3986.net
小网站 大容量 大智慧
赞助商链接
当前位置:首页 >> 数学 >>

(甘志国为两道2012年高考选择题“正身”


为两道 2012 年高考选择题“正身”
甘志国(该文已发表 中学数学(高中),2013(3):90-92)

高考题 1

(2012 ·天津·理· 6) 设 m, n ? R ,若直线 (m ? 1)x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 相切,则 m ? n 的取值范围是( )
A. [1 ? 3,1? 3] C. [2 ? 2 2, 2 ? 2 2] B. (??,1 ? 3] ?[1 ? 3, ??) D. (??, 2 ? 2 2] ?[2 ? 2 2, ??)

(参考答案:D.) 文献[1]认为这是一道值得商榷的高考试题: 命题 1 若 m, n ? R,则直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 相切 的充要条件是 mn ? m ? n ? 1 . 易 证 命 题 1 正 确 . 因 为 高 考 题 1 的 参 考 答 案 是 D , 即 m? n 的 取 值 范 围 由

m ? n ? 2 ? 2 2 确定,所以有
命题 2 在高考题 1 中,若参考答案是 D ,则直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆

( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 相切的充要条件是 m ? n ? 2 ? 2 2 .
所以由命题 1,2,得 命题 3 若 m, n ? R,则 mn ? m ? n ? 1 ? m ? n ? 2 ? 2 2 . 而命题 3 中的“ ? ”正确, “ ?”不正确,比如 m ? 2, n ? 4 时. 这就说明了高考题 1 有误,并且文献[1]还得到了高考题 1 的正确答案是“不存在”. 文献[1]对命题 2 的推导是错误的——误把“取值范围”当成了“充要条件” ,我们应注 意它们不是一回事,比如当 a ? ?1 时,a 的取值范围是 [0, ??) ,但不能说 a ? ?1 ? a 的
2 2

取值范围是 [0, ??) . 高考题 1 即在条件 mn ? m ? n ? 1(m, n ?R)下, 求 m ? n 的取值范围.下面的两种解法都 是正确的: 解法 1 由条件得 m(n ? 1) ? n ? 1 (所以 n ? 1 ? 0 ), m ?

m?n ?

n ?1 2 ?n ? ? (n ? 1) ? 2 n ?1 n ?1

n ?1 ,所以 n ?1

因为

2 2 2 ? (n ? 1 )的 取 值 范 围 是 ? (n ? 1) ? ? n ?1 ? 2 2 , 所 以 n ?1 n ?1 n ?1

(??, ?2 2] ?[2 2, ??) ,得 m ? n 的取值范围是 (??, 2 ? 2 2] ?[2 ? 2 2, ??) .
解 法 2 由 条 件 得

? m?n? m ? n ? 1 ? mn ? ? ? ? 2 ?

2







m ? n ? (??, 2 ? 2 2] ?[2 ? 2 2, ??) .
还可验证:当且仅当 m ? n ? 1 ? 2 时 m ? n ? 2 ? 2 2 ,当且仅当 m ? n ? 1 ? 2 时 因为 m ? m?n ? 2?2 2; 时 m ? n ??? .

n ?1 , 所以当 n ? 1 且 n ? 1 时 m ? n ??? , 当 n ? 1且 n ?1 n ?1

又 m ? n 的值是连续变化的, 所以 m ? n 的取值范围是 (??, 2 ? 2 2] ?[2 ? 2 2, ??) . 所以高考题 1 及其答案均没有任何问题,且还是一道注重基础、解法常规的一道好题. 文 献 [1] 认 为 : 因 为 “ 当 mn ? m ? n ? 1(m, n ? R) 时 , m ? n 的 取 值 范 围 是 ,所以命题 3 成立.这是不对的. (??, 2 ? 2 2] ?[2 ? 2 2, ??) ” 高考题 2 项和 S11 ? ( ) A.58 B.88 C.143 D.176 (参考答案:B.) 任志瑜,张思明等等六位著名高考命题研究专家在文献[2](该文又被中国人民大学复印 报刊资料《高中数学教与学》2012 年第 12 期第 7-12 页全文转载)中把高考题 2 列为“2012 年高考数学试题‘红黑榜’ ”中的“黑榜”的最后一题:理由是题目偏难,这道题不强调通 性通法,如果改成“求前 12 项的和” ,如何做?出题者出题时应该尽量避免这种情况,可以 让学生“求前 12 项的和” ,让学生用通性通法,而不是用这类“巧”办法. 笔者认为,这道高考题不应列入“黑榜” ,反而是基础常规、源于课本的一道好题.先看 普通高中课程标准实验教科书《数学 5·必修·A 版》(人民教育出版社 2007 年第 3 版) (下 简称《必修 5》)第 39 页的练习第 5 题: 5.已知 ?an ? 是等差数列. (1) 2a5 ? a3 ? a7 是否成立? 2a5 ? a1 ? a9 呢?为什么? (2) 2an ? an?1 ? an?1 (n ? 1) 是否成立?据此你能得出什么结论? (2012·辽宁·理·6)在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11

2an ? an?k ? an?k (n ? k ? 0) 是否成立?你又能得出什么结论?

再来看《必修 5》第 42-43 页推导等差数列前 n 项和公式的方法: 由高斯算法(笔者认为高斯计算 1+2+3+?+100 的算法是配对法,而不是下面的倒序相 加法)的启示, 对于公差为 d 的等差数列, 我们再用两种方法表示 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ?

? an :

Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ? Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ?
把这两式相加,得

? [a1 ? (n ?1)d ] ? [an ? (n ?1)d ]
? (a1 ? an ) =n(a1 ? an )


2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ?
n个

Sn ?

n(a1 ? an ) 2

由 这 里的 第 5 题可 得 ,在 高 考题 2 中 有 2a6 ? a4 ? a8 ?16, 2a6 ? a1 ? a1 , 1 所以

a1 ? a1 1 ? 16 .再由公式①,立得所求的 S11 ?

11(a1 ? a11 ) 11?16 ? ? 88 . 2 2
,所以有等差数列

在以上公式①的推导过程中,有 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ?

的基本性质:在等差数列 ?an ? 中,若 k ? l ? p ? q(k , l , p, q ?N*),则 ak ? al ? a p ? aq . 考查这条基本性质的高考题可谓比比皆是, 比如 2012 年高考辽宁卷文科第 4 题(也是高 考题 2 的姊妹题): 在等差数列 ?an ? 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则 a2 ? a10 ? ( ) A.12 B.16 C.20 D.24 (参考答案:B.) 文 献 [2] 认 为 , 应 把 高 考 题 2 的 问 题 改 为 “ 求 前 12 项 的 和 ” ,事实上, 而在等差数列 ?an ? 中, 仅由一个条件 “ a4 ? a8 ? 16 ” 求不出 a12 , S12 ? S11 ? a12 ? 88 ? a12 , 所以不能把高考题 2 的问题改为“求前 12 项的和”. 即使不用以上等差数列的基本性质,注意等差数列 ?an ? 的基本量 a1 , an , d , n, Sn 及其基 本关系(即通项公式及两个前 n 项和公式)也容易解答本题,总之,这道高考题不应列入“红 黑榜”中的“黑榜”. 下面再谈一道高考题. 高考题 3 (2012 ·江西·理· 10) 如图 1 ,已知正四棱锥 S ? ABCD 所有棱长都为 1,点 E 是侧棱 SC 上一动点,过点 E 垂 直 于 SC 的 截 面 将 正 四 棱 锥 分 成 上 、 下 两 部 分 . 计

SE ? x(0 ? x ? 1) , 截面下部分的体积为 V ( x) , 则函数 y ? V ( x)
的图象大致为( ) 图1

A B C D (参考答案:A.) 文献[2]把高考题 3 列为“2012 年高考数学试题‘红黑榜’ ”中的“红榜” :该题的考查 目标并不是通过求出体积 V ( x) 与 SE ? x 之间的函数关系来分析图象的特征, 而是通过分析 在运动变化过程中,体积 V 随着 SE 长度的变化而变化的趋势:当 0 ? x ? 增大, V 单调递减,而且递减的速度越来越快;当

1 时,随着 x 的 2

1 ? x ? 1 时,随着 x 的增大, V 单调递 2

减,而且递减的速度越来越慢;从而得出表现这样变化趋势的图象.本题延续了江西卷以图 形为命题背景的特点,着重考查学生的观察、估算、猜想能力,构思精巧、选材平实、追求 公平而不乏心意,也考查了学生读图、识图、从图形中提取信息的能力. 这里先指出文献[2]对该题论述的错误. 当0 ? x ?

1 时,过点 E 的截面为五边形 EFGHI (如图 2 所示), 连接 FI .由 SC 与该截 2
, 3 x, SI ? 2 SE ? 2 x

面 垂 直 , 得 SC ? EF , SC ? EI , 所 以 EF ? EI ? SE t an 60 ??

IH ? FG ? BI ? 1? 2x, FI ? GH ? 2 AH ? 2 2x , 得 五 边 形 EFGHI 的 面 积
1 ? FI ? S ? FG ? GH ? FI ? EF 2 ? ? ? ? 2 2 x ? 3 2 x 2 ,所以 2 ? 2 ?
1 1 1 2 2 V ( x) ? VC ? EFGHI ? 2VI ? BHC ? (2 2 x ? 3 2 x 2 ) ? CE ? 2 ? ? ?1? (1 ? 2 x) ? (1 ? 2 x) ? 2 x3 ? 2 x 2 ? 3 3 2 2 6
2

图2 当

图3

1 ? x ? 1 时 , 过 点 E 的 截 面 为 ?EFG ( 如 图 3 所 示 ) , 得 2

E G ?

E? F

tE aC n 6? 0 ?

3? ( 1 x )C, ?G

C ? F

2?,可得点 C E? 2 (E 1到底面 x ) CFG

的距离 h ? EC sin 45? ?

1? x ,所以 2

1 1 2 V ( x) ? ? CG ? CF ? h ? (1 ? x)3 3 2 3
进而,可得

? 2 3 2 ? 2x ? 2x ? 6 ? V ( x) ? ? ? 2 (1 ? x)3 ? ? 3
2 ? 1? 2 ? ?3 2 ? x ? ? ? 3? 3 ? ? V ?( x) ? ? ?? 2(1 ? x) 2 ? ?

1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? <x <1? ?2 ? 1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? <x <1? ?2 ?

可得 V ?( x) ? 0(0 ? x ? 1) ,所以随着 x 的增大, V 单调递减,且递减的速度是
2 ? 1? 2 ? ? 3 2 x ? ? ? ? ? 3? 3 ? ? ?V ?( x) ? ? ? 2(1 ? x) 2 ? ?

1? ? ?0 ? x ? ? 2? ? ?1 ? ? <x <1? ?2 ?

1 1 1 时,随着 x 的增大, V 递减的速度越来越快;当 ? x ? 时,随着 x 的 3 3 2 1 增大, V 递减的速度越来越慢;当 ? x ? 1 时,随着 x 的增大, V 递减的速度越来越慢. 2 对于高考题 3,可这样简解:由题意可分析出,随着 x 的增大,V 的值递减,且开始递
当0 ? x ? 减的速度越来越快,最后递减的速度越来越慢.由排除法知选 A. 参考文献 1 陈云烽.一道值得商榷的高考试题[J].中学数学教学参考(上旬),2012(12):29-32 2 任志瑜,张思明,等.2012 年高考数学试题“红黑榜”[J].基础教育课程,2012(9):33-38



推荐相关:

(甘志国)谈谈2010年高考数学江西卷理科压轴题

谈谈2010 年高考数学江西卷理科压轴题甘志国(该文已...z 两两互质, x ? y ) 的全部正整数解为 ? x...这道高考压轴题以整数性质为背景,实际上,有很多高考...


(甘志国)2015年高考北京卷理科压轴题的背景是数学黑洞问题

(甘志国)2015年高考北京卷理科压轴题的背景是数学...高考题 3 (2012 年高考新课标全国卷文科第 21 题...{1, 2,3,? , 2l}(l 是已知的正整数 ) ,...


(甘志国)谈谈这道“合情推理”高考题

谈谈这道“合情推理”高考题甘志国(该文已发表 中学数学(高中),2011(8):46-48) 1 这道“合情推理”高考题是考查探究能力的好题 “合情推理”(包括归纳与...


(甘志国)为2010年的高考数学湖北卷叫好

为2010 年的高考数学湖北卷叫好甘志国(该文已发表 ...第 18 题是一道常规立几题,无论是传统方法还是...(按正 ?ABC 求解),建议把它加难.否则,作为理 5...


(甘志国)坐标式三角形面积公式及其应用

坐标式三角形面积公式及其应用甘志国(已发表于 中学数学杂志,2015(3):33-35) 高考题 1 (2010 年高考辽宁卷理科第 8 题 ) 平面上 O, A, B 三点 ...


(甘志国)尴尬的循环论证——从2014年高考北京卷理科第1...

尴尬的循环论证——从 2014 年高考北京卷理科第 18 题谈起甘志国(已发表于 数学教学通讯(中等教育),2014(12):52,54) 2014 年高考北京卷理科第 18 题 (1)...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com