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高中数学


数列的概念与简单表示法
第一课时

一、新课引入
· · ·
图一

· · ·
图二

三角形数:1,3,6,10,···
正方形数:1,4,9,16,···

二、新课讲解
1. 定义:按一定顺序排列着的一列数称为 数列 数列的特征:有序性 思考: 数列-1,1,-1,1……改为1,-1,1,-1……, 请问:是不是同一数列? 2.数列中的每一个数叫做这个数列的项。 各项依次叫做这个数列的首项,第2项,· · · ,第n项, · · ·

?,an ?, 数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3, 简记为{an}

二、新课讲解
3.数列的分类 (1)按项数分: 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列 (2)按项之间的大小关系: 递增数列,递减数列, 摆动数列, 常数列。 练习: 判断下列数列是属于哪类数列. (1) 全体自然数构成的数列:0,1,2,3,… (2) 无穷多个3构成的数列:3,3,3,3,… (3) 人民币面额(单位:元)按一定顺序构成的数列: 100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01. (4) -1的1次幂,2次幂,3次幂,4次幂…构成的数列: -1,1,-1,1, …

二、新课讲解
4. 数列的项an与项数n的关系 n 1 2 3 4 5 …

an

2

4

6

8

10



n

1
1 2

2
1 4

3
1 8

4
1 16

5
1 32

… …

an

如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个 公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

二、新课讲解
例1.根据下列数列的前几项的值, 写出数列的一个通项公式:

(1) 1, 1, 1, 1, ??? (2) ? 1,1, ?1,1, ??? (3) 1, ?1, 1, ?1, ??? 1 1 1 (4) 1, ? ,, ? ??? 2 3 4 (5) 2,,, 0 2 0 ???

二、新课讲解
5. 数列的实质 从映射的观点看,数列可以看作是:序号到数列项 n f(n) 的映射
1 2 3 … a1 a2 a3







从函数的观点看,数列项是序号的函数。 * 即: 数列可以看作是一个定义域为正整数集 N ( 或它 的有限子集{1,2,…,n})的函数,当自变量从小 到大依 次取值时对应的一列函数值。



n



an

二、新课讲解
6. 数列的表示法 以数列: 2, 4, 6, 8, 10, 12, ···为例 通项公式法: an=2n 列表法 n 1 2
an 图象法 a 1= 2 2 4

3 6

4 8

5 10

… …

递推法

an= an-1 +2 (n>1)

二、新课讲解
例2.下图中的三角形称为谢宾斯基三角形,在下图4个 三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标 系中画出它的图象.

( 1)

( 2)

( 3)

( 4)

二、新课讲解
1 例3. 已知a1 ? 1, an ? 1 ? (n ? 2), 写出这个数列 an?1 的前5项. 解:∵a1=1
1 1 ? a2 ? 1 ? ? 1? ? 2 a1 1

1 1 3 a3 ? 1 ? ? 1? ? a2 2 2 1 2 5 a4 ? 1 ? ? 1 ? ? a3 3 3 1 3 8 a5 ? 1 ? ? 1 ? ? a4 5 5

例4 ( . 1)已知数列?an ? 满足a1 ? 1, an ? an -1 +1(n ? 2), 写出这个数列的通项公式。 an n (2)已知数列?an ? 满足a1 ? 1, ? (n ? 2), an ?1 n ? 1 写出这个数列的通项公式。

三、练习
1. 写出下列数列{an}的前5项 (1)a1=5,an=an-1+3 (n≥2); (2)a1=2,an=2an-1 (n≥2); (1)5,8,11,14,17 思考:你能否利用上面两题的条件求出数列 {a n }的 (2)2,4,8,16,32 通项公式?
分析(1)后一项比前一项多3 (2)后一项是前一项的2倍

9n ( n ? 1) ? a ? ( n ? N ) ,试问数列中有没有最大项 2.已知 n n 10
如果有,求出这个最大项,如果没有,说明理由。

1、 选择题

补充练习
)

( 1 )下面数列是有穷数列的 是( 1 1 1 A.1,0,1,0, ? B.1, , , ; 2 3 4 C.2,22,222 , ? D.0,0,0,0, ? A.380 B.39 C .32

( 2 )以下四个数中, 是数列 { n( n ? 1 )} 中的一项是( D.23 n2 ( 3 )已知数列 { an }的通项公式an ? 2 ,那么0.98( n ?1 A.是这个数列的项 , 且n ? 6 ; B.是这个数列的项 , 且n ? ?7 ; C .是这个数列的项 , 且n ? 7 ; D.不是这个数列的项 .

).

)

2、 填空题 n?1 ( 4) 已知数列 { an }的通项公式an ? , n 则它的第 5项a5 ? _______; 1 3 7 15 ( 5 )数列? , ,? , ,?的一个通项公式 2 4 8 16 为__________ ____; 1 ( 6 )数列 0 , lg 2 ,lg 3 ,lg 2 ,?的一个通项公 2 式为__________ _____.

观察下面数列的各项之间有什么关系?

1,1,2,3,5,8,13,21,…
分析:这是意大利人斐波那契首先得出的数列称为斐波 那契数列。此数列从第三项起,每一项是它前面两项的和。 如果用

an 表示数列的第n项( n ? N *),则

a n ? 2 ? a n ? 1 ? a n , n ? N * (2) 且 a1 ? 1, a2 ? 1.
则公式(2)就称为数列的递归公式。


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