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函数y=Asin(ωx+φ)的图象(新人教版)


1.5函数Y=ASin(ωX+ψ)的图 象
(第一课时)

1. 函数Y=Sin(X+ψ)与 Y=SinX的图象的联系

例1
x+
X
?
3

画出函数 Y=Sin (X+ 3 ),X∈R ? Y=Sin(X- 4 ) ,X∈R 的简图。
0
-π/3 0 0 π/4 0

?

π/2
π/6 1 π/2 3π/4 1

π
2π/3 0 π 5π/4 0

3π/2
7π/6 -1 3π/2 7π/4 -1


5π/3 0 2π 9π/4 0

? Sin(X+ 3 ) x-? ? Sin(X- 4 )

X

4

1
? ? 2

Y
7? 6

3? 2
5? 4

7? 4

9? 4
2?

X

? ? 3

O

? ? ? 2? 3? ? 6 4 2 3 4

5? 3

-1

一般地,函数Y=Sin(X+ψ),X∈R (其中ψ≠0)的 图象,可以看作正弦曲线上所有点向左(当ψ>0时)或向右 (当ψ<0时) 平行移动│ψ│个单位长度而得到。 这种变换称为平移变换。 Y=SinX

左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│

Y=Sin(X+ψ),

2. 函数Y=SinωX与Y=SinX的 图象的联系

例2
2X X Sin2X 0.5X

画出函数 Y=Sin2X,X∈R Y=Sin0.5X,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 π/4 1 π/2 π π/2 0 π 3π/2 3π/4 -1 3π/2 2π π 0 2π

X
Sin0.5X

0
0

π
1


0


-1


0

1 O -1

Y X
? 4 ? 2
3? 4
?

3? 2

2?

3?

4?

Y=Sin2X

Y=SinX

Y=Sin0.5X

一般地,函数Y=SinωX,X∈R (其中ω>0, 且ω≠1)的图象,可以看作正弦曲线上所有点的横坐标
缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时) 到原来的1/ω倍(纵坐标

不变)而得到。 这种变换称为周期变换。 Y=SinX 纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍

3. 函数Y=ASinX与Y=SinX的图 象的联系

例3
x Sin X 2Sin X 0.5Sin X

画出函数 Y=2 SinX,X∈R Y=0.5 SinX,X∈R 的简图。
0 0 0 0 π/2 1 2 1/2 π 0 0 0 3π/2 -1 -2 -1/2 2π 0 0 0

这两个函数的 思考: 周期都是 , ∈R 函数 Y=2 2π SinX,X Y=0.5 SinX,X∈R 我们先画出它们 的值域是什么? 在[0, 2π]上的简图。

2 1
0.5 -0.5

Y

X
? 2
?

O

3? 2

2?

-1 -2

一般地,函数Y=ASinX,X∈R (其中A>0, 且A≠1)的图象,可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标 伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标

不变)而得到。这种变换叫做振幅变换,A叫做函数
Y=ASinX的振幅。 函数Y=ASinX,X∈R的值域是[-A,A],最大值是A, 最小值是-A。 横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍

练习
1. 画出函数Y=Sin(2X+
Y

?

4 周期的闭区间上的简图。
1

),X∈R在长度为一个

? ? 8
-1

O

? 8

3? 8

5? 8

7? 8

X

左移π/2个单位长度 2.将y=SinX的图象_____________________
可得到y=CosX的图象。 3. 将y=Sin(X+ 4 )的图象向左平移π/2个单位可 ? ? ? Y=Sin(X+ 4 +2 )=Cos(X+4 ) 的图象。 得到_________________________ 纵标不变,横标伸长到原来的9倍 4.由y=Sin3X的图象_________________________ 得到y=Sin(X/3)的图象。

?

小结: 1.用五点法作Y=ASin(ωX+ψ)函数的简图时, 首先把ωX+ψ看作一个整体Z, 再令Z=0, π/2,π,3π/2,2π,求出X, 最后,列表、描点、连线。
2. 振幅变换:
Y=SinX 横坐标不变 Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍 左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),

3. 周期变换:
Y=SinX

4. 平移变换:
Y=SinX

图形变换y ? Asin( ω x ? ? ), x ?R
y ? sinx, x ?R
沿x轴 平行移动

步骤 1

x ?R 得到 y ? sin(x? ? ),
横坐标 伸长或缩短1/w倍

步骤 2

得到 y ? sin( ω x? ?),x ? R
纵坐标 伸长或缩短A倍

步骤 3

? ? ), x ?R 得到 y ? Asin( ω x

理论迁移

y ? sin( 3x ? ) 的图象, 1. 要得到函数 5 只需将函数 y ? sin 3x 的图象 (D ) ? A.向左平移个 5 单位 ? B.向右平移个 5 单位 ? C.向左平移个 15 单位 ? D.向右平移个 15 单位
2、写出由 y

?

? sin x

2 2? 变换到 y ? 5sin( 3 x ? 3 )

的图形变换过程


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