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正弦定理(一)


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45分钟作业与单元评估

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第一章

解三角形

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1.1
正弦定理和余弦定理

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解三角形

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1.1.1
正弦定理

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解三角形

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第1课时 正弦定理(1)

课 时 作 业
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能 力 拓 展
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基础训练 课标导航

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1.理解正弦定理及其相关变式的推导过程. 2.掌握正弦定理,并初步学会用正弦定理解决简单的三角 形度量问题.

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基础训练 课时作业
限时:45分钟 总分:100分

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一、选择题(每小题5分,共30分) 1.已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a, b,c,若a=c= 6+ 2,且∠A=75° ,则b等于( A.2 C.4-2 3
答案:A

)

B.4+2 3 D. 6- 2

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2.在△ABC中,∠A=60° ,a=4 3 ,b=4 2 ,则∠B等 于( ) A.45° 或135° C.45° B.135° D.以上答案都不对

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3 2

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bsinA 解析:∵sinB= = a

4 2× 4 3

2 = ,∴∠B=45° 或135° . 2

但当∠B=135° 时,不符合题意,所以∠B=45° ,故选C.

答案:C

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3.已知在△ABC中,a=4,b=4 3,∠A=30° ,则∠B等 于( ) A.30° C.60° B.30° 或150° D.60° 或120°

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a b bsinA 3 解析:由正弦定理得 = ,∴sinB= = .∴∠ sinA sinB a 2 B=60° 或∠B=120° .
答案:D

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4.在△ABC中,a=5,b=3,则sinA∶sinB的值是( 5 A.3 3 C.7 3 B.5 5 D.7

)

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a b 解析:由正弦定理知 = ,∴sinA∶sinB=a∶b= sinA sinB 5∶3.
答案:A

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5.△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两解的是 ( ) A.b=10,∠A=45° ,∠C=70° B.a=30,b=25,∠A=150° C.a=7,b=8,∠A=98° D.a=14,b=16,∠A=45°

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解析:A中已知两角与一边,有唯一解;B中,a>b,且∠ A=150° ,也有唯一解;C中b>a,且∠A=98° 为钝角,故解不 存在;D中由于b>a且∠A=45° 为锐角,故有两解.
答案:D

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)

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6.在△ABC中,下列关系中一定成立的是( A.a>bsinA C.a<bsinA B.a=bsinA D.a≥bsinA

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a b bsinA 解析:由正弦定理 = ,∴a= ,在△ABC sinA sinB sinB 1 中,0<sinB≤1,故 ≥1,∴a≥bsinA. sinB

答案:D

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二、填空题(每小题5分,共15分) π 1 7.在△ABC中,若b=5,∠B=4,sinA=3, 则a=________.

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1 5× 3 a b bsinA 解析:根据正弦定理 sinA = sinB ,得a= sinB = = 2 2 5 2 . 3
5 2 答案: 3

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a+b+c a 8.已知 =2,则 =______. sinA sinA+sinB+sinC

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解析:由已知a=2sinA,∴b=2sinB,c=2sinC. ∴a+b+c=2(sinA+sinB+sinC).∴原式=2.

答案:2

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9.在△ABC中,已知a=5 2 ,c=10,∠A=30° ,则∠B =________.

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c a 解析:由正弦定理得 = , sinC sinA 1 10× 2 csinA 2 ∴sinC= = = . a 2 5 2 ∵c>a,∴∠C>∠A,且0° <∠C<180° . ∴∠C=45° 或∠C=135° .∴∠B=105° 或∠B=15° .

答案:105° 或15°

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三、解答题(共 55 分) 10.(本小题 15 分)在△ABC 中,c=10,∠A=45° ,∠C= 30° ,求 a,b 和∠B.

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解:∠B=180° -(∠A+∠C)=180° -(45° +30° )=105° . a c csinA 10×sin45° ∵sinA=sinC,∴a= sinC = sin30° =10 2. 10×sin105° b c csinB ∵ = ,∴b= = =20sin75° = sinB sinC sinC sin30° 6+ 2 20sin(45° +30° )=20× 4 =5( 6+ 2).

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2 3 11.(本小题15分)在△ABC中,已知c= 2 ,b= ,∠B 3 =45° ,解此三角形.

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csinB 2sin45° 3 解:由正弦定理得sinC= = = , b 2 2 3 3 又0° <∠C<180° ,且b<c, ∴∠C=60° 或∠C=120° . 当∠C=60° 时,∠A=180° -(60° +45° )=75° , 2 3 3 sin75° bsinA 3 a= sinB = sin45° =1+ 3 ;

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当∠C=120° 时,∠A=180° -(45° +120° )=15° , 2 3 3 sin15° bsinA 3 a= sinB = sin45° =1- 3 .

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基础训练 能力拓展

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12.(10分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b, c,且b· cosC=3a· cosB-c· cosB,则cosB=________.

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解析:由正弦定理得a=2R· sinA,b=2R· sinB,c= 2R· sinC, 则等式可化为:2R· sinB· cosC=6R· sinA· cosB- 2R· sinC· cosB, 即:sinB· cosC=3sinA· cosB-sinC· cosB, 可得sinB· cosC+sinC· cosB=3sinA· cosB, sin(B+C)=3sinA· cosB.

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又sin(B+C)=sinA,且sinA≠0, 1 ∴cosB=3.
1 答案:3

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13.(15分)在△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33, 5 3 sinB=13,cos∠ADC=5,求AD.

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3 π 12 解:由cos∠ADC= >0,知B< .由已知得cosB= ,sin∠ 5 2 13 4 ADC= . 5 从而sin∠BAD=sin(∠ADC-B)=sin∠ADCcosB-cos∠ 4 12 3 5 33 AD BD ADCsinB= × - × = .由正弦定理得 = . 5 13 5 13 65 sinB sin∠BAD 5 33× 13 BD· sinB 所以AD= = 33 =25. sin∠BAD 65

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