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2015东城区高三二模数学(文)试题及答案


北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(二) 高三数学 (文科) 2015.5

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项) (1)已知全集 U ? R ,集合 A ? ?0 ,, 1 2? , B ? ?2 ,, 3 4? ,如图阴影部分所表示的集合为 (A) ?2? (C) ?3 , 4? (B) ?0 , 1? (D) ?0 ,1,2 ,3 ,4?

(2)若复数 (m2 ? m) ? mi 为纯虚数,则实数 m 的值为 (A) ?1
2

(B) 0
2

(C) 1

(D) 2

(3)已知圆的方程为 x ? y ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 ,那么圆心坐标为 (A)(?1 , ? 3) (B)(1 , ? 3) (C)(1 , 3) (D)(?1 , 3)

(4)设点 P( x, y) ,则“ x ? 1 且 y ? ?2 ”是“点 P 在直线 l:x ? y ? 3 ? 0 上”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
0.9

(5)设 a ? log0.8 0.9 , b ? log1.1 0.9 , c ? 1.1 ,则 a , b , c 的大小关系是 C (A) a ? b ? c (B) a ? c ? b (C) b ? a ? c (D) c ? a ? b

(6)若一个底面是正三角形的三棱柱的正(主)视图如图所示,则其侧面积等于 (A) 3 (C) 5 (B) 4 (D) 6
1 1 1

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? (7)若实数 x , y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 z ? 2 | x | ? y 的最大值为 ? y ? ?1, ?
(A) 13 (B) 11 (C) 3 (D) 1

正(主)视图

(8)已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , E , F 分别是边 AA1 , CC1 的中点,点 M 是 BB1 上的动点, 过点 E , M , F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边形 EMFN 的 面积为 S ,设 y ? S 2 ,则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的解析式为 (A) f ( x) ? 2 x ? 2 x ?
2

3 , x ? [0 , 1] 2

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1 ?3 ? x, x ? [0 , ), ? ?2 2 (B) f ( x) ? ? ? x ? 1 , x ? [ 1 , 1]. ? ? 2 2
(D) f ( x) ? ?2 x ? 2 x ?
2

3 1 ? ?2 x 2 ? , x ? [0 , ], ? ? 2 2 (C) f ( x) ? ? ??2( x ? 1) 2 ? 3 , x ? ( 1 , 1]. ? ? 2 2

3 , x ? [0 , 1] 2

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 ( 9 )已知抛物线 y 2 ? 2 x 上一点 P (m , 2) ,则 m ? 为 .

共 110 分)

,点 P 到抛物线的焦点 F 的距离

(10)在△ ABC 中,已知 a ? 2, b ? 3 , 那么 (11)函数 y ? 2 x ?

sin A ? sin( A ? C)
.

.

2 ( x ? 0) 的最大值为 x

(12)若非零向量 a , b 满足 a ? b = a ? b =2 a ,则向量 b 与 a ? b 的夹角为

.

(13)设函数 f ( x) ? cos x , x ? (0 , 2?) 的两个的零点为 x1 , x2 ,且方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根

x3 , x4 .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m ?



(14)如图,△ ABC 是边长为 1 的正三角形,以 A 为圆心, AC 为半径,沿逆时针方向画圆弧,交 BA 延长

B 为圆心,BA1 为半径,沿逆时针方向画圆弧,交 CB 延长线于 A2 , 线于 A 1 ,记弧 CA 1 的长为 l1 ;以
记弧 A1 A2 的长为 l2 ; 以 C 为圆心, 沿逆时针方向画圆弧, 交 AC 延长线于 A3 , 记弧 A2 A3 CA2 为半径, 的长为 l3 ,则 l1 +l2 ? l3 ? .

如此继续以 A 为圆心, AA3 为半径,沿逆时针方向画圆弧,交 AA1 延长线于 A4 ,记弧 A3 A4 的 长为 l4 , ,当弧长 ln ? 8? 时, n ? .

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(文科)

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三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆 心 角均为 15 ,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球和 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 球(这些球除颜色外 完全相同),如果摸到的是 2 个红球,即为中奖. 试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.

(16) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

π 2 ) ? cos( 2 x ? π) , g ( x) ? cos 2 x . 3 3 3 3 ,求 g (? ) 的值; 5

(Ⅰ )若 ? ? ( , ) ,且 f (? ) ? ? (Ⅱ )若 x ? [ ?

π π 4 2

π π , ] ,求 f ( x) ? g ( x) 的最大值. 6 3

(17) (本小题共 13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD , E 为 AD 上一点,四边形 BCDE 为矩形,

?PAD ? 60 , PB ? 2 3 , PA ? ED ? 2 AE ? 2 .
(Ⅰ)若 PF ? ? PC ? ? ? R ? ,且 PA ∥平面 BEF ,求 ? 的值; (Ⅱ)求证: CB ? 平面 PEB .

P F

D E B

C

(18) (本小题共 13 分) 已知等比数列 ?an ? 的前 4 项和 S4 ? 5 ,且 4a1 , (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

A

3 a2 , a2 成等差数列. 2

(Ⅱ)设 ?bn ? 是首项为 2 ,公差为 ? a1 的等差数列,其前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn?1 ? 0 的最大正整数 n .
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(19) (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的左、右顶点分别为 A , B , F1 为左焦点,且 AF1 ? 2 ,又 a 2 b2

椭圆 C 过点 (0, 2 3) . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 和 Q 分别在椭圆 C 和圆 x2 +y 2 ? 16 上(点 A, B 除外) ,设直线 PB , QB 的斜率分别为 k1 , k2 , 若 k1 ?

3 k 2 ,证明: A , P , Q 三点共线. 4

(20) (本小题共 14 分)
3 已知函数 f ( x) ? x ?

5 2 7 x ? ax ? b , g ( x) ? x3 ? x 2 ? ln x ? b , ( a , b 为常数) . 2 2

(Ⅰ)若 g ( x) 在 x ? 1 处的切线过点 (0 , ? 5) ,求 b 的值; (Ⅱ) 设函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) , 若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? xf ?( x ) 有唯一解, 求实数 b 的取值范围; (Ⅲ)令 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,若函数 F ( x) 存在极值,且所有极值之和大于 5 ? ln 2 ,求实数 a 的取值范 围.

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北京市东城区 2014-2015 学年第二学期综合练习(二) 高三数学参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)C (2)C (6)D (3)C (7)B (4)A (8)A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 2

5 2

(10)

2 3

(11) ?4

(12)

? 3 (13) ? 6 2

(14) 4 ?

12

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解:设顾客去甲商场,转动圆盘,指针指向阴影部分为事件 A , 试 验 的 全 部 结 果构 成 的区 域 为 圆 盘 , 面积 为 ?r ( r 为 圆 盘 的 半 径 ) ,阴 影 区域 的 面 积为
2

1 ? ? S ? 4? ? r2 ? r2 . 2 12 6

? 2 r 1 6 所以, P( A) ? ? . 2 ?r 6

…………………………5 分

设顾客去乙商场一次摸出两个红球为事件 B ,记盒子中 3 个白球为 a1 , a2 , a3 , 3 个红球为 b1 , 记 ( x , y ) 为一次摸球的结果, 则一切可能的结果有: (a1 , a2 ) , (a1 , a3 ) , b2 , b3 , (a1 , b1 ) , (a1 , b2 ) ,

(a1 , b3 ) ,(a2 , a3 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 ) ,(a2 , b3 ) ,(a3 , b1 ) ,(a3 , b2 ) ,(a3 , b3 ) ,(b1 , b2 ) ,(b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 15 种.
摸到的 2 个球都是红球有 (b1 , b2 ) , (b1 , b3 ) , (b2 , b3 ) ,共 3 种. 所以, P( B) ?

3 1 ? . 15 5

…………………………11 分

因为 P( A) ? P( B) , 所以,顾客在乙商场中奖的可能大. …………………………13 分

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由 f ( x) ? cos( 2 x ?

π 2 ) ? cos( 2 x ? π) 3 3

得 f ( x) ?

1 3 1 3 cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2 2 2

? ? 3 sin 2x .

…………………………4 分

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因为 f (? ) ? ?

3 3 3 3 ,即 ? 3 sin 2? ? ? 3 ,所以 sin 2? ? . 5 5 5 π 2

又因为 ? ? ( , ) ,所以 2? ? ( , π ) . 故 cos 2? ? ?

π π 4 2

4 4 ,即 g (? ) ? ? . 5 5 π ). 3

…………………………7 分

(Ⅱ) f ( x) ? g ( x) ? ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 cos( 2 x ? 因为 x ? [ ? 所以当 2 x ? (17) (共 13 分) 证明: (Ⅰ)连接 AC 交 BE 于点 M ,连接 FM . 因为 PA 所以 FM 因为 EM 因为 FM 所以 ? ? 平面 BEF ,平面 PAC

π π π , ] ,所以 2 x ? ? [0, π] . 6 3 3 π π ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x) ? g ( x) 有最大值,最大值为 2 . ………………13 分 3 6

平面 BEF ? FM ,

P

AP . CD ,所以
AM AE 1 ? ? . MC ED 2 PF AM 1 ? ? . AP ,所以 FC MC 2
…………………………6 分

F

D E A

C
B

1 . 3

M

(Ⅱ)因为 AP ? 2, AE ? 1, ?PAD ? 60 , 所以 PE ? 3 . 所以 PE ? AD . 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,且平面 PAD 平面 ABCD ? AD ,

PE ? 平面 ABCD ,所以 PE ? CB .
又 BE ? CB ,且 PE 所以 CB ? 平面 PEB .

BE ? E ,
…………………………13 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公比为 q ,因为 4a1 , 所以 4a1 ? a2 ? 3a2 . 整理得 2a1 ? a2 ,即 2a1 ? a1q ,解得 q ? 2 .
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3 a2 , a2 成等差数列, 2

1 a1 (1 ? 24 ) 又 S4 ? ? 5 ,解得 a1 ? . 3 1? 2
所以 an ?

1 n ?1 ?2 . 3

…………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? a1 = ?

1 , 3 1 7?n 所以 bn ? 2+(n ? 1)(- ) ? . 3 3 7?n 2+ 3 ? n ? (13 ? n)n . …………………………10 分 Tn = 2 6 [13 ? (n ? 1)](n ? 1) ?0, 所以由 Tn?1 ? 0 ,得 6
整理得 (n ? 1)(n ? 14) ? 0 , 解得 1 ? n ? 14 . 故满足 Tn?1 ? 0 的最大正整数为 13 . …………………………13 分

(19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知可得 a ? c ? 2 , b ? 2 3 ,又 b ? a ? c ? 12 ,
2 2 2

解得 a ? 4 .

x2 y2 ? ? 1. 故所求椭圆 C 的方程为 16 12

…………………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(?4 , 0) , B(4 , 0) .设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , 所以 kPA ? k1 ?

y1 y1 y12 . ? ? x1 ? 4 x1 ? 4 x12 ? 16

因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆 C 上,

3 x12 y12 ? ? 1 ,即 y12 ? 12 ? x12 . 所以 4 16 12

3 2 x1 3 4 k ? k ? ?? . 所以 PA 1 2 x1 ? 16 4 12 ?
又因为 k1 ?

3 k2 , 4
(1)
2 2

所以 kPA ? k2 ? ?1 .

由已知点 Q( x2 , y2 ) 在圆 x ? y ? 16 上, AB 为圆的直径,
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所以 QA ? QB . 所以 kQA ? k2 ? ?1 . (2)

由(1)(2)可得 kPA ? kQA . 因为直线 PA , QA 有共同点 A , 所以 A , P , Q 三点共线. …………………………14 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)设 g ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? kx ? 5 , 因为 g ?( x) ? 3 x ? 7 x ?
2

1 , g ?(1) ? 11 , x

所以 k ? 11 ,故切线方程为 y ? 11x ? 5 .
3 当 x ? 1 时, y ? 6 ,将 (1, 6) 代入 g ( x) ? x ?

7 2 x ? ln x ? b , 2
…………………………3 分

得b ?

3 . 2

(Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 5x ? a , 由题意得方程 x ?
3

5 2 x ? ax ? b ? 3x3 ? 5 x 2 ? ax ? x 有唯一解, 2

5 2 x ? x ? b 有唯一解. 2 5 2 3 2 令 h( x) ? 2 x ? x ? x ,则 h '( x) ? 6x ? 5x ? 1 ? (2 x ? 1)(3x ? 1) , 2 1 1 1 1 所以 h( x) 在区间 (??, ? ), ( ? , ??) 上是增函数,在区间 (? , ? ) 上是减函数. 2 3 2 3 1 1 1 7 又 h( ? ) ? ? , h( ? ) ? ? , 2 8 3 54 7 1 故实数 b 的取值范围是 (??, ? ) U (? , ??) . …………………………8 54 8
即方程 2 x ?
3


(Ⅲ) F ( x) ? ax ? x ? ln x,
2

所以 F '( x) ? ?

2 x 2 ? ax ? 1 . x
2 x 2 ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根, x

因为 F ( x) 存在极值,所以 F '( x) ? ? 即方程 2x
2

? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上有根,则有 ? =a 2 ? 8 ? 0 .

显然当 ? =0 时, F ( x) 无极值,不合题意; 所以方程必有两个不等正根.
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1 ? x x ? ? 0, 1 2 ? ? 2 2 记方程 2x ? ax ? 1 ? 0 的两根为 x 1 , x 2 ,则 ? ?x ? x ? a , 1 2 ? ? 2

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? ( x12 ? x22 ) ? (ln x1 ? ln x2 )
? a2 a2 1 1 ? ? 1 ? ln ? 5 ? ln , 2 2 4 2

解得 a 2 ? 16 ,满足 ? ? 0 . 又 x1 ? x2 ?

a ? 0 ,即 a ? 0 , 2
…………………………14 分

故所求 a 的取值范围是 (4,??) .

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