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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修一) 第二章函数 第2章章末检测A 课时作业]


第2章

章末检测(A)

(时间:120 分钟 满分:160 分) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 4 1 1.若 a< ,则化简 ?2a-1?2的结果是________. 2 2.函数 y= lg x+lg(5-3x)的定义域是________. 3.函数 y=2+log2(x2+3)(x≥1)的值域为__________________________________. 1 1 4.已知 2x=72y=A,且 + =2,则 A 的值是________________________________. x y 2 5.已知函数 f(x)=ax +(a3-a)x+1 在(-∞,-1]上递增,则 a 的取值范围是________. ? ?x>10? ?x+3 6.设 f(x)=? ,则 f(5)的值是________. ?f?f?x+5?? ?x≤10? ? 1 7.函数 y=1+ 的零点是________. x

8.利用一根长 6 米的木料,做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档),则窗框的高和 宽的比值为________时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大). 9.某企业 2010 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的 P 倍,则该企业 2010 年度产值的 月平均增长率为________. 10. 已知函数 y=f(x)是 R 上的增函数, 且 f(m+3)≤f(5), 则实数 m 的取值范围是________. 11.函数 f(x)=-x2+2x+3 在区间[-2,3]上的最大值与最小值的和为________. x2+?a+1?x+a 12.若函数 f(x)= 为奇函数,则实数 a=________. x 13.函数 f(x)=x2-2x+b 的零点均是正数,则实数 b 的取值范围是________. 14.设偶函数 f(x)=loga|x+b|在(0,+∞)上具有单调性,则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关系 为________. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) + 15.(14 分)(1)设 loga2=m,loga3=n,求 a2m n 的值; (2)计算:log49-log212+ 10
? lg 5 2

.

2 16.(14 分)函数 f(x)是 R 上的偶函数,且当 x>0 时,函数的解析式为 f(x)= -1. x (1)用定义证明 f(x)在(0,+∞)上是减函数; (2)求当 x<0 时,函数的解析式.

17.(14 分)已知函数 f(x)=loga

x+1 (a>0 且 a≠1), x-1

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数的奇偶性和单调性.

18. (16 分)已知函数 f(x)对一切实数 x, y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y), 且当 x>0 时, f(x)<0, 又 f(3)=-2. (1)试判定该函数的奇偶性; (2)试判断该函数在 R 上的单调性; (3)求 f(x)在[-12,12]上的最大值和最小值.

19.(16 分)某投资公司计划投资 A、B 两种金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利 润与投资量成正比例,其关系如图(1),B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例, 其关系如图(2).(注:利润与投资量单位:万元)

(1)分别将 A、B 两产品的利润表示为投资量的函数关系式. (2)该公司已有 10 万元资金, 并全部投入 A、 B 两种产品中, 问: 怎样分配这 10 万元投资, 才能使公司获得最大利润?其最大利润为多少万元?

20.(16 分)已知常数 a、b 满足 a>1>b>0,若 f(x)=lg(ax-bx). (1)求 y=f(x)的定义域; (2)证明 y=f(x)在定义域内是增函数; (3)若 f(x)恰在(1,+∞)内取正值,且 f(2)=lg 2,求 a、b 的值.

第2章
1. 1-2a 1 解析 ∵a< ,∴2a-1<0. 2 4 于是,原式= ?1-2a?2= 1-2a. 5 2.[1, ) 3 lg x≥0, ? ? 解析 由函数的解析式得:?x>0, ? ?5-3x>0,

章末检测(A)

x≥1, ? ?x>0, 即? 5 ? ?x<3.

5 所以 1≤x< . 3 3.[4,+∞) 解析 ∵x≥1,∴x2+3≥4,∴log2(x2+3)≥2,则有 y≥4. 4.7 2 1 解析 由 2x=72y=A 得 x=log2A,y= log7A, 2 1 1 1 2 则 + = + =logA2+2logA7=logA98=2, x y log2A log7A A2=98.又 A>0,故 A= 98=7 2. 5.[- 3,0) a3-a a2 1 解析 由题意知 a<0,- ≥-1,- + ≥-1,即 a2≤3. 2a 2 2 ∴- 3≤a<0. 6.24 解析 f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=24.

7.-1 1 1 解析 由 1+ =0,得 =-1,∴x=-1. x x 8.2 解析 设窗框的宽为 x,高为 h,则 2h+4x=6, 即 h+2x=3,∴h=3-2x, 3 ∴矩形窗框围成的面积 S=x(3-2x)=-2x2+3x(0<x< ), 2 3 3 当 x=- = =0.75 时,S 有最大值. 2×?-2? 4 ∴h=3-2x=1.5,∴高与宽之比为 2. 9. 11 P-1

11 解析 设 1 月份产值为 a,增长率为 x,则 aP=a(1+x)11,∴x= P-1. 10.m≤2 解析 由函数单调性可知,由 f(m+3)≤f(5)有 m+3≤5,故 m≤2. 11.-1 解析 f(x)=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∵1∈[-2,3], ∴f(x)max=4,又∵1-(-2)>3-1,由 f(x)图象的对称性可知, f(-2)的值为 f(x)在[-2,3]上的最小值,即 f(x)min=f(-2)=-5,∴-5+4=-1. 12.-1 解析 由题意知,f(-x)=-f(x), x2-?a+1?x+a x2+?a+1?x+a 即 =- , x -x ∴(a+1)x=0 对 x≠0 恒成立, ∴a+1=0,a=-1. 13.(0,1] 解析 设 x1,x2 是函数 f(x)的零点,则 x1,x2 为方程 x2-2x+b=0 的两正根, Δ≥0 ? ? 则有?x1+x2=2>0 ? ?x1x2=b>0
? ?4-4b≥0 ,即? .解得 0<b≤1. ? ?b>0

14.f(b-2)<f(a+1) 解析 ∵函数 f(x)是偶函数,∴b=0,此时 f(x)=loga|x|. 当 a>1 时,函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是增函数, ∴f(a+1)>f(2)=f(b-2); 当 0<a<1 时,函数 f(x)=loga|x|在(0,+∞)上是减函数, ∴f(a+1)>f(2)=f(b-2). 综上可知 f(b-2)<f(a+1). 15.解 (1)∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3. + ∴a2m n=a2m· an=(am)2· an=22· 3=12. (2)原式=log23-(log23+log24)+ 10 5 2 8 =log23-log23-2+ =- . 5 5 16.(1)证明 设 0<x1<x2,则 2?x2-x1? 2 2 f(x1)-f(x2)=( -1)-( -1)= , x1 x2 x1x2 ∵0<x1<x2,∴x1x2>0,x2-x1>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数.
lg 2

2 (2)解 设 x<0,则-x>0,∴f(-x)=- -1, x 又 f(x)为偶函数, 2 2 ∴f(-x)=f(x)=- -1,即 f(x)=- -1(x<0). x x ? ? ?x+1>0 ?x+1<0 17.解 (1)要使此函数有意义,则有? 或? , ?x-1>0 ?x-1<0 ? ? 解得 x>1 或 x<-1,此函数的定义域为 (-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称. -x+1 x-1 x+1 (2)f(-x)=loga =loga =-loga =-f(x). -x-1 x+1 x-1 ∴f(x)为奇函数. x+1 2 f(x)=loga =loga(1+ ), x-1 x-1 2 函数 u=1+ 在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减. x-1 x+1 所以当 a>1 时,f(x)=loga 在(-∞,-1),(1,+∞)上递减; x-1 x+1 当 0<a<1 时,f(x)=loga 在(-∞,-1),(1,+∞)上递增. x-1 18.解 (1)令 x=y=0,得 f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0) =2f(0),∴f(0)=0. 令 y=-x,得 f(0)=f(x)+f(-x)=0, ∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)为奇函数. (2)任取 x1<x2,则 x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0, 即 f(x2)<f(x1) ∴f(x)在 R 上是减函数. (3)∵f(x)在[-12,12]上是减函数, ∴f(12)最小,f(-12)最大. 又 f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6) =2[f(3)+f(3)]=4f(3)=-8, ∴f(-12)=-f(12)=8. ∴f(x)在[-12,12]上的最大值是 8,最小值是-8. 19.解 (1)设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元. 由题意,得 f(x)=k1x,g(x)=k2 x. 1 1 由题图可知 f(1)= ,∴k1= . 5 5 4 又 g(4)=1.6,∴k2= . 5 1 4 从而 f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0). 5 5 (2)设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,该企业利润为 y 万元. x 4 y=f(x)+g(10-x)= + 10-x(0≤x≤10), 5 5 令 10-x=t,则 x=10-t2, 10-t2 4 1 14 于是 y= + t=- (t-2)2+ (0≤t≤ 10). 5 5 5 5 14 当 t=2 时,ymax= =2.8, 5

此时 x=10-4=6, 即当 A 产品投入 6 万元,则 B 产品投入 4 万元时,该企业获得最大利润,最大利润为 2.8 万元. a 20.(1)解 ∵ax-bx>0,∴ax>bx,∴( )x>1. b a ∵a>1>b>0,∴ >1. b a ∴y=( )x 在 R 上递增. b ax a0 ∵( ) >( ) ,∴x>0. b b ∴f(x)的定义域为(0,+∞). (2)证明 设 x1>x2>0,∵a>1>b>0, ∴ax1>ax2>1,0<bx1<bx2<1. ∴-bx1>-bx2>-1.∴ax1-bx1>ax2-bx2>0. 又∵y=lg x 在(0,+∞)上是增函数, ∴lg(ax1-bx1)>lg(ax2-bx2),即 f(x1)>f(x2). ∴f(x)在定义域内是增函数. (3)解 由(2)得,f(x)在定义域内为增函数, 又恰在(1,+∞)内取正值, ∴f(1)=0.又 f(2)=lg 2, 3 a= , ? ? 2 lg ? a - b ? = 0 , a - b = 1 , ? ? ∴? ∴? 2 解得 2 2 2 1 ?lg?a -b ?=lg 2. ?a -b =2. ? ? b= . 2

? ? ?


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