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广东省肇庆市2013-2014学年高二数学上学期期末教学质量评估试题 文 新人教A版


肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014 学年第一学期统一检测题高二数学(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体可以是 A.圆柱 C.棱柱 2.下列命题中假命题 是 ... A.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; B.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面 相互平行.
3 3.直线 l 的倾斜角为 ? ,且 sin ? ? ,则直线 l 的斜率是 5 4 3 3 3 A. ? B. C. 或 ? 3 4 4 4

B.圆台 D.棱台

D.

4 4 或? 3 3

4.如果命题“ ?( p ? q) ”是真命题,则 A.命题 p、q 均为假命题 C.命题 p、q 中至少有一个是真命题 B.命题 p、q 均为真命题 D.命题 p、q 中至多有一个是真命题

5.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A.-2 B.2 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 6 2

C.-4

D.4

7.设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n C.若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α B.若 m∥α ,m∥β ,则 α ∥β D.若 m∥α ,α ⊥β ,则 m⊥β

x2 y2 5 8.已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b
1 A. y ? ? x 4 1 B. y ? ? x 3 1 C. y ? ? x 2
1

D. y ? ? x

x2 y2 9.设椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是 C 上的点, PF2 ? F1 F2 , a b

?PF1 F2 ? 30? ,则 C 的离心率为

A.

3 3

B.

1 3

C.

1 2

D.

3 6

10.如右图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,P 为对角线 BD1 的三
D1

等分点,
C1 B1 D P B C

则 P 到各顶点距离的不同取值有 A.3 个 C.5 个 B.4 个 D.6 个

A1

A

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.命题“ ? x0 ? R, e x0 ? 0 .”的否定是 12.抛物线 y 2 ? 12 x 上与其焦点的距离等于 9 的点的坐标是 . .

13.已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积 S 的取值范围是 .
B C

14.如右图,从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC
O

已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3,
A

则圆心 O 到 AC 的距离为

.

D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知半径为 3 的球内有一个内接正方体(即正方体的顶点都在球面上). (1)求此球的体积; (2)求此球的内接正方体的体积; (3)求此球的表面积与其内接正方体的全面积之比.

2

16. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 经过 A (1, 1) 、 B (2, 两点, 且圆心 C 在直线 l: x ? y ?1 ? 0 ?2) 上,求圆 C 的标准方程.

17.(本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1 ? 4 ,点 D 是 AB 的中点. (1)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; (2)求证:AC⊥BC1.
C1 B1

A1 C D A

B

18. (本小题满分 14 分)已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是 l1 : x ? y ? 1 ? 0 ,
l 2 : 3x ? y ? 4 ? 0 , 且它的对角线的交点是 M(3,3) ,求这个平行四边形其它两边所在直线

的方程.

19. (本小题满分 14 分)如图所示,已知 AB 为圆 O 的直径,且 AB=4,
1 点 D 为线段 AB 上一点,且 AD ? DB ,点 C 为圆 O 上一点,且 BC ? 3 AC .点 P 在圆 O 所在 3

平面上的正投影为点 D,PD=DB.
3

(1)求证: CD ? 平面 PAB ; (2)求点 D 到平面 PBC 的距离.

P

A C

D

O

B

20. (本小题满分 14 分) 设椭圆

x2 y 2 B( 2 ,0) , 右顶点分别为 A(? 2 ,0) 、 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 a 2 b2

离心率 e ?

2 .过该椭圆上任一点 P 作 PQ⊥x 轴,垂足为 Q,点 C 在 QP 的延长线上,且 2

| PC |? ( 2 ? 1) | PQ | .(1)求椭圆的方程; (2)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (3)设直线 MN 过

椭圆的右焦点与椭圆相交于 M、N 两点,且 MN ?

8 2 ,求直线 MN 的方程. 7

4

2013—2014 学年第一学期统一检测题 高二数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 D 7 C 8 C 9 A 10 B

二、填空题 11. ? x ? R, e x ? 0 三、解答题
4 4 15. (本小题满分 12 分)解: (1)球的体积 V ? ?R 3 ? ? ? ( 3 ) 3 ? 4 3? (4 分) 3 3

12. (6,?6 2 ) (只答一个得 3 分)13. [1, 2 ]

14.

5

(2)设正方体的棱长为 a,所以对角线长为 3a .

(5 分)

因为球的半径为 3 ,且正方体内接于球,所以正方体的对角线就是球的直径, 故 3a = 2 3 ,解得 a ? 2 . (7 分) 因此正方体的体积 V ? 2 3 ? 8 . (8 分)

(3)由(2)得 a ? 2 ,所以正方体的全面积为 S 正方体 ? 6a 2 ? 24 , 球的表面积 S 球 ? 4?R 2 ? 12? , 所以
S球 S正方体 ? 12? ? ? . 24 2

(9 分)

(10 分) (12 分)

16. (本小题满分 12 分)
?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? R 2 ? 解:方法 1:设圆心 C 为(a,b) ,半径为 R,依题意得 ?(2 ? a) 2 ? (?2 ? b) 2 ? R 2 , (6 分) ?a ? b ? 1 ? 0 ?
? a ? ?3 ? 解得 ?b ? ?2 , (9 分)所以圆 C 的标准方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 25 . ?R ? 5 ?

(12 分)

3 1 方法 2:因为 A(1,1) ,B(2,-2) ,所以线段 AB 的中点 D 的坐标为 ( ,? ) , (2 分) 2 2

直线 AB 的斜率 k AB ?

? 2 ?1 ? ?3 , 2 ?1

(4 分) (6 分) (9 分)

因此线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 3 y ? 3 ? 0 .
?x ? 3 y ? 3 ? 0 ? x ? ?3 圆心 C 的坐标满足方程组 ? ,解之得 ? ?x ? y ? 1 ? 0 ? y ? ?2
5

所以圆心 C 的坐标是(-3,-2) 半径 r ? AC ?

(10 分)
?5
2

?1 ? 3?2 ? ?1 ? 2?2
2

(11 分) (12 分)

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 3? ? ? y ? 2? ? 25. 17 . (本小题满分 14 分)

证明: (1)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE,因为 E 为正方形 CBB1C1 对角线的交点, 所以 E 为 C1B 的中点. 又 D 是 AB 的中点, 所以 DE 为?ABC1 的中位线, 故 DE//AC1. (4 分) (5 分) (7
A A1 C D E

(2 分)

C1

B1

B

因为 AC1?平面 CDB1, DE?平面 CDB1, 所以 AC1//平面 CDB1. (2)在?ABC 中,AC=3,BC=4,AB=5, 所以 AB2=AC2+BC2,故 AC⊥BC. 因为 C1C⊥平面 ABC,AC?平面 ABC,所以 AC⊥C1C. 又 C1C?平面 BB1C1C,BC?平面 BB1C1C,且 C1C∩BC=C, 所以 AC⊥平面 BB1C1C. 又 BC1?平面 BB1C1C,所以 AC⊥BC1. 18. (本小题满分 14 分)
?x ? y ? 1 ? 0 解:联立两条直线的方程,得 ? , (2 分) ?3 x ? y ? 4 ? 0

分)

(9 分) (11 分)

(13 分) (14 分)
D

y C

3 ? x?? ? ? 4 解得 ? . ?y ? 7 ? 4 ?

(4 分)

A O

M x

3 7 如图平行四边形 ABCD 的一个顶点是 A(? , ) , 4 4

B

设顶点 C ( x0 , y0 ) ,由题意,点 M(3,3)是线段 AC 的中点, (5 分)
3 ? ? x0 ? 4 ?3 ? ? 2 所以 ? , ?y ? 7 ? 0 4 ?3 ? ? 2
27 ? x0 ? ? ? 4 解得 ? ? y ? 17 0 ? 4 ?

(7 分)

由已知,直线 AD 的斜率 k AD ? 3 ,因为直线 BC // AD ,
6

(8 分)

所以 BC 的方程为 y ?

17 27 ? ? ? 3? x ? ? ,即 3x ? y ? 16 ? 0 . 4 4 ? ?

(10 分) (11 分) (13 分)
P (14 分)

由已知,直线 AB 的斜率 k AB ? ?1 ,因为直线 CD // AB , 所以 CD 的方程为 y ?
17 27 ? ? ? ?? x ? ? ,即 x ? y ? 11 ? 0 . 4 4 ? ?

故其余两边所在直线的方程是 3x ? y ? 16 ? 0 , x ? y ? 11 ? 0 . 19. (本小题满分 14 分) (1)证明:方法 1: 连接 CO. 由 3AD=DB 知,点 D 为 AO 的中点. 又∵AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60? , ∴ ?ACO 为等边三角形. 故 CD ? AO . (2 分) (3 分)
C

(1 分)
A D O B

∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴ PD ? 平面 ABC , (4 分) 又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD , 由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD ? AO ? D , 得 CD ? 平面 PAB . 方法 2: ∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , (1 分) (6 分) (5 分)

在 Rt?ABC 中,由 AB=4, 3 AD ? DB , 3 AC ? BC 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , ∴
BD BC 3 ? ? ,则 ?BDC ∽ ?BCA , BC AB 2

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

∴ ?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO . ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴ PD ? 平面 ABC , 又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD , 由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD ? AO ? D , 得 CD ? 平面 PAB . (6 分) (1 分)

方法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴ AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3 AC ? BC 得, ?ABC ? 30? ,
7

由 AB=4, 3 AD ? DB ,得 DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD2 ? DB2 ? BC 2 ? 2DB ? BC cos30? ? 3 , ∴ CD2 ? DB2 ? BC 2 ,即 CD ? AO . ∵点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D ,∴ PD ? 平面 ABC , 又 CD ? 平面 ABC ,∴ PD ? CD , 由 PD?平面 PAB,AO?平面 PAB,且 PD ? AO ? D , 得 CD ? 平面 PAB . (2)方法 1: 由(1)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,
1 1 1 1 1 3 3 ∴ VP ? BDC ? S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? . 3 3 2 3 2 2

(2 分) (3 分) (4 分) (5 分)

(6 分)

(7 分) (9 分)

又 PB ? PD 2 ? DB 2 ? 3 2 , PC ? PD 2 ? DC 2 ? 2 3 , BC ? DB 2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 ∴ ?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? ? 3 2 ? 12 ? ? . 2 2 2

(12 分)

设点 D 到平面 PBC 的距离为 d ,
1 3 3 3 5 由 VP ? BDC ? VD ? PBC 得, S ?PBC ? d ? ,解得 d ? . 3 2 5
P

(14 分)

方法 2: 由(1)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 , (7 分) 过点 D 作 DE ? CB ,垂足为 E ,连接 PE , 再过点 D 作 DF ? PE ,垂足为 F . ∵ PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∴ PD ? CB ,又 PD ? DE ? D , ∴ CB ? 平面 PDE , (9 分) (8 分)
A D F O C E B

又 DF ? 平面 PDE ,∴ CB ? DF ,又 CB ? PE ? E , ∴ DF ? 平面 PBC ,故 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离. 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30? ?
3 , 2
8

(10 分) (11 分)

3 3? 3 5 PD ? DE 2 ?3 5, 在 Rt?PDE 中, PE ? PD 2 ? DE 2 ? , DF ? (13 分) ? 2 PE 5 3 5 2

即点 D 到平面 PBC 的距离为

3 5 . 5

(14 分)
c 1 , ∴ c ? 1, ? a 2

20. (本小题满分 14 分) 解: (1) 由题意可得,a ? 2 ,e ?

(2

分)∴ b ? a ? c ? 1 ,
2 2 2

x2 (3 分)所以椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . (4 分) 2

? x0 ? x ? ? ? x ? x0 (2)设 C ( x, y ) , P( x0 , y0 ) ,由题意得 ? ,即 ? y , (6 分) ? ? y ? 2 y0 ? y0 ? 2 ?



2 x0 x2 y2 2 ? y0 ? 1 ,代入得 ? ? 1 ,即 x 2 ? y 2 ? 2 . 2 2 2

即动点 C 的轨迹 E 的方程为 x 2 ? y 2 ? 2 . (8 分) (3) 若直线 MN 的斜率不存在,则方程为 x ? 1,所以 MN ? 2 ? 所以直线 MN 的斜率存在,设为 k,直线 MN 的方程为 y ? k ?x ? 1? ,
? x2 ? ? y2 ? 1 ?1 ? 由? 2 ,得 ? ? k 2 ? x 2 ? 2k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0 . ?2 ? ? y ? k ?x ? 1? ?
8 2 . 7

(9 分)

(10 分)

4k 2 ? 2k 2 ? 2 1 因为 ? ? 4k 4 ? 4( ? k 2 )( k 2 ? 1) ? 2(k 2 ? 1) ? 0 ,所以 x1, 2 ? . 2(2k 2 ? 1) 2

设 M ?x1 , y1 ?, N ?x2 , y 2 ? ,则 x1 ? x 2 ?

4k 2 2k 2 ? 2 , x x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

(11 分)

所以 | MN |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 , 即 1? k 2 ?
16 k 4 8k 2 ? 8 8 2 ? ? , 7 (1 ? 2k 2 ) 2 1 ? 2k 2

(12 分) (13 分) (14 分)

解得 k ? ? 3 . 故直线 MN 的方程为 y ? 3 ?x ? 1? 或 y ? ? 3 ?x ? 1?.
9


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