

a1 (1 ? q3 ) =a1·q+10a1, 1? q



1 ? q3 2 =q+10,整理得 q =9. 1? q
4

∵a5=a1·q =9,即 81a1=9,∴a1=

1 . 9

(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最 小值为__________. 16.答案:-49 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10= 10a1+

15 ? 14 d =15a1+105d=25.② 2 2 联立①②,得 a1=-3, d ? , 3 n(n ? 1) 2 1 2 10 ? ? n ? n. 所以 Sn= ?3n ? 2 3 3 3 1 3 10 2 20 n , f '(n) ? n 2 ? n . 令 f(n)=nSn,则 f (n) ? n ? 3 3 3 20 令 f′(n)=0,得 n=0 或 n ? . 3 20 20 20 当n ? 时,f′(n)>0, 0<n < 时,f′(n)<0,所以当 n ? 时,f(n)取最小值,而 3 3 3
S15= 15a1 ? n∈N+,则 f(6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n)取最小值-49.
[2012 新课标全国卷](5)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? ( )

10 ? 9 d =10a1+45d=0,① 2

?

( A) 7
(C ) ??
【解析】选 D

(B) 5
( D ) ??

a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? a4a7 ? ?8 ? a4 ? 4, a7 ? ?2 或 a4 ? ?2, a7 ? 4 a4 ? 4, a7 ? ?2 ? a1 ? ?8, a10 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7 a4 ? ?2, a7 ? 4 ? a10 ? ?8, a1 ? 1 ? a1 ? a10 ? ?7
[2012 新课标全国卷](16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 【解析】 {a n } 的前 60 项和为

1830

可证明: bn?1 ? a4n?1 ? a4n?2 ? a4n?3 ? a4n?4 ? a4n?3 ? a4n?2 ? a4n?2 ? a4n ? 16 ? bn ? 16

b1 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 1 ?0

1 5? 1 4 ? S1 5 1 ?0 1 ?5 ? 2

1 ?6 ? 1830

[2010 新课标全国卷](17) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn

解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,

an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an?1 ) ? ? 3(22n?1 ? 22n?3 ?
? 22( n ?1) ?1 。
而 a1 ? 2,

? (a2 ? a1 )] ? a1

? 2) ? 2

所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22n?1 知

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ?
从而

? n ? 22n?1



3 5 7 22 ? Sn ? 1 ? 2 ? ?2 2 ? ?3? 2 ? n?

n?2

2 1②

①-②得

(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ?


? 22n?1 ? n ? 22n?1 。

1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9


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