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泸溪一中2014年下学期高二年级期中试题


泸溪一中 2014 年下学期高二年级期中试题
理科数学 命题教师:张昌能 审题教师:高一数学备课组 总分:150 分 考试时间:120 分
注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2.请将答案正确填写在答题卡上

一、选择题:本大题共 10,每小题 5 分,满分 50 在每小题给出的四个选项中,只有一项 .. 是符合题目要求的.请把你认为正确的选项序号 填在答卷的相应题号下 . .. ........ 1.已知命题 p : ?x ? R, 使 ae x ? x ? 0, 则 ? p 是 A. ?x ? R, ae x ? x ? 0 C. ?x ? R, ae x ? x ? 0 B. ?x ? R, ae x ? x ? 0 D. ?x ? R, ae x ? x ? 0 ( )

2.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1共焦点,且渐近线为 y ? ?2 x 的双曲线方程是 6 x2 ?1 B. y ? 4
2





y2 ?1 A. x ? 4
2

x2 ? y2 ? 1 C. 4

y2 ? x2 ? 1 D. 4
( D. 63 ) )

3.在等差数列 {a n } 中,已知 a2 ? a7 ? 18 ,则 S8 等于 A.75 B. 72 C. 81

?x ? 0 4.已知实数 x、y 满足 ? ,则 z ? x ? y 的最小值等于( ?y ? 0 ?x ? 4 y ? 4 ?

A. 0 B. 1 C. 4 D. 5 5.在△ABC 中,已知 A = 45°, B = 15°, a=1, 则这个三角形的最大边的长为 A.





6 2

B.

6 3

C.

6 4

D. 6

6.已知 a n ? A. a1 , a50

n ? 79 n ? 80

, ( n ? N ? )则在数列{ an }的前 50 项中最小项和最大项是 C. a8 , a9 D. a9 , a50 )

B. a1 , a8

7.数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,?的第 1000 项的值是( A. 42 B. 45 C. 48 D. 51

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1(m ? 3) 的 ( ? ? 1 与曲线 8.曲线 4? m 3? m 4 3
A. 长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等

) D.焦距相等

9.已知不等式 ax ? A.8

1 ? 8 对 x ? (1,??) 恒成立,则正实数 a 的最小值为( x ?1



B.6 C.4 D.2 2 2 2 y y x x2 10. 我们把由半椭圆 2 ? 2 ? 1( x ? 0)与半椭圆 2 ? 2 ? 1( x ? 0) 合成 a b b c 的曲线称作“果圆” (其中 a 2 ? b 2 ? c 2 , a ? b ? c ? 0 ) 。如图,设点

F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点,A1、A2 和 B1、B2 是“果圆”与 x,y 轴的
交点, 若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形, 则 a ,b 的值分别为 ( A. )

3 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) , x y 11. 设 x, y ? R , 且 x ? y ? 3 , 则 4 ? 4 的最小值是 5

7 ,1 2

B. 3,1

1 C.5, ,3

D.5,4

.

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 12.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 , 若目标函数 z ? ax ? y(a ? 0) 仅在点(3,0) ? y ?1 ? 0 ?
处取得最大值,则 a 的取值范围是
x 13.已知椭圆 a 2 ?
2

y2 b2

? 1 ( a ? 0, b ? 0 ,)的左焦点为 F,右顶点为 A,上顶点为 B,若 BF⊥


BA,则称其为“优美椭圆”,那么“优美椭圆”的离心率为 14. 在平面直角坐标系上,设不等式组 ?

? x ? 0且y ? 0 所表示的平面区域为 Dn , 记 Dn 内 ? y ? ?n( x ? 5)


的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为 an (n ? N ? ) . 则 a1 ? 经推理可得 到 a2015 ? 15. 已知点 P 在双曲线 .

x2 y 2 ? ? 1 上,且左右两个顶点分别为 A1 、 A2 ,记直线 PA1 的斜率 9 4

为 k1 ,直线 PA2 的斜率为 k2 , (1) 若 P 点的横坐标为 5 , 则 k1 ? k2 ? (2) 若直线 PA1 的斜率 k1 的取值范围是 [ ? , ? 是 . .

1 9

1 ] ,则直线 PA2 的斜率 k2 的取值范围 18

三、解答题:本大题共 6 小题,12+12+12+13+13+13= 75 分.解答须写出文字说明、证明过 程和演算步骤.

16.(本小题满分 12 分)已知命题 p:方程 (2 x ? a)( x ? a) ? 0 的两个根都在 [?1,1] 上;命 题 q:对任意实数 x ,不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 恒成立,若命题“p∧q”是真命题,求 a 的
2

取值范围。

17.(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (0, ? 3) 、(0, 3) 的 距离之和等于 4.设点 P 的轨迹为 C . (I)求曲线 C 的方程; (II)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A、 B 两点,若 OA ? OB ,求 k 的值.

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且

b sin A ? 3a ? cos B .
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 , sin C ? 2 sin A ,求 a , c 的值.

19.(本小题满分 13 分)

7 月份,有一款新服装投入某市场销售. 7 月 1 日该款服装仅销售出 3 件, 7 月 2 日售出 6 件, 7 月 3 日售出 9 件, 7 月 4 日售出 12 件,尔后,每天售出的件数分别递增 3 件直
到日销售量达到最大(只有 1 天)后,每天销售的件数开始下降,分别递减 2 件,到 7 月 31 日刚好售出 3 件. (1)问 7 月几号该款服装销售件数最多?其最大值是多少? (2)按规律,当该商场销售此服装达到 200 件时,社会上就开始流行,而日销售量连续 下降并低于 20 件时,则不再流行,问该款服装在社会上流行几天?说明理由.

20(本小题满分 13 分)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ,点 (n, Sn) ,
?

均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上. (Ⅰ )求 r 的值; (Ⅱ )当 b ? 2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 4an

y2 x2 21.(本小题满分 13 分)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上的两点, a b
已知向量 m ? (

x1 y1 x y 3 , ) , n ? ( 2 , 2 ) ,若 m ? n ? 0 且椭圆的离心率 e ? , 短轴长为 b a b a 2

2, O 为 坐标原点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ )若直线 AB 过椭圆的焦点 F (0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的值; (Ⅲ )试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.

泸溪一中 2014 年下学期高二年级期中试题答题卡
理科数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分..
题号 题————————————— 答案序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

姓名

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.请把最终结 论 填在答卷的相应题号后的横线 上. ... . ........... 11、 13、 15、 14

;12、 、 . . . ;

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.


16.(本小题满分 12 分)已知命题 p:方程 (2 x ? a)( x ? a) ? 0 的两个根都在 [?1,1] 上;命题 q:对任意实数 x ,不等式 x ? 2ax ? 2a ? 0 恒成立,若命题“p∧q”是真命题,求 a 的取值
2

班级





范围。


座位号 考室号

————————————————密



线

17. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 动点 P 到两点 (0, ? 3) 、(0, 3) 的距离之和等于 4.设点 P 的轨迹为 C . (I)求曲线 C 的方程; (II)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A、 B 两点,若 OA ? OB ,求 k 的值.

18. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且

b sin A ? 3a ? cos B .
(1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3 , sin C ? 2 sin A ,求 a , c 的值.

19.(本小题满分 13 分)

7 月份,有一款新服装投入某市场销售. 7 月 1 日该款服装仅销售出 3 件, 7 月 2
日售出 6 件, 7 月 3 日售出 9 件, 7 月 4 日售出 12 件,尔后,每天售出的件数分 别递增 3 件直到日销售量达到最大(只有 1 天)后,每天销售的件数开始下降,分 别递减 2 件,到 7 月 31 日刚好售出 3 件. (1)问 7 月几号该款服装销售件数最多?其最大值是多少? (2)按规律,当该商场销售此服装达到 200 件时,社会上就开始流行,而日销售量 连续下降并低于 20 件时,则不再流行,问该款服装在社会上流行几天?说明理由

20(本小题满分 13 分)等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知对任意的 n ? N ,点
?

(n, Sn ) ,均在函数 y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(Ⅰ )求 r 的值; (Ⅱ )当 b ? 2 时,记 bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 4an

21.(本小题满分 13 分)设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 )是椭圆 两点,已知向量 m ? (

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的 a2 b2

x1 y1 x y , ) , n ? ( 2 , 2 ) ,若 m? n ? 0 且椭圆的离心率 b a b a

e?

3 , 短轴长为 2, O 为 坐标原点. 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ )若直线 AB 过椭圆的焦点 F (0,c) , (c 为半焦距) ,求直线 AB 的斜率 k 的 值; (Ⅲ )试问: ?AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明 理由.


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