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湖北省部分重点中学2016届高三第一次联考数学(理科)试卷(word版)


湖北省部分重点中学 2016 届高三第一次联考

数学(理科)试卷
命题学校:武钢三中 命题教师:黄华 审题教师:张新华 李彩虹
考试时间:2015 年 11 月 6 日上午 8:00-10:00 试卷满分:150 分

★祝考试顺利★
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是满足题目要求的。) 1. 复数 2 ? 3i ( i 为虚数单位)的虚部是( A. ?2 B. 2 C. ? 3i ) D. ?3

2.已知集合 M ? x y ? ln( x ? 3 x ? 4) , N ? y y ?
2

?

?

?

x 2 ? 1 ,则 M ? N =(
D.

?



A.

? ??, ?1?

B.

?0, ???

C.

? 4, ???

? 0, 4 ?

3.已知 l、m、n 是三条不同的直线, ?、? 是两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 l ? m,m ? n ,则 l / / n ; ②若 m ? ? ,n ? ? , ? ? ? ,则 m ? n ; ③若 m / /? ,n / / ? , ? / / ? ,则 m / / n ;④若 l 与 ?、? 所成角相等,且

m ? ? ,n ? ? ,则 l 与 m、n 所成角相等。其中真命题是(



A. ①和② B. ①和③ C. ②和④ D. ①和④ 4.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入 x 值为 ?4 ,则输出 y 值是 A. 7 B. 4 C. ?1 5.双曲线 D. 0

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 , 已知线段 F 1F 被 a 2 b2


点 (b, 0) 分成 3 :1 的两段,则此双曲线的离心率为(

A.

3 2

B.

2 3 3

C.

5 2

D.

2 5 5

6.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6, S3 ?
A. 1 B.

?

3

0

4 xdx, ,则公比 q 的值为
D.

?

1 2

C.

1或 ?

1 2

?1或 ?

1 2

高三年级数学(理科)试卷 第 1 页,共 9 页

7.若第四届好声音最后的 5 人必须与甲、乙、丙 3 个公司中的某一个公司笺约,要求每个公 司至少签约 1 人,最多签约 2 人,则有签约方案( )种 A. 30 B. 60 C. 90 D.180 8. 下列命题中正确的个数是( ) ①命题“ ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 3x0 ”的否定是“ ?x0 ? R, x02 ? 1 ? 3x0 ” ; ②“函数 f ( x) ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周期为 ? ”是“ a ? 1 ”的必要不充分条件; ③ x ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立 ? ( x2 ? 2x)min ? (ax)max 在 x ??1, 2? 上恒成立;
2

④“平面向量 a与b 的夹角是钝角”的充要条件是“ a ? b ? 0 ” 。 A. 1 B. 2 C. 3 D.4

? ?

? ?

9. 已 知 圆 C1 : ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 , 圆 C2 : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 9 , M 、N 分 别 是 圆

C1、C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为(
A. 5 2 ? 4 B.

) D.

17 ?1

C. 6 ? 2 2 )

17

10.函数 f ( x) ? x( x ? c) 2 在 x ? 2 处有极大值,则 c ? (

A. 2 B. 4 C. 6 D.2 或 6 11.已知右图是一个空间几何体的三视图, 则该几何体的外接球的表面积 为( ) A. 8? B. 6? C. 4? D.

12. 若函数 f ( x) ? cos 2x ? a sinx在区间 (

? ? , ) 是减函数,则实数 6 2
D.

8 ? 3

a ?(
A.

) B.

? ??,2?
5

? ??,2?
7

C.

? 4, ???
8
3

?4, ???
.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请将答案填在题中的横线上。 13 在 (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的项的系数是
6

?x ? y ? 0 ?x ? 2 y ? 2 ? 14.若不等式组 ? 表示的平面区域是一个三角形,则实数 a ? ?y ? 0 ? ?x ? y ? a

.

15.已知等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3, a5 ? 9 ,若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 3, bn?1 ? abn ,则 ?bn ? 的通 项公式为 . 16.下列说法中错误 的序号是 .. .

高三年级数学(理科)试卷 第 2 页,共 9 页

①若函数 f ( x) ? ax2 ? (2a ? b) x ? 2, x ??2a ?1, a ? 4? 是偶函数,则 b ? 2 ; ②函数 f ( x) ?

x2 ? 2015 ? 2015 ? x2 既是奇函数又是偶函数;

③已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? ? 0, ??? 时, f ( x) ? x(1? x ) ,则当 x ? R 时,

f ( x) ? x(1? x );
④已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数,且当 x ? ? 0, ??? 时 f ( x ) 单调递增,则 f ( x ) 在 R 上为增函 数; ⑤ 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 不 恒 为 零 的 函 数 , 且 对 ?x, y ? R 都 满 足

f( x ? y ) ? x (f ) ? y

y (f )x f ( x) 是奇函数。 ,则

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 中的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 a ? 2 ,

(a ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C.
(Ⅰ)若 b=2,求 c 边的长; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值,并指明此时三角形的形状。

18.(本小题满分 12 分) 在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AD ? 1, AA 1 ? AB ? 2 ,点 E 是线 段 AB 的中点,点 M 为线段 D1C 上的动点。 , (Ⅰ)当点 M 是 D1C 的中点时,求证直线 BM / /平面D1DE ; (Ⅱ)若点 M 是靠近 C 点的四等分点,求直线 EM 与平面 D1DE 所 成角的大小。

高三年级数学(理科)试卷 第 3 页,共 9 页

19.(本小题满分 12 分) 连 续 抛 掷 同 一 颗 均 匀 的 骰 子 , 令 第 i 次 得 到 的 点 数 为 ai , 若 存 在 正 整 数 k , 使

a1 ? a2 ? ... ? ak ? 6 ,则称 k 为你的幸运数字。
(Ⅰ)求你的幸运数字为 3 的概率; (Ⅱ)若 k ? 1 ,则你的得分为 6 分;若 k ? 2 ,则你的得分为 4 分,或 k ? 3 ,则你的得分 为 2 分;若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记 0 分。求得分 ? 的分而列和数学期望。

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F 1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C 经过点 a 2 b2

4 1 P( , ) 。 3 3
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程。 ? ? AQ AM AN

21. (本小题满分 12 分)

1 ? ln( x ? 1) 的定义域为 ? x x ? 0, x ? R? x 2 2 (Ⅰ)解关于 x 的不等式 f ( x ? 1) ? ; e ?1 k (Ⅱ)若常数 k 是正整数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 恒成立,求 k 的最大值。 x ?1
已知函数 f ( x) ?

高三年级数学(理科)试卷 第 4 页,共 9 页

请考生在第22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(本小题满分10 分)选修4-1 几何证明选讲 如图,过圆外一点 P 作圆的切线 PA(A 为切点) ,再作割线 PC,交圆于点 B,C,若

PA ? 6, AC ? 8, BC ? 9
(Ⅰ)求 PB 的长; (Ⅱ)求 AB 的长。

23.(本小题满分10 分)选修4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标xoy 系中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方 程为 ? cos ? ? 2sin 2? . (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C1 : ?

? x ? 3 ? r cos ? (?为参数) 与曲线 C 所表示的图形都相切,求 r 的值。 ? y ? ?2 ? r sin ?

24.(本小题满分10 分)选修4-5 不等式选讲 已知关于x的不等式 ax ?1 ? ax ? 2a ? 3(a ? 0) (1) 当a=1时,求此不等式的解集; (2) 若此不等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

高三年级数学(理科)试卷 第 5 页,共 9 页

湖北省部分重点中学 2016 届高三第一次联考数学 (理科)试卷参考答案
一、选择题:1~5 DCCDB 6~10 CCAAC 11~12 AB 二、填空题: 13. -121 , 14.

? 4? n ? 0, ? ? ?2,??? , 15. bn ? 2 ? 1 , 16. ④ ? 3?

三、解答题: 17.(I) 由正弦定理得: (a ? b)(a ? b) ? (c ? b)c ,即 a ? b ? c ? bc --------3 分
2 2 2

因为 a ? 2 且 b ? 2 所以 c =2 (II) 由(I)知 cos A ?

---------------------5 分 ------------------7 分

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,则 A ? 60? 2bc 2

2 2 因为 a ? 2 ,? b ? c ? bc ? 4 ? 2bc ? bc ? bc ,

------------------10 分

1 1 ? S ?ABC ? bc sin A ? ? 4 ? sin 60 ? ? 3 ,此时三角形是正三角形 -- -12 分 2 2
18.(I)以 DA 为 x 轴, DC 为 y 轴, DD1 为 z 轴建立空间直角坐标系 ,则

A(1,0,0), B(1,2,0), E(1,1,0),C(0,2,0), D1 (0,0,2)

------------------1 分

? 点 M 是 D1C 的中点,? M (0,1,1) , DE ? (1,1,0), DD1 ? (0,0,2)
设平面 D1DE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ?

?x ? y ? 0 ? n ? (1,?1,0) ? 2z ? 0

----4 分

? BM ? (?1,?1,1) ? BM ? n ? 0 ,则直线 BM //平面 D1DE
(II) 由题有 M (0, , ) ,? EM ? (?1, , ) ,

----------7 分

3 1 2 2

1 1 2 2

[来源:学

1 3 2 , ----------10 分 cos EM , n ? ? ?? 2 1 1 EM ? n 2 ? 1? ? 4 4 EM ? n ?1 ?

? 直线 EM 与平面 D1DE 所成的角为 60?
ZX

-- --------12 分

19.(I) k ? 3 表示三次掷得的点数可以为 1,1,4;1,2,3;2,2,2 这三类 ------2 分

?P ?

1 3 C3 ? A3 ?1 5 ? 3 6 108

---------------5 分

高三年级数学(理科)试卷 第 6 页,共 9 页

-

1 5 P (? ? 4) ? ;---6 分 ;----8 分 6 36 5 70 35 P(? ? 2) ? ? ; P (? ? 0) ? ? 得分 ? 的分布列为: 108 108 54
(II) P(? ? 6) ?

?
P -------10 分 则 E (? ) ? 6 ?

0

2

4

6

35 54

5 108

5 36

1 6

89 1 5 5 ? 4? ? 2? ?0? -------12 分 54 6 36 108
2 2 2 2

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? 20.(I) 解 : 2a ? PF1 ? PF2 ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 ? 3 ? ?3? ? 3 ? ? 3?
以, a ?



2 . ---2 分

又由已知, c ? 1 ,所以椭圆 C 的离心率 e ?

c 1 2 ? ? a 2 2
----5 分

--------4 分

? ?? ? 由 ? ? ? 知椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 2

设点 Q 的坐标为(x,y).

(1) 当直线 l 与 x 轴垂直时 , 直线 l 与椭圆 C 交于 ? 0,1? ,? 0,? 1 ? 两点,此时 Q 点坐标为

1 (0, ) ---6 分 2
(2) 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 将 y ? kx ? 2 代入
2

x2 ? y 2 ? 1 中,得 ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 2



2 由 ? ? ? 8k ? ? 4 ? 2k ? 1 ? 6 ? 0, 得 k ?
2

?

?

3 . 2

---------7 分 , 由 ① 可 知

设 点

M,N

的 坐 标 分 别 为 ②

( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )

x1 ? x2 ? ?

8k 6 , x1 x2 ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1

由平行线分线段成比例定理及 M,N , Q 三点一定在 y 轴的同侧,则有

2 1 1 x1 ? x2 ? ? ? ,9 分 x x1 x2 x1 x2
将 ②带入上式,则有 x ? ?

3 2k



? 点 Q(x,y)在直线 l y ? kx ? 2 上,则有

高三年级数学(理科)试卷 第 7 页,共 9 页

y?

1 2
2

由③及 k ?

? 3 3 6 ? ? 6? 2 ,0 ? ?? 0, ,可知 0 ? x ? ,即 x ? ? ? ? ? ? ? ?. 2 2 ? 2 ? ? 2 ?
? 1 6 6? ,故 x ? ? ? ? 2 , 2 ? ?. 2 ? ? ? 1 6 6? ,其中, x ? ? ? ? 2 , 2 ? ?. 2 ? ?

--------11 分

又 (0, ) 满足 y ?

1 2

所以点 Q 的轨迹方程是 y ? 21.(I)? f ( e ? 1) ?

----------12 分

2 , e ?1

2 可化为 f ( x 2 ? 1) ? f(e ? 1). -----2 分 e?2 1 x 1 1 ? f ' ( x) ? 2 [ ? 1 ? ln( x ? 1)] ? ? 2 [ ? ln( x ? 1)], x x ?1 x x ?1 1 ?当x ? 0时, x 2 ? 0, ? 0, ln( x ? 1) ? 0, f ' ( x) ? 0. x ?1 ? 不等式 f ( x 2 ? 1) ?

?函数f ( x)在区间 (0,??)上是减函数 .

--------4 分

? x 2 ? 1 ? 0, e ?1 ? 0, f ( x 2 ? 1) ? f (e ?1),

? x2 ?1 ? e ?1, 解得 ? e ? 2 ? x ? e ? 2.
? 不等式 f ( x 2 ? 1) ?
分 (II) 当x ? 0时, f ( x) ?

2 的解集为 {x x ? R,? e ? 2 ? x ? e ? 2}. -----6 e?2

k 恒成立,令 x ? 1, 得k ? 2(1 ? ln 2). x ?1
----------8 分

? k ? 3. 又? k为正整数,

下面证明当 k ? 3, x ? 0时, f ( x) ?

k 恒成立 . x ?1
------9 分

即证当x ? 0时, ( x ? 1) ln(x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 0恒成立.

令g ( x) ? ( x ? 1) ln(x ? 1) ? 1 ? 2 x, 则g ' ( x) ? ln(x ? 1) ?1. 当x ? e ?1时,g ' ( x) ? 0, 当0 ? x ? e ?1时,g ' ( x) ? 0. ?当x ? e ?1时,g ( x)取得最小值 g (e ?1) ? 3 ? e ? 0. ------11 分 ?当x ? 0时, ( x ? 1) ln(x ? 1) ? 1 ? 2 x ? 0恒成立.

高三年级数学(理科)试卷 第 8 页,共 9 页

? 正整数 k 的最大值为 3.

--------12 分

22.(Ⅰ)? PA2 ? PB ? PC ? PB ? ( PB ? BC)

?62 ? PB ? ( PB ? 9) ,则 PB ? 3 ;-------5 分
(Ⅱ)? ?PAB ∽ ?PCA ,?

[来源:学

AB PB 3 ? ? ,则 AB ? 4 .-------10 分 CA PA 6

23.(Ⅰ)由 ? cos? ? 2 sin 2? 得 ? cos? ? 4 sin ? ? cos? ,

? cos ? ? 0 或 ? ? 4 sin ? 即 ? cos? ? 0 或 ? 2 ? 4? sin ?
所以曲线 C 的直角坐标方程是: x ? 0 或 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ;-------5 分

(Ⅱ)曲线 C1 的普通方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 ,
又与与曲线C都相切,则有 ?

r ?3 ? ,所以 r ? 3 .-----10分 2 2 2 ?3 ? (2 ? 2) ? (r ? 2)

24.(Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式为 x ?1 ? x ? 2 ? 3 ,由 绝对值的几何意义得 x x ? 3或x ? 0 ; (也可分段处理)

?

?

(Ⅱ)? ax ?1 ? ax ? 2a ? ax ?1? (ax ? 2a) ? 2a ?1 ,又不等式的解集为 R , 则 2a ?1 ? 3 恒成立,? a ? 0 ,则 a ? 2 .

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