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浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考数学理试题


绍兴一中 2013 年高三第一学期回头考 数学(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1.(P177A-9)已知集合 M ? {x | ?2 ? x ? 2}, N ? {x | y ? log 2 ( x ? 1)}, 则M ? N = ( C ) B. {x | ?1 ? x ? 0} C. {x | 1 ? x ? 2} D.{—2,0}

A. {x | ?2 ? x ? 0}

2.(P183A-1)3.若函数 f (x) (x∈R)是奇函数,函数 g (x) (x∈R)是偶函数,则( B ) A.函数 f (x) ? g(x)是偶函数 C.函数 f (x)+g(x)是偶函数 B.函数 f (x) ? g(x)是奇函数 D.函数 f (x)+g(x)是奇函数

3.(P180B-9)已知 ? , ? 的终边在第一象限,则“ ? ? ? ”是“ sin ? ? sin ? ” ( D ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分与不必要条件 4. (P213A-1)已知 a ? b ? 0 ,则下列不等式中总成立的是 ( A )

1 1 1 1 b b ?1 1 1 C . D b? ? a? ? b? Ba? ? b? ? b a a b a a ?1 b a 2 4 4 5. (P200A-5)已知 cos 2? ? ,则 sin ? ? cos ? 的值为( B ) 3 2 2 2 11 A B ? C D ? 18 3 3 9
A a? 6. 某程序框图如图所示,该程序运行后输出 S 的值是 (A) A. 10 B. 12 C. 100 D. 102 Ks5u
输出 S

开始 S=0 i =1



i > 50?
否 S=S+2 i =2i+1

结束

7.已知两个不同的平面 ? , ? 和两条不重合的直线

(第 6 题)

m, n ,则下列命题不正确的是(D)
A.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? , B. 若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ?

C.若 m ? ? , m // n, n ? ? ,则? ? ?

D.若 m // ? , ? ? ? ? n, ,则 m // n

8.若关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 2 ? 0 在区间 ?1, 5? 上有解,则实数 a 的取值范围为 ( A ) A. ( ?

23 ,??) 5

B. [?

23 , 1] 5

C.(1,+∞)

D. (??,?1) y B A F1 O F2 x

9. (P236A-6)如图,F1,F2 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b> a 2 b2 0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点.若 ? ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为 (C)
A. C.

3
7

B.2 D. 13

(第 9 题图)

10. (P202B-2)在 ?ABC 中, D 在线段 BC 的延长线上, BC ? CD , O 在线段 CD 上 点 且 点 (与 点 C,D 不 重 合 ) 若 AO ? x AB ? (1 ? x) AC 则 x 的 取 值 范 围 A. (0,1) B. ? 0, ? (C )

? ?

1? 3?

C. (?1,0)

D. ? ? , 0 ?

? 1 ? 3

? ?

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.) 11. 已知 i 为虚数单位,复数 12.在 ( x ?

5i 的虚部是______.2 2?i
.

3

2 8 ) 的二项展开式中,常数项为 x

答案:1792 13.(P221B-3)已知一个三棱锥的三视图如右下图所示,其中俯视 图 是 顶 角 为 120 的 等 腰 三 角 形 , 则 该 三 棱 锥 的 体 积 为 .
主视图 2 3
?

2 1 左视图

2 3 3

俯视图

? 2x , 14 . 已 知 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1),
于 .

x?

0 , 4 则 f (? ) 的 值 等 x ? 0. 3

4 3

?a ? b ? 1 ? 0 ? 15. 已知实数 a, b 满足: ? 2a ? b ? 1 ? 0 , z ? a ? b ,则 z 的最大值是___________ ? 2a ? 2b ? 1 ? 0 ?
答案:

1 2

16.(P182B-4)12.定义:区间 [ x1 , x2 ]( x1 ? x2 ) 长度为 x2 ? x1 .已知函数 y ?| log 0.5 x | 定义域 为 [a, b] ,值域为 [0,2] ,则区间 [a, b] 长度的最小值为
2

.

3 4

17. 若至少存在一个 x ? 0 ,使得关于 x 的不等式 x ? 2? | x ? a | 成立,则实数 a 的取值范 围为 . (?2, )

9 4

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 列 ?bn ? 有如下关系: a1 ? b1 ? 2 , a3 ? b3 , ab3 (Ⅰ)求 ? an ? 和 ?bn ? 的通项公式;

18.(本题满分 14 分)设公差为 d ( d ? 0 )的等差数列 ? an ? 与公比为 q ( q ? 0 )的等比数

? 5.

(Ⅱ)记 A ? ?a1 , a 2 , a3 ,?, a 20 ?, B ? ?b1 , b2 , b3 ,?, b20 ? , C ? A ? B ,求集合 C 中的 各元素之和。 解: (I)由已知 ?

?2 ? 2 d ? 2 q 2 ?2 ? (b3 ? 1) d ? 5

Ks5u

? 2d 2 ? d ? 3 ? 0
又 q ? 1? d ? 0
2

得 d ? 1或 d ? ?

3 2

?d ?1 ? q ? 2
bn ? 2
n ?1 2
2 3 4

? an ? n ? 1 ,

(Ⅱ)集合 A 与集合 B 的相同元素和为: 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 30 19. (本题满分 14 分)在两个不同的口袋中,各装有大小、形状完全相同的 1 个红球、2 个黄球.现分别从每一个口袋中各任取 2 个球,设随机变量 ? 为取得红球的个数. (Ⅰ)求 ? 的分布列; (Ⅱ)求 ? 的数学期望 E? . 解: (Ⅰ)由题意 ? 的取值为 0,1,2.
2 2 C2 C2 1 则 P (? ? 0) ? 2 ? 2 ? ; C3 C3 9 1 2 C2 C 2 4 ? 2 ? ; C32 C3 9

P(? ? 1) ? 2 ?

P (? ? 2) ?

1 1 C2 C2 4 ? 2 ? ; C32 C3 9

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

1 9

4 9

4 9

(Ⅱ) ? 的数学期望: E? ? 0 ?

1 4 4 4 ? 1? ? 2 ? ? . 9 9 9 3
E

20.(P229A-3)(本题满分 14 分)如图,AC 是圆 O 的直径, 点 B 在圆 O 上,∠BAC=30°,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA ⊥平面 ABC,FC//EA,AC=4,EA=3,FC=1. (I)证明:EM⊥BF; (II)求平面 BEF 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值. (II)求 解: (1) AM ? 3,BM ? 3 . 如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC 、 AC 、 AE 所在的直线 为 A

F O M C

B
(第 20 题图)

x, y, z



































A(0,0,0), M (0, 3, 0), E (0, 0, 3), B( 3, 3, 0), F (0, 4,1) , ???? ??? ? ? ME ? (0, ? 3, 3), BF ? (? 3,1,1) . ???? ??? ? 由 ME ? BF ? (0, ? 3, 3) ? (? 3,1,1) ? 0 ,

???? ??? ? ? 得 MF ? BF , ? EM ? BF .
??? ? ??? ? BE ? (? 3, ? 3, 3), BF ? (? 3,1,1) . (2)由(1)知
z

? BEF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 设平面

?? 3x ? 3 y ? 3z ? 0 ? ? ? ??? ? ? ??? ? n ? BE ? 0, n ? BF ? 0, 得 ? ? 3 x ? y ? z ? 0 ,] ? 由 ? ? n ? 3, 1, 2 令 x ? 3 得 y ? 1, z ? 2 , ,

F A O
?

?

?

M

C y

??? ? ABC ,所以取面 ABC 的法向量为 AE ? (0, 0, 3) , x 由已知 EA ? 平面

B

设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? ,

? ? 3 ? 0 ? 1? 0 ? 2 ? 3 2 cos? ? cos ? n, AE ? ? ? 2 , 3? 2 2 则 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角
2 的余弦值为 2 . Ks5u
21.(P235B-5)21. (本题满分 15 分) 如图, 1, 2 是离心率为 F F
2 2

2 2
P

y B M x

的椭圆 C:

x y ? 2 ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,直线 l : 2 a b

A 1 x=- 将线段 F1F2 分成两段,其长度之比为 1 : 3.设 A, O F1 F2 2 B 是 C 上的两个动点,线段 AB 的中垂线与 C 交于 P,Q Q 两点,线段 AB 的中点 M 在直线 l 上. x=- 1 (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; 2 ???? ???? ? ? (第 21 题图) (Ⅱ) 求 F2 P ? F2Q 的取值范围.

[答案见 P362] 22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a? R .

e (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上的最值;
(Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数 . 解:(Ⅰ) 若 a ? 2 ,则 f ( x) ? x x ? 2 ? ln x . 当 x ?[2 ,] 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? ln x , e
2 f ? ? x ? ? 2x ? 2 ? 1 ? 2x ? 2x ? 1 ? 0 , x x

e 所以函数 f ? x ? 在 ? 2 ,? 上单调递增; 2 当 x ? ?1, ? 时, f ? x ? ? ? x 2 ? 2 x ? ln x ,
2 f ? ? x ? ? ?2 x ? 2 ? 1 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . x x

2 所以函数 f ? x ? 在区间 ?1, ? 上单调递减, 2 所以 f ? x ? 在区间 ?1, ? 上有最小值 f ? 2 ? ? ? ln 2 ,又因为 f ?1? ? 1 , f ? e ? ? e ? e ? 2 ? ? 1 ,而 e ? e ? 2 ? ? 1 ? 1 ,

e 所以 f ? x ? 在区间 ?1 ,? 上有最大值 f ?1? ? 1 . ? (Ⅱ) 函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0 , ? ? .Ks5u
由 f ? x ? ? 0 ,得 x ? a ? ln x .

x

(*)

1 (ⅰ)当 x ? ? 0 ,? 时, x ? a ? 0 , ln x ? 0 ,

x

不等式(*)恒成立,所以 a? R ; (ⅱ)当 x ? 1 时,

x ? 现令 h ? x ? ? x ? ln x , 则 h?( x) ? x ? 1 2 ln x , x x
2

①当 a ? 1 时,由 x ? a ? ln x 得 x ? a ? ln x ,即 a ? x ? ln x ,

x

x

? 因为 x ? 1 ,所以 h? ? x ? ? 0 ,故 h ? x ? 在 ?1, ? ? 上单调递增,
从而 h ? x ? 的最小值为 1 ,因为 a ? x ? ln x 恒成立等价于 a ? h ? x ?min ,

x

所以 a ? 1 ; ②当 a ? 1 时, x ? a 的最小值为 0 ,而 ln x ? 0 ? x ? 1? ,显然不满足题意.

x

1 综上可得,满足条件的 a 的取值范围是 ? ??,? .


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