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陕西省师大附中2013届高三上学期期中考试数学(理)


陕西师大附中 2012-2013 学年度第一学期期中考试 高三数学(理)试题
一、选择题(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分)
i 2 ? i3 ? i 4 ?( ) 1? i 1 1 1 1 1 1 1 1 A. ? ? i B. ? ? i C. ? i D ? i. 2 2 2 2 2 2 2 2 ? ? 2. 为了得到函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像, 只需将函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像 ( 3 6 ? ? A. 向左平移 个长度单位 B. 向右平移 个长度单位 4 4 ? ? C. 向左平移 个长度单位 D. 向右平移 个长度单位 2 2

1.复数



?21? x , x ? 1 3.设函数 f ( x) ? ? , 则关于 x 不等式 f ( x) ? 2 的解集是( ?1 ? log 2 x, x ? 1



A. ? ?1, 2?

B. ?0, 2?

C. [1, ??)

D. [0, ??)

4.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生, 且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为( A.18 B.24 C.30 D.36
S S4 ? 4 ,则 6 ? ( S2 S4



5.已知等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,且 A.
9 4



B.

3 2
x

C.

5 3

D.4

6. 已知点 P 是曲线 y ?

4 上的任意一点,? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角, e ?1

则 ? 的取值范围是(
? ?? A. ?0, ? ? 4? ?? ? ? B. ? , ? ?4 2?


? ? 3? ? C. ? , ? ?2 4 ? ? 3? ? D. ? , ? ? ? 4 ?

7.分别在区间 [1,6] , [1,4] 内各任取一个实数依次为 m, n ,则 m ? n 的概率是( A.0.3 B.0.667 C.0.7 D.0.714 )



8.一个棱锥的三视图如右图所示,则它的体积为( A.
1 2

B.

3 2

C.1

D.

1 3

9. 若双曲线 E 的中心在原点,F (3, 0) 是 E 的焦点, F 的直线 l 与 E 交于 A, B 两 过 点,且 AB 的中点为 (?12, ?15) ,则 E 的方程为( A.
x2 y 2 ? ?1 3 6

) D.
x2 y 2 ? ?1 5 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 6 3

10.已知函数 f ( x) ? ( x ? 1)(2 x ? 1)(3x ? 1)?(nx ? 1) ,则 f '(0) ? (
2 A. Cn 2 B. Cn?1 2 C. An 2 D. An?1



二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.二项式 ( x ?
1 2 x )n 的展开式中所有项的二项式系数之和是 64,则展开式中含

x3 项的系数是

.

12.一个总体分为 A, B 两层,其个体数之比为 4 :1 ,用分层抽样法从总体中抽取 一个容量为 10 的样本,已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 的个体数是 . . . .
1 ,则总体中 28

13.某算法流程图如图所示,则输出的结果是 14.由曲线 y ? x 和 y ? x3 围成的封闭图形的面积为 15.关于 x 不等式 | x ? log2 x |? x? | log2 x | 的解集是

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(共 6 题,共 75 分) 16. (本题满分 12 分)在△ABC 中,a, b, c 分别为三个内角 A, B, C 的对边,锐角 B 满足 sin B ?
5 。 3
A?C 的值; 2

(1)求 sin 2 B ? cos 2

? (2) 若 b ? 2 ,当 ac 取最大值时,求 cos( A ? ) 的值. 3

17. (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的首项为 a 1 ? 1 ,其前 n 项和为 sn ,且对任 意正整数 n 有: n 、 an 、 S n 成等差数列. (1)求证:数列 ? S n ? n ? 2 ?成等比数列; (2)求数列 ?an ? 的通项公式. 18. (本题满分 12 分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基 础设施工程、 民生工程和产业建设工程三类。 这三类工程所含项目的个数分别为 6,4,2.现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设. (1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率; (2) ? 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数, ? 记 求 的分布列及数学期望. 19. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥底面

ABCD,PA=AB=1,AD= 3,点 F 是 PB 的中点,点 E 在
边 BC 上移动. (1)点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关 系,并说明理由; (2)求证:无论点 E 在 BC 边的何处,都有 PE ? AF ; (3)当 BE 为何值时, PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45°. 20. (本题满分 13 分) 已知抛物线 y 2 ? 4x , 过点 M (0, 2) 的直线 l 与抛物线交于 A 、
B 两点,且直线 l 与 x 轴交于点 C .

(1)求证: | MA | , | MC | , | MB | 成等比数列;

??? ? ???? ??? ? ???? (2)设 MA ? ? AC , MB ? ? BC ,试问 ? ? ? 是否为定值,若是,求出此定值;若
不是,请说明理由. 21. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x ? (1) N ( ) 1 ?x 1?n? ) ? x 令 x ? ) 21 ( l (
ln(1 ? x) 1? x

, 判断 N ( x ) 在 (?1, ??) 上的单调性, 并求 N (0) ;

(2)求函数 f ( x) 在定义域上的最小值;

(3)是否存在实数 m, n 满足 0 ? m ? n ,使得 f ( x) 在区间 [m, n ] 上的值域也为
[m, n] .

期中考试数学(理科)参考答案
一、选择题: 1 0 B

1

2

3

4

5

6

7

8

9

C 二、填空题: 11.
15 4

B

D

C

A

D

C

A

B

12. 40

13. 16

14.

1 2

15.

(1, ??)

三、解答题: 16.解 (1)∵锐角 B 满足 sin B ? ∵ sin 2 B ? cos 2
5 2 ,? cos B ? ……………1 分 3 3

A?C 1 ? cos( A ? C ) 1 ? cos B ? 2sin B ? cos B ? ? 2sin B cos B ? 2 2 2 2 1? 5 2 3 ? 8 5 ? 3 .…………………… 5 分 ? 2? ? ? 3 3 2 18

(2) ∵ cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 2 ? ,……………… 8 分 2ac 3

4 ∴ ac ? a 2 ? c 2 ? 2 ? 2ac ? 2 3

∴ ac ? 3,当且仅当a ? c ? 3时,ac取到最大值 …………10 分 ∴ ac取到最大值时,cosA=

b2 ? c 2 ? a 2 b 2 6 . ? ? ? 2bc 2c 2 3 6

∴ sin A ? 1 ? cos2 A ? 1 ?

1 30 ? 6 6

? ? ? 6 1 30 3 6 ? 3 10 ? ? ? ? ∴ cos( A ? ) ? cos A cos ? sin A sin ? ……12 分 3 3 3 6 2 6 2 12

17.解:(1)证明:? n、an、S n 成等差数列

? 2an ? n ? S n (n ? 2),又an ? S n ? S n?1 (n ? 2) ? 2(S n ? S n?1 ) ? n ? S n即S n ? 2S n?1 ? n ? S n ? n ? 2 ? 2S n?1 ? 2n ? 2


? S n ? n ? 2 ? [S n?1 ? (n ? 1) ? 2] 2 ??S n ? n ? 2?成等比数列

Sn ? n ? 2 ?2 S n?1 ? (n ? 1) ? 2

(2)由(1)知 ?S n ? n ? 2? 是以 S1 ? 3 ? a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列

? S n ? n ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2n?1 ? an ? 2 n ? 1

又 2an ? n ? S n ,? 2an ? 2 ? 2n?1

18.解: 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程 分别为事件 Ai , Bi , Ci , i ? 1, 2,3 .由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独 立,C1, C2 , C3 相互独立, Ai , Bj , Ck ( i, j, k ? 1, 2,3 ,且 i, j , k 互不相同)相互独 立,
1 1 1 且 P( Ai ) ? , P( Bi ) ? , P(Ci ) ? . 2 3 6

----------(2 分)

( 1 ) 他 们 选 择 的 项 目 所 属 类 别 互 不 相 同 的 概 率
1 1 1 1 P ? 3! P( A1B2C3 ) ? 6P( A1 ) P( B2 ) P(C3 ) ? 6 ? ? ? ? . ----------(6 分) 2 3 6 6

(2)记第 i 名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件

Di , i ? 1, 2,3 .
1 1 2 D1 , D2 , D3 相互独立,且 P( Di ) ? P ( Ai ? Ci )= P ( Ai )+ P ( Ci )= + = , 2 6 3 2 2 1 所以 ? ~ B (3, ) ,即 P (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k , k ? 0,1, 2,3. --------(10 3 3 3

分) 故 ? 的分布列是

?
P
E? ? 2

0
1 27

1
2 9

2
4 9

3
8 27

--------(12 分)

19..解:(1)当点 E 为 BC 的中点时,EF 与平面 PAC 平行. ∵在△PBC 中,E、F 分别为 BC、PB 的中点,∴EF∥PC. 又 EF?平面 PAC,而 PC? 平面 PAC,∴EF∥平面 PAC. (2)证明:建立如图所示空间直角坐标系,则

P(0,0,1),B(0,1,0), F(0, , ),D( 3,0,0),
设 BE=x(0≤x≤ 3),则 E(x,1,0), → 1 2 1 2

PE·AF=(x,1,-1)·(0, , )=0,∴PE⊥AF.
(3)设平面 PDE 的法向量为 m=(p,q,1),



1 2

1 2

?m·→=0 PD 由? → ?m·PE=0

,得 m=(

1 x ,1- ,1). 3 3

→ 而AP=(0,0,1),依题意 PA 与平面 PDE 所成角为 45°, → 2 |m·AP| 所以 sin45°= = ,∴ 2 → |m||AP| 1 1 x +(1- )2+1 3 3 = 1 , 2

得 BE=x= 3- 2或 BE=x= 3+ 2> 3(舍). 故 BE= 3- 2时,PA 与平面 PDE 所成角为 45°. 20.解:(理)(1)设直线 l 的方程为: y ? kx ? 2 (k ? 0) ,

? y ? kx ? 2 联立方程可得 ? 2 得: k 2 x2 ? (4k ? 4) x ? 4 ? 0 y ? 4x ?
2 4k ? 4 4 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C (? , 0) ,则 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 2 2 k k k

① ②

4(1 ? k 2 ) | MA | ? | MB |? 1 ? k | x1 ? 0 | ? 1 ? k | x2 ? 0 |? , k2
2 2

2 4(1 ? k 2 ) 而 | MC |2 ? ( 1 ? k 2 | ? ? 0 |)2 ? ,∴ | MC |2 ?| MA | ? | MB |? 0 , 2 k k

即 | MA | , | MC | 、 | MB | 成等比数列

…………7 分

??? ? ???? ??? ? ???? (2)由 MA ? ? AC , MB ? ? BC 得,
2 2 ( x1 , y1 ? 2) ? ? (? x1 ? , ? y1 ) , ( x2 , y2 ? 2) ? ? (? x2 ? , ? y2 ) k k

?2k 2 x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ?kx1 ?kx2 即得: ? ? ,? ? ,则 ? ? ? ? 2 kx2 ? 2 kx1 ? 2 k x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4
由(1)中②代入得 ? ? ? ? ?1 ,故 ? ? ? 为定值且定值为 ?1 …………13 分 21.解:(1)当 x ? ?1 时, N '( x) ? 2 x ? 2 ?
1 ?0 1? x

所以, N ( x ) 在 (?1, ??) 上是单调递增, N (0) ? 0 …………4 分 (2) f ( x) 的定义域是 (?1, ??) , f ?( x) ? 1 ?
1 ? ln(1 ? x) N ( x) ? 2 (1 ? x) (1 ? x)2

当 ?1 ? x ? 0 时, N ( x) ? 0 ,所以, f '( x) ? 0 当 x ? 0 时, N ( x) ? 0 ,所以, f '( x) ? 0 , 所以,在 (?1, 0) 上 f ( x) 单调递减,在 (0, ??) 上, f ( x) 单调递增, 所以, fmin ( x) ? f (0) ? 0 …………10 分

(3)由(2)知 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调递增函数,若存在 m, n 满足条件,则必 有 f (m) ? m, f (n) ? n ,也即方程 f ( x) ? x 在 [0, ??) 上有两个不等的实根 m, n 但方程 f ( x) ? x, 即
m, n

ln(1 ? x ) ? 0 只有一个实根 x ? 0 所以,不存在满足条件的实数 1? x

…………14 分


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