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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第11章 第62讲 空间向量的概念及运算课件 理


1.给出下列命题: ①若a与b共线,b与c共线,则a与c共线; ②向量a,b共线就是它们所在的直线重合; ③零向量没有确定的方向; ④若a P b,则存在唯一的实数? 使得a ? ? b. 其中错误命题的序号是  . ①②④  

解析:①中向量b为零向量时结论不一定成立 ,所以错误;②中向量的共线与直线的共线、 不一样,所以错误;③正确;④中需保证b不 为零向量才成立,所以错误.所以错误命题 序号为①②④.

2.在四面体ABCD中,M 、N 分别是BC、CD的 uuu r uur 1 uuu uuu u r r AN 中点,则 AB ? ( BD ? BC ) ? 2

uur 1 uuu uuu uur uuu uuu u r r u r r 解析: ? ( BD ? BC ) ? AB ? BN ? AN AB 2

3.已知点G是V ABC的重心,O是空间任意一点. uuv uuv uuu u v uuu v 3 . 若OA ? OB ? OC ? ? OG则?的值是   

解析:设BC的中点为D, uur uuu uuv uuu uuu r v v uuu OA+OD OA ? OB ? OC r 则OG = ? 3 3 故? =3

4.已知向量a ? (2, 1,3),b ? (?1, 4, 2),c ? (7,5,? ). ? ? 65 若a,b,c三向量共面,则实数?等于  7 解析:依题意,存在实数u,k,使得c ? ua ? kb,

即(7,5,? ) ? ? 2u ? k , 4k ? u,3u ? 2k ?. 17 ? ?k ? 7 ?2u ? k ? 7 ? 33 ? ? 所以 ?4k ? u ? 5 ,解得. ?u ? 7 ?3u ? 2k ? ? ? ? 65 ? ?? ? 7 ?

5.已知点A(2, 5,1),B(2, 2, 4),C (1, 4,1),则向 ? ? ? uur uuu u r 量 AB与AC的夹角为  . 60?  
uuu r 解析:因为AB ? ? 0,3,3?, ? ?1,1, 0 ?, ? uuu uuu r r uuu uuu r r AB ? AC 3 1 所以cos〈AB, 〉 uuu uuu ? AC ? r ? . r AB AC 3 2 ? 2 2 uuu uuu r r uuu uuu r r 又〈AB, 〉 [0,? ],所以〈AB, 〉 60?. AC ? AC ?

向量的线性运算
??? ? AC上,且CM ? 2MA,N 在A1 D上,且A1 N ? 2ND.设 AB ???? ???? ???? ? ? a, ? b, 1 ? b,试用a,b,c表示MN . AD AA

【例1】 在平行六面体A1B1C1 D1 — ABCD中,M 在

???? ???? ???? ? 【解析】 AN,则MN ? MA ? AN . 连结 ???? ??? ???? ? 又 AC ? AB ? AD ? a ? b, ???? 1 ???? 1 所以MA ? ? AC ? ? ? a ? b ?. 3 3 ???? ???? ???? ???? ???? 由已知, ? AD ? DN ? AD ? ND AN ???? 1 ???? ? = AD ? A1 D 3 ? ? c ? 2b ?. ???? ???? ???? ? 1 1 于是 MN ? MA ? AN ? ? ? a ? b ? ? ? c ? 2b ? 3 3 1 ? ? ?a ? b ? c ?. 3

用已知向量表示未知向量,要结合图形, 以图形为指导是解题的关键.根据图形,联想

相关的运算法则和公式,就近表示所需向
量.对照目标,对不符合目标要求的向量进行 适当调整,直到所有向量都符合目标要求.

??? ? ???? ???? BD的交点为M .设 AB ? a, ? b, 1 ? c,试用a,b, AD AA ????? c表示B1M .
【解析】
????? ???? ???? ? ? 1 ??? B1M ? B1 B ? BM ? ?c ? BD 2 ? 1 ???? ??? ? ?c ? ( AD ? AB ) 2 1 ? ?b ? a ? ? c 2 1 1 ? ? a ? b ? c. 2 2

【变式练习 】在长方体A1 B1C1 D1 — ABCD中,AC与 1

空间向量的数量积

【例2】 已知向量a,b,c两两夹角都是60?,且 a
夹角的余弦值.

?

1, ? 2, ? 3,求向量r ? a ? b ? c的长和r与a,b,c的 b c

【解析】

r ? a ? b ? c | ? ?a ? b ? c ?
2 2 2 2 2

2

? a ? b ? c ? 2a ? b ? 2a ? c ? 2b ? c, 因为向量a,b,c两两夹角都是60?,所以a ? b ? 1, 3 2 a ? c ? ,b ? c ? 3,所以 r ? 25, 2 即r ? a ? b ? c的长度为5.

7 又r ? a ? ? a ? b ? c ? ? a ? a ? a ? b ? a ? c ? , 2
2

r ? b ? ? a ? b ? c ? ? b ? a ? b ? b ? b ? c ? 8,
2

27 r ? c ? ?a ? b ? c ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? , 2 7 r ?a 2? 7, 所以cos〈r,a〉 ? ? r ?a 5 10
2

cos〈r,b〉 ?

r ?b 8 4 ? ? , r ?b 10 5

27 r ?c 2 ? 9 cos〈r,c〉 ? ? r ?c 15 10

向量数量积定义、定义的变形式和基本性 质是求向量模和夹角的计算公式,要理解记忆 并且正确运用.

【变式练习2】已知空间四边形OABC中,OA ? BC, OB ? AC.求证:OC ? AB.
??? ??? ??? ???? ? ? ? 由已知,得OA ? BC, ? AC, OB 【解析】 ??? ??? ? ? ??? ? ???? 所以OA ? BC ? 0, ? AC ? 0, OB ??? ???? ??? ? ? ??? ???? ??? ? ? 所以OA ? (OC ? OB) ? 0, OB ? (OC ? OA) ? 0, ??? ???? ??? ???? ? ? 所以OA ? OC ? OB ? OC ? 0. ???? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ???? ??? ???? ??? ? ? 所以OC ? AB ? OC ? OB ? OA ? OC ? OB ? OC ? OA ? 0. ???? ??? ? 所以OC ? AB, 所以OC ? AB.

?

?

向量的坐标运算 【例3】 在空间直角坐标
系中,BC=2,原点O是
BC的中点, 设点A(
3 2

,

1 2

,

0 ),点D在平面yOz内, 且∠BDC=90°,∠DCB =30°. (1)求向量OD的坐标; (2)设向量AD与BC的夹角为θ, 求cosθ的 值.

解析: ? 如图,过D作DE ? BC,垂足为E. ?1 在VBDC中,由?BDC ? 90?, ?DCB ? 30?,BC ? 2, 得BD ? 1,CD ? 3. 3 所以DE ? CD ? sin30? ? , 2 1 1 OE ? OB ? BD ? cos60? ? 1 ? ? , 2 2 1 3 所以D点的坐标为(0, , ), ? 2 2

uuu r 1 3 即向量OD ? (0, , ).   ? 2 2 uur uuu r uuu r 3 1 0) OB ? ? ? 2 ?因为OA ? ( , ,, ? (0, 1, 0), OC ? 0,1, 0 ?, 2 2 uuu uuu uur r r uuu uuu uuu r r r 所以 AD ? OD ? OA ? (?, 1,BC ? OC ? OB ? ? 0, 2, 0 ?. ? ), uuu uuu r r AD ? BC 10 故cos? ? uuu uuu ? ? . r r 5 AD ? BC

向量的坐标运算为向量的运算及夹角、距 离的研究提供了运算基础,关键是确定点和向 量的坐标.本题(1)利用向量的坐标的定义,求D 点的坐标;(2)利用数向量的量积,求两向量的

夹角.

【变式练习3】

已知空间三点A ? ?2, 0, 2 ?、B ? ?1,1, 2 ?、C ? ?3, 0, 4 ?, ??? ? ???? 设 AB ? a, ? b. AC

?1? 求a,b的夹角?的余弦值; ? 2 ? 若向量 ? ka ? b ? ? ? ka ? 2b ?,求k的值.

??? ? 解析: ?因为a ? AB ? ? ?1,1, 2 ? ? ? ?2, 0, 2 ? ? ?1,1, 0 ?, ?1 ???? b ? AC ? ? ?3, 0, 4 ? ? ? ?2, 0, 2 ? ? ? ?1, 0, 2 ?, a ?b ?1 10 所以 cos ? ? ? ? a?b 2 ? 5 10

? 2 ?因为ka ? b ? (k,k , 0) ? ? ?1, 0, 2 ? ? (k ? 1,k , 2), ka ? 2b ? (k,k , 0) ? ? ?2, 0, 4 ? ? (k ? 2,k, 4), ?
所以(k ? 1,k , 2) ? (k ? 2,k, 4) ? ? ? k ? 1?? k ? 2 ? ? k 2 ? 8 ? 0, 5 即2k ? k ? 10 ? 0,解得k ? ? 或k ? 2. 2
2

1.有下列命题:   ①若向量a,b与空间任意向量不能构成基底, 则a ? b; ②若a ? b,b ? c,则a ? c; ??? ??? ???? ? ? ???? ③若OA, , 是空间的一个基底,且OD ? OB OC ? ? 1 ??? 1 ??? 1 ???? OA ? OB OC,则A,B,C,D四点共线; 3 3 3 ④若向量a ? b,b ? c,c ? a是空间的一个基 底,则向量a,b,c也是空间的一个基底. 其中正确命题有 3 个.

2.已知向量a ? ? 2x,1,3?,b ? (1, 2y,9). ? 若a ? b,则x ?
3 1 ,y ?  ?   . 2 6

3. 已知O是空间任意一点,A、B、C、D四点满足任 ??? ? ??? ? ??? ? 意三点均不共线,但四点共面,且OA ? 2 xBO ? 3 yCO ???? ? ?4 zDO,则2x ? 3y ? 4z ?   ?1 ____________   .

【解析】

??? ? ??? ? ???? ???? 因为OA ? ?2xOB ? 3yOC ? 4zOD,

所以 ? 2x ? 3y ? 4z ? 1,所以2x ? 3y ? 4z ? ?1.

4.三棱锥O ? ABC中,M 、N 分别是OA、BC 的中点,点G在线段MN 上,且MG ? 2GN . ??? ? ??? ? ???? 设OA ? a, ? b, ? c,试用a,b,c表示 OB OC 向量.

???? ???? ???? ? ? 解析: ? OM ? MG OG ? ? 1 ??? 2 ???? ? OA ? MN 2 3 ? 1 2 ???? ???? ? a ? (ON ? OM ) 2 3 ? ? ? 1 2 1 ??? ??? 1 ??? ? a ? [ (OB ? OC) ? OA] 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 ? a ? ? b ? c ? ? a ? a ? b ? c. 2 3 3 6 3 3

5.已知点A ? 0, 2,3?,B ? ?2,1, 6 ?,C (1, 1,5) ? 为空间三点. ??? ???? ? AC ?1? 求以 AB, 为邻边的平行四边形的面积; ??? ???? ? AC ? 2 ? 若n分别与向量 AB, 垂直,且 n ? 3, 求向量n的坐标.

??? ? 解析: ?由题意,得 AB ? (?2, 1,3), ? ?1 ???? AC ? (1, 3, 2), ? ??? ? ???? 则 | AB |? 14,AC |? 14, | ??? ???? ? AB ? AC ?2 ? 3 ? 6 1 所以cos?CAB ? ??? ???? ? ? , ? 14 ? 14 2 AB + AC 3 故sin?CAB ? . 2 ??? ???? ? 所以S ?| AB | ? | AC | sin?CAB ? 7 3, ??? ???? ? 即以 AB, 为邻边的平行四边形的面积为7 3. AC

? ?2 x ? y ? 3 z ? 0 ? 由已知得 ? x ? 3 y ? 2 z ? 0 , ? x2 ? y2 ? z 2 ? 3 ? ? x ? 1 ? x ? ?1 ? ? 解得 ? y ? 1或 ? y ? ?1. ? z ? 1 ? z ? ?1 ? ?

所以n ? ?1,1,1? 或n ? (?1, 1, 1). ? ?

1.空间向量的运算
空间向量的运算是空间向量的坐标运算的基

础,如证明直线与平面平行时,先在平面内找
到两个向量,通过这两个向量根据向量垂直的 数量积运算关系求出平面的法向量,再证法向 量与已知直线的方向向量垂直.

2.空间向量的坐标运算

根据几何条件,分析要研究的问题需要用
什么向量知识来解决,如是平行或垂直或求角, 同时,针对目标建立空间直角坐标系,并明确 哪些向量是可用的,把需要的向量的坐标找出 来;可用向量是否是已知向量,若不是,看它

们最易用哪些已知向量去表示;对表示出来的
所有向量进行合理的运算,最终得到所需要的 结论.


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