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含参数一元二次不等式的解法


课题: 含参一元二次不等式 目标: 1.掌握含参一元二次不等式的解决办法; 2.培养数形结合的能力,分类讨论、转化的能力,综合分析、解决问题的能力; 3.激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神。 重点:含参一元二次不等式的解决办法。 难点:对参数正确的分类讨论。 教学过程: 一、复习引入 1.函数、方程、不等式的关系 2.一元一次、一元二次、高次、分式不等式得解法及注意事项 3.分式不等式,切忌去分母,一律移项通分化为>0(或<0)的形式,转化为:,即转化 二 新课:与一元二次不等式有关的问题。 例 1:解关于 x 的不等式 分析 此不等式为含参数 k 的不等式,当 k 值不同时相应的二次方程的判别式的值也不 同,故应先从讨论判别式入手. 解 (1) 当有两个不相等的实根. 所以不等式: (2) 当有两个相等的实根, 所以不等式,即; (3) 当无实根 所以不等式解集为. 说明 一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系,要注意数形结 合研究问题. 小结:讨论,即讨论方程根的情况 例 2.解关于 x 的不等式:(x-+12)(x+a)<0. 解:①将二次项系数化“+”为:(-x-12)(x+a)>0, ②相应方程的根为:-3,4,-a,现 a 的位置不定,应如何解? ③讨论: ⅰ当-a>4,即 a<-4 时,各根在数轴上的分布及穿线如下: ∴原不等式的解集为{x| -3<x-a}.</x ⅱ当-3<-a<4,即-4<a

∴原不等式的解集为{x| -3<x<-a 或 x style="padding: 0px; margin: 0px; ">4}.</x<-a 或 x></a
ⅲ当-a<-3,即 a>3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下: ∴原不等式的解集为{x| -a<x<-3 或 x style="padding: 0px; margin: 0px; ">4}.</x<-3 或 x> ⅳ0 当-a=4,即 a=-4 时,各根在数轴上的分布及穿线如下:

∴原不等式的解集为{x| x>-3}. ⅴ当-a=-3,即 a=3 时,各根在数轴上的分布及穿线如下: ∴原不等式的解集为{x| x>4}. 小结:讨论方程根之间的大小情况 例 3: 已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集是{x|x<-2 或 x>-1/2},(1)求 a,b 的值? (2)求 ax2-bx+c<0 的解集? 例 4 若不等式对于 x 取任何实数均成立,求 k 的取值范围. 解:∵ (∵4x2+6x+3 恒正), ∴原不等式对 x 取任何实数均成立,等价于不等式 2x2-2(k-3)x+3-k>0 对 x 取任何实 数均成立. ∴=[-2(k-3)]2-8(3-k)<0k2-4k+3<01<k

∴k 的取值范围是(1,3).</k
小结:逆向思维题目,告诉解集反求参数范围,即确定原不等式,待定系数法的一部分 例 5 已知关于 x 的二次不等式:ax2+(a-1)x+a-1<0 的解集为 R,求 a 的取值范围. 分析: 原不等式的解集为 R, 即对一切实数 x 不等式都成立, 故必然 y= ax2+(a-1)x+a-1 的图象开口向下,且与 x 轴无交点,反映在数量关系上则有 a<0 且<0. 解:由题意知,要使原不等式的解集为 R,必须, 即 a<-. ∴a 的取值范围是 a∈(-,-). 说明:本题若无“二次不等式”的条件,还应考虑 a=0 的情况,但对本题讲 a=0 时式子 不恒成立.(想想为什么?) 练习:1:已知不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 解:若 a2-1=0,即 a=1 或 a=-1 时,原不等式的解集为 R 和{x|x<}; 若 a2-10,即 a1 时,要使原不等式的解集为 R, 必须. ∴实数 a 的取值范围是(-,1)∪{1}=(-,1). 2:已知函数 y=的定义域为 R,求实数 m 的取值范围? 课后思考题: 1.已知关于 x 的不等式 ax2+bx+c<0 的解集是{x|1/3<x

2.已知不等式 kx2-2x+6k<0</x
果不等式的解集是{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)如果不等式的解集是全体实数集 R,求 k 的值 3 已知不等式(1)若对于所有实数 x 不等式恒成立,求 m 的取值范围? (2)若对于不等式恒成立,求实数 x 的取值范围?答案:新范式 P15 四:小结:含参一元二次不等式的解决办法 五:作业

一元二次不等式的解法教学反思 初学一元二次不等式的解法时,就按照“三个二次”(即二次函 数,二次方程和一元二次不等式)之间的联系,通过数形结合建立一 个非常清晰的结构网络,总结出层次分明的解题步骤,像程序一样, 就能达到只要按照这个流程做就能够解出来题这样一个目的。 当大家对解一般的一元二次不等式打下良好基础后, 就进入了这 节课的重点及难点部分即含参数的一元二次不等式的解法, 这个点要 做为一个专题进行讲解至少要用专门一节课。 对于这个专题我总结了 解此类题的一个程序,第一步,先看二次项系数,看是否含参数。如 果含参就要对参数进行分类讨论,无非是>0,<0,=0 三类。第二步,看 看能不能因式分解,能因式分解的看两根大小是否确定,不确定的要 讨论两根大小。第三步,不能因式分解的去计算对应方程的判别式, 判别式含参的要对其讨论,还是>0,<0,=0 三类。就给学生树立这样一 个解题模式。经过这几步以后,至少给学生了一个解题的方向,只要 细心认真的走下去做对题应该没什么问题。 还有一个点也需要作为一个专题去讲,也得单独的一节课。就是 恒成立问题,对于这类题大致分三类,第一类是关于一元二次不等式 在实数集上恒成立的问题,对于这一类我总结也是分两步解,第一步 讨论二次项系数为零的情况是否恒成立 (当然系数是定值就不用麻烦 了)。第二步,数形结合。一般就两种情形:开口向上 <0 和开口向 下 <0。两步就能解决问题。第二类是在某个区间上恒成立问题,此

类问题解决方法就是数形结合。第三类就是利用极值的,大于什么恒 成立只要大于它的最大值,小于什么恒成立只要小于它的最小值。 按照上述方法我们只要抓住主干链条捋顺思路, 按照我们总结好 的步骤程序,认真解题,相信就会收到一个不错的效果。


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