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2015-2016学年高中数学 2.2.2第2课时对数函数及其性质的应用学案 新人教A版必修1


第 2 课时

对数函数及其性质的应用

[学习目标] 1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用.

[知识链接] 对数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域 性质 过定点 单调性 奇偶性

(0,+∞) R (1,0),即当 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数

非奇非偶函数

要点一 对数值的大小比较 例 1 比较下列各组中两个值的大小: (1)ln 0.3,ln 2; (2)loga3.1,loga5.2(a>0,且 a≠1); (3)log30.2,log40.2; (4)log3π ,logπ 3. 解 (1)因为函数 y=ln x 是增函数,且 0.3<2, 所以 ln 0.3<ln 2. (2)当 a>1 时, 函数 y=logax 在(0, +∞)上是增函数, 又 3.1<5.2, 所以 loga3.1<loga5.2; 当 0<a<1 时, 函数 y=logax 在(0, +∞)上是减函数, 又 3.1<5.2, 所以 loga3.1>loga5.2.

1

1 1 (3)方法一 因为 0>log0.23>log0.24,所以 < ,即 log30.2<log40.2. log0.23 log0.24 方法二 如图所示,

由图可知 log40.2>log30.2. (4)因为函数 y=log3x 是增函数,且 π >3,所以 log3π >log33=1. 同理,1=logπ π >logπ 3,所以 log3π >logπ 3. 规律方法 比较对数式的大小,主要依据对数函数的单调性. 1.若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行比较. 2.若底数为同一字母,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 3.若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较,也可以利用顺时 针方向底数增大的规律画出函数的图象,再进行比较. 4.若底数与真数都不同,则常借助 1,0 等中间量进行比较. 跟踪演练 1 (1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b (2)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.c>a>b 答案 (1)D (2)B 解析 (1)a=log32<log33=1;c=log23>log22=1, 由对数函数的性质可知 log52<log32, ∴b<a<c,故选 D. (2)a=log23.6=log43.6 ,函数 y=log4x 在(0,+∞)上为增函数,3.6 >3.6>3.2,所以 a >c>b,故选 B. 要点二 对数函数单调性的应用 例 2 求函数 y=log 1 (1-x )的单调增区间,并求函数的最小值.
2
2 2 2

)

)

解 要使 y=log 1 (1-x )有意义,则 1-x >0,
2

2

2

∴x <1,则-1<x<1,因此函数的定义域为(-1,1). 令 t=1-x ,x∈(-1,1).
2

2

2

当 x∈(-1,0]时,x 增大,t 增大,y=log 1 t 减小,
2

∴x∈(-1,0]时,y=log 1 (1-x )是减函数;
2

2

当 x∈[0,1)时,y=log 1 (1-x )是增函数.
2

2

故函数 y=log 1 (1-x )的单调增区间为[0,1),且函数的最小值 ymin=log 1 (1-0 )=0.
2 2

2

2

规律方法 1.求形如 y=logaf(x)的函数的单调区间,一定树立定义域优先意识,即由 f(x) >0,先求定义域. 2.求此类型函数单调区间的两种思路:(1)利用定义求证;(2)借助函数的性质,研究函数 t =f(x)和 y=logat 在定义域上的单调性,从而判定 y=logaf(x)的单调性. 跟踪演练 2 (1)函数 f(x)=|log 1 x|的单调递增区间是(
2

)

? 1? A.?0, ? ? 2?

B.(0,1]

C.(0,+∞) D.[1,+∞)
? ?2 ,x≤1, (2)设函数 f(x)=? ?1-log2x,x>1, ?
1-x

则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(

)

A.[-1,2] B.[0,2] C.[1,+∞) D.[0,+∞) 答案 (1)D (2)D -log x,x≥1, ? ? (1)f(x)=? log x,0<x<1. ? ?
1 2 1 2

解析

当 x≥1 时, t=log 1 x 是减函数, f(x)=-log 1 x
2 2

是增函数. ∴f(x)的单调增区间为[1,+∞).
? ?x≤1, (2)f(x)≤2?? 1-x ?2 ≤2 ? ? ?x>1, 或? ?1-log2x≤2 ?

?0≤x≤1 或 x>1,故选 D.

要点三 对数函数的综合应用 例 3 已知函数 f(x)=loga (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性和单调性. 解 (1)要使此函数有意义,

x+1 (a>0 且 a≠1), x-1

3

则有?

?x+1>0 ? ?x-1>0 ?

或?

?x+1<0, ? ?x-1<0. ?

解得 x>1 或 x<-1, 此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). -x+1 x-1 (2)f(-x)=loga =loga -x-1 x+1 =-loga

x+1 =-f(x). x-1

又由(1)知 f(x)的定义域关于原点对称, ∴f(x)为奇函数.

x+1 2 f(x)=loga =loga(1+ ), x-1 x-1
函数 u=1+ 2 在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减. x-1

所以当 a>1 时,f(x)=loga 当 0<a<1 时,f(x)=loga

x+1 在(-∞,-1),(1,+∞)上递减; x-1

x+1 在(-∞,-1),(1,+∞)上递增. x-1

规律方法 1.判断函数的奇偶性,首先应求出定义域,看是否关于原点对称. 2.求函数的单调区间有两种思路:(1)易得到单调区间的,可用定义法来求证;(2)利用复合 函数的单调性求得单调区间. 1-mx 跟踪演练 3 已知函数 f(x)=loga (a>0,a≠1,m≠1)是奇函数. x-1 (1)求实数 m 的值; (2)探究函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性. 解 (1)由已知条件得 f(-x)+f(x)=0 对定义域中的 x 均成立. ∴loga 即

mx+1 1-mx +loga =0, -x-1 x-1

mx+1 1-mx · =1, -x-1 x-1
2 2 2

∴m x -1=x -1 对定义域中的 x 均成立. ∴m =1,即 m=1(舍去)或 m=-1. 1+x (2)由(1)得 f(x)=loga . x-1 设 t=
2

x+1 x-1+2 2 = =1+ , x-1 x-1 x-1

∴当 x1>x2>1 时,
4

2 2 2?x2-x1? t1-t2= - = <0, x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? ∴t1<t2. 当 a>1 时,logat1<logat2,即 f(x1)<f(x2), ∴当 a>1 时,f(x)在(1,+∞)上是减函数. 同理当 0<a<1 时,f(x)在(1,+∞)上是增函数.

1.函数 y=ln x 的单调递增区间是( A.[e,+∞) B.(0,+∞) C.(-∞,+∞) 答案 B D.[1,+∞)

)

解析 函数 y=ln x 的定义域为(0,+∞),其在(0,+∞)上是增函数,故该函数的单调递 增区间为(0,+∞). 2.设 a=log54,b=(log53) ,c=log45,则( A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c D.b<a<c 答案 D 解析 ∵1=log55>log54>log53>log51=0, ∴1>a=log54>log53>b=(log53) . 又∵c=log45>log44=1.∴c>a>b. 3.函数 f(x)= log 1 ?x-1?的定义域是(
2
2 2

)

)

A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(1,2] 答案 D

x-1>0, ? ? 解析 由题意有?log ?x-1?≥0, 1 ? ? 2

解得 1<x≤2.

? ?log 1 x,x≥1, 2 4.函数 f(x)=? x ? ?2 ,x<1
答案 (-∞,2)

的值域为________.

5

解析 当 x≥1 时,log 1 x≤log 1 1=0,∴当 x≥1 时,f(x)≤0.当 x<1 时,0<2 <2 ,即 0
2 2

x

1

<f(x)<2.因此函数 f(x)的值域为(-∞,2). 5.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

? 1 ? 答案 ?- ,+∞? ? 2 ?
1 解析 要使 y=log5(2x+1)有意义,则 2x+1>0,即 x>- ,而 y=log5u 为(0,+∞)上的 2 1 ? 1 ? 增函数,当 x>- 时,u=2x+1 也为 R 上的增函数,故原函数的单调增区间是?- ,+∞?. 2 ? 2 ?

1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题,其依据是对数函数的单调性.若对数的底数 是字母且范围不明确,一般要分 a>1 和 0<a<1 两类分别求解. 2. 解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则, 同时注意数形结合思想和分 类讨论思想在解决问题中的应用.

一、基础达标

? ? 1 1.若集合 A=?x?log 1 x≥2 ? ?
2

? ?,则?RA 等于( ?

)

A.(-∞,0]∪? B.?

? 2 ? ,+∞? ?2 ?

? 2 ? ,+∞? ?2 ? ? 2 ? ,+∞? ?2 ?

C.(-∞,0]∪? D.?

? 2 ? ,+∞? 2 ? ?

答案 A 1 2 2 解析 log 1 x≥ ,即 log 1 x≥log 1 ,∴0<x≤ , 2 2 2
2 2 2

即 A=?x?0<x≤

? ? ? ?

2 2

? ? ? 2 ?,∴?RA=?x?x≤0,或x> 2 ? ? ?
)

? ?.故选 A. ?

2.设 a=log3π ,b=log2 3,c=log3 2,则( A.a>b>c B.a>c>b

6

C.b>a>c D.b>c>a 答案 A 1 1 ?1 ? ? 1? 解析 a=log3π >1,b=log2 3= log23∈? ,1?,c=log3 2= log32∈?0, ?,故有 a>b 2 2 ?2 ? ? 2? >c. 3.函数 f(x)=logax(0<a<1)在[a ,a]上的最大值是( A.0 B.1 C.2 D.a 答案 C 解析 ∵0<a<1,∴f(x)=logax 在[a ,a]上是减函数, ∴f(x)max=f(a )=logaa =2. 4.函数 f(x)=lg( 1
2 2 2 2 2

)

x +1+x

)的奇偶性是(

)

A.奇函数 B.偶函数 C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数 答案 A 解析 f(x)定义域为 R, ∵f(-x)+f(x) =lg( 1

x +1-x

2

)+lg(

1
2

x +1+x

)

1 =lg 2 2=lg 1=0, ?x +1?-x ∴f(x)为奇函数,选 A. 5.函数 y=log 1 (-x +4x+12)的单调递减区间是(
3
2

)

A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-2,2) D.(-2,6) 答案 C 解析 y=log 1 u,u=-x +4x+12.
3
2

令 u=-x +4x+12>0,得-2<x<6. ∴x∈(-2,2)时,u=-x +4x+12 为增函数, ∵y=log 1 (-x +4x+12)为减函数,
3
2 2

2

∴函数的单调减区间是(-2,2). 1 6.已知定义域为 R 的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,且 f( )=0,则不等式 f(log4x) 2

7

<0 的解集是________. 1 答案 {x| <x<2} 2
? 1 1 1 解析 由题意可知,f(log4x)<0?- <log4x< ?log44 2 <log4x<log44 2 ? <x<2. 2 2 2 1 1

7.已知 f(x)=(log 1 x) -3log 1 x,x∈[2,4].试求 f(x)的最大值与最小值.
2 2

2

解 令 t=log 1 x,
2

3 2 9 2 则 y=t -3t=(t- ) - , 2 4 ∵2≤x≤4,∴log 1 4≤log 1 x≤log 1 2,
2 2 2

即-2≤t≤-1. 3 2 9 可知 y=(t- ) - 在[-2,-1]上单调递减. 2 4 ∴当 t=-2 时,y 取最大值为 10; 当 t=-1 时,y 取最小值为 4. 故 f(x)的最大值为 10,最小值为 4. 二、能力提升 8.设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D.a>b>c 答案 D 解析 a=log36=log33+log32=1+log32, )

b=log510=log55+log52=1+log52, c=log714=log77+log72=1+log72,
∵log32>log52>log72,∴a>b>c,故选 D. 9.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)上单调递增.若实数 a 满足

f(log2a)+f(log 1 a)≤2f(1),则 a 的取值范围是(
2

)

? 1? A.[1,2] B.?0, ? ? 2?
1 C.[ ,2] D.(0,2] 2 答案 C

8

解析 ∵f(log 1 a)=f(-log2a)=f(log2a),∴原不等式可化为 f(log2a)≤f(1).又∵f(x)
2

在区间[0,+∞)上单调递增,∴0≤log2a≤1,即 1≤a≤2.∵f(x)是偶函数,∴f(log2a)≤

f(-1). 又 f(x)在区间(-∞, 0]上单调递减, ∴-1≤log2a≤0, ∴ ≤a≤1.综上可知 ≤a≤2.
? ??a-2?x-1,x≤1, 10.已知函数 f(x)=? ?logax,x>1, ?

1 2

1 2

若 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,则实数

a 的取值范围为________.
答案 {a|2<a≤3} 解析 ∵函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,

a-2>0, ? ? ∴a 的取值需满足?a>1, ? ?loga1≥a-2-1,
解得 2<a≤3. 11.讨论函数 f(x)=loga(3x -2x-1)的单调性. 解 由 3x -2x-1>0 得函数的定义域为
? ? 1 ? ?x?x>1,或x<- 3 ? ? ? ? ? ?. ? ?
2 2

则当 a>1 时, 若 x>1,则 u=3x -2x-1 为增函数, ∴f(x)=loga(3x -2x-1)为增函数. 1 2 若 x<- ,则 u=3x -2x-1 为减函数. 3 ∴f(x)=loga(3x -2x-1)为减函数. 当 0<a<1 时, 若 x>1,则 f(x)=loga(3x -2x-1)为减函数; 1 2 若 x<- ,则 f(x)=loga(3x -2x-1)为增函数. 3 三、探究与创新 12.已知 x 满足不等式:2(log 1 x) +7log 1 x+3≤0,求函数 f(x)=?log2 ?·?log2 ?的最大 4? ? 2? ?
2 2 2 2 2

?

x? ?

x?

2

2

值和最小值. 解 由 2(log 1 x) +7log 1 x+3≤0,
2 2
2

9

1 可解得-3≤log 1 x≤- ,即 2≤x≤8, 2
2

1 ∴ ≤log2x≤3. 2 ∵f(x)=(log2x-2)(log2x-1) 3?2 1 ? =?log2x- ? - , 2? 4 ? 3 1 ∴当 log2x= ,即 x=2 2时,f(x)有最小值- . 2 4 当 log2x=3,即 x=8 时,f(x)有最大值 2. 1 ∴f(x)min=- ,f(x)max=2. 4 13.已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求 y=[f(x)] +f(x )的最大值以及 y 取最大值时 x 的 值. 解 ∵f(x)=2+log3x, ∴y=[f(x)] +f(x ) =(2+log3x) +2+log3x
2 2 2 2 2 2 2

=(2+log3x) +2+2log3x =(log3x) +6log3x+6 =(log3x+3) -3. ∵函数 f(x)的定义域为[1,9], ∴要使函数 y=[f(x)] +f(x )有意义,
? ?1≤x ≤9, 必须满足? ? ?1≤x≤9,
2 2 2 2 2

∴1≤x≤3,
2

∴0≤log3x≤1.∴6≤y=(log3x+3) -3≤13. 当 log3x=1,即 x=3 时,y=13. ∴当 x=3 时,函数 y=[f(x)] +f(x )取得最大值 13.
2 2

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