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高中数学人教A版选修1-2 第一章 统计案例1.1回归分析的基本思想及初步应用(1)【课件】 (共19张PPT)


1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一)
——回归直线方程

一.回顾复习
正相关(增) 确定性关系——函数关系 线性相关 负相关(减)

1、两个变量的关系
不确定性关系

相关关系

非线性相关
不相关关系

2、相关关系的定义:

对于两个变量,当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的 两个变量之间的关系叫做相关关系。 注:1)对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。 2)函数关系中的两个变量间是一种确定性关系 相关关系是一种非确定性关系 函数关系是一种理想的关系模型 相关关系在现实生活中大量存在,是更一般的情况
如:人的身高与年龄;产品的成本与生产数量 商品的销售额与广告费;家庭的支出与收入。等等

一.回顾复习
问题1:正方形的面积y与正方形的边长x之间 的函数关系是 y = x2 确定性关系 问题2:某水田水稻产量y与施肥量x之间是否有一个确

定性的关系? 例如:在 7 块并排、形状大小相同的试验田上进行施肥量对水
稻产量影响的试验,得到如下所示的一组数据:

施化肥量x
水稻产量y

15

20

25
365

30

35

40

45

330 345

405 445

450 455

施化肥量x 水稻产量y

15

20

25 365

30

35

40

45

330 345

405 445

450 455

y
500
450 400 350 300

水稻产量

··
20

·

·

· · ·
施化肥量

10

30

40

50

x

施化肥量x 水稻产量y

15

20

25 365

30

35

40

45

330 345 水稻产量

405 445

450 455 散点图

y
500 450 400 350

300

··

·

·

· · ·

施化肥量

x 10 20 30 40 50 探索1:水稻产量y与施肥量x之间大致有何规律?
发现:图中各点,大致分布在某条直线附近。 探索2:在这些点附近可画直线不止一条,哪条直线最能代表
x与y之间的关系呢?

? ?a ? ? bx ? 3.线性回归直线方程:y
对于一组具有线性相关关系的数据 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),...,( xn , yn ), 其回归直线方程为 其回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:
?? b

?

? ?a ? ? bx ? y
n i i

此直线叫做回归直线。

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i 2 ( x ? x ) ? i i ?1 n

n

?

i ?1 n

2 x ? i ? nx i ?1

2

,

? ? ? y ? bx a
1 n 1 n (其中 x ? ? xi , y ? ? y i) n i ?1 n i ?1

最 小 二 乘 估 计

? 注:1)回归直线方程 y

? ?a ? 恒过样本中心点( x, y ) ? bx

2)、对两个变量进行的线性分析叫做线性回归分析。

4.求回归直线方程的步骤:

(2)求? xi , ? xi yi .
2 i ?1 i ?1

1 n 1 n (1)求 x ? ? xi , y ? ? yi nn n i ?1 i ?1 n
n

(3)代入公式

?

b?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i 2 ( x ? x ) ? i i ?1 n

n

?

i ?1 n

i

i

2 x ? i ? nx i ?1

2

,

a ? y ? bx,......(1)

^

^ 即为所求的回归直线方程。 (4)写出直线方程为y=bx+a, 5.回归分析的基本步骤:

画散点图

求回归方程

预报、决策

练习1:下表提供了某厂节油降耗技术发行后生产甲产品过程
中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数 据.

x y

3 2.5

4 3

5 4

6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性

? ?a ? ? bx ? 回归方程 y (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤,试 根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能 耗比技改前降低多少吨标准煤?
(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

例1、某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如
下表所示.

编号 体重/kg

1 48

2 57

3 50

4 54

5 64

6 61

7 43

8 59

身高/cm 165 165 157 170 175 165 155 170

(1)画出散点图 (2)根据女大学生的身高预报体重的回归方程, (3)预报一名身高为172cm的女大学生的体重.

解:1.确定变量: 由于问题中要求根据身高预报体重,因此选取身高为自变 量x,体重为因变量y.
体重/kg
75 70

2. 作散点图;

65 60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 身高/cm 175 180 185

3.设回归方程:由散点图可知,样本点呈条状分布,身高和体重有
较好的线性相关关系,因此可以用线性回归方程来近似的刻画它们之 间的关系.故设回归直线方程为

? ?a ? ? bx ? y

4.求回归方程: 有
n ? (xi - x)(yi - y) ? ? i=1 ? = ?b = n ? (xi - x)2 ? ? i=1 ? ? ?a = y - bx = -85.712

?x y
i=1 n

n

i i 2 i

- nxy - nx
2

?x
i=1

= 0.849,

故所求线性回归方程为:

? ? 0.849 x ? 85.712 y

? ? 0.849 是斜率的估计值,说明身高x每增加1个单位时, b
体重y就增加0.849个单位,这表明体重与身高具 有正的线性相关关系. 5.根据回归方程作出预报. 因此,对于身高172cm的女大学生,由线性回归方程可以预报其 体重为: y ? ? 0.849 ? 172 ? 85.712 ? 60.316(kg )

思考1:如何描述两个变量之间线性相关关系的强弱?
1)用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱 n n _ _ (xi - x)(yi - y) x iy i ? n x y ? ? i=1 i?1 相关系数 r = ? n n ? n 2 ? _ ?2 ?? n 2 ? _ ?2 ? 2 2 ?(xi - x) ?(yi - y) ?? ? xi ? n? x ? ???? ? yi ? n? y ? ??
i=1 i=1

? i?1

? ? ?? i?1

? ? ?

2)相关系数的性质: (1)|r|≤1. (2)r>0正相关;r<0负相关. (3)|r|越接近于1,x与y相关程度越强; |r|越接近于0,x与y相关程度越弱. 问题:达到怎样程度,x、y线性相关呢?它们的相关程度怎样呢?

通常:r∈[-1,-0.75]--负相关很强; 相关很强;

r∈[0.75,1]—正

r∈[-0.75,-0.3]--负相关一般; 正相关一般;
r∈[-0.25, 0.25]--相关性较弱;

r∈[0.3, 0.75]—

注:通常,r>0.75,认为两个变量有很强的相关性.

相关关系的测度(相关系数取值及其意义)

完全负相关

无线性相关

完全正相关

-1.0

-0.5

0

+0.5

+1.0

r
负相关程度增加 正相关程度增加 ①、当 r ? 1 时,x与y为完全线性相关,它们之间存在确定的函数关系。
②、当 0 ? r ? 1 时,表示x与y存在着一定的线性相关, r的绝对值越大,越接近于1,表示x与y直线相关程度越高,反之越低。

本例中,由上面公式可求得r=0.798>0.75.
表明体重与身高有很强的线性相关性,从而说明我们建立的回归模型 有意义的.

练习2:某种产品的零件数x与加工时间y之间有如表所示数据:
零件数X
加工时间y(分 钟)

2 30

4 40

5 60

6 50

8 70

? ? 6.5 x ? 17.5 (1)求线性回归方程; (2) y

思考2:身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg
吗?如果不是,你能解析一下原因吗?
答:身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg,但一般可以认 为她的体重接近于60.316kg或在60.316kg 左右。即,用这个回归方程不 能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值,只能给出她们平 均体重的值。 从散点图看到,样本点散布在某一条直线的附近,而不是在一条直线上, 所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。 我们可以用下面的线性回归模型来表示:y=bx+a+e, (其中a和b为模型的未知参数,e称为随机误差)。
75 70 65

体重/kg

60 55 50 45 40 150 155 160 165 170 身高/cm 175 180 185

思考3:产生随机误差项e的原因是什么?
随机误差e的来源(可以推广到一般): 1、其它因素的影响:影响体重y 的因素不只是身高x,可能还包括 遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素; 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差; 3、身高 y 的观测误差。
以上三项误差越小,说明我们的回归模型的拟合效果越好。

思考4:函数模型与回归模型之间的差别?
函数模型:

回归模型:

y ? bx ? a y ? bx ? a ? e

函数模型:因变量y完全由自变量x确定

线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e,因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定,即自变量x只能解析部分y的变化。 在统计中,我们也把自变量x称为解析变量,因变量y称为预报变量。

因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式, 线性回归模型是一次函数模型的一般形式.

小结:线性回归分析的基本步骤:
1.确定变量;
2.作散点图,判断相关关系; 3.设回归方程; 4.求回归方程; 5.根据回归方程作出预报.



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