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函数三要素


第一模块 函数定义域的求法
基础过关 一、定义域: 1.函数的定义域就是使函数式 的集合. 2.常见的三种题型确定定义域: ① 已知函数的解析式,就是 . 分式的分母不能为零。 偶次方根的被开方数非负,零次幂的底数不能为零。 对数函数的真数大于零。 对数函数指数函数的底数大于零且不等于 1。 三角函数中的正切函数的值域 ② 复合函数 f [g(x)]的有关定义域,就要保证内函数 g(x)的 域是外函数 f (x)的 域. ③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合. 典型例题 1.求下列函数的定义域(1)y= 2.求下列函数的定义域 (1)y= (1)y=
3? x ,
x?3 x?4
3x
2

1 x ?1

(2)

y=

2? x 1 ? 3x

(2)y= 2 x ? 4 ,
x? 2 x
2

(2)y=

? 5x ? 6

3.函数 f ( x ) ? 4 函数= y ? 5.函数 f ( x ) ?

1? x
2

? lg( 3 x ? 1 )

的定义域___________

kx ? 6 x ? k ? 8

的定义域为 R,则 k 的取值范围是_____________

3x ? x

2

的定义域为__________

复合函数的的定义域求法 1. 已知 f(x)定义域为 I,求 f[g(x)]的定义域 例:已知 f(x)定义域为[1,4],求 f(2x-1)的定义域 ∵f(x)定义域为[1,4] ∴2x-1∈[1,4] 即 1≤2x-1≤4 2≤2x≤5 1≤x≤2.5 ∴f(2x-1)的定义域为[1,2.5] 2. 已知 f[g(x)]定义域为 I,求 f(x)的定义域 根据 f[g(x)]定义域为 I,即 x∈I,求出 g(x)的范围 D,则 f(x)的定义域为 D 例 : 已知 f(3x-2)的定义域为[1,5],求 f(x)的定义域 ∵f(3x-2)定义域为[1,5], 即 1≤x≤5 3≤3x≤15 1≤3x-2≤13 ∴f(x)的定义域为[1,13]

练习:1. 已知 f(x)定义域为[-1,5],求 f(-3x+1)的定义域

2.已知 f(-2x+4)的定义域为[0,2],求 f(x)的定义域

第二模块
基础过关

函数的值域

1、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问 题一般也可以利用反函数法。 例:求函数 y
? 1? x 2x ? 5

的值域。
1 2 2x ? 5 (2 x ? 5) ? 7 2 ? ? 1 2
1 2

解:∵ y

?

1? x 2x ? 5
7

? ?

7 ? 2 2x ? 5





2 ? 0 2x ? 5

,∴ y

? ?


y ? ? 1 2 }

∴函数 y

?

1? x 2x ? 5

的值域为 { y |

2、分析发:从自变量 x 的范围出发,推出 y
例.求函数 y ?
? 2x ? x
2

? f (x)

的取值范围。

? 3 的值域。
? ( x ? 1) ? 4 ,于是:
2

2 解答:因为 ? 2 x ? x ? 3 ? 0 ,即 ? 3 ? x ? 1 , y ?

0 ? ? ( x ? 1) ? 4 ? 4 , 0 ? y ? 2 。
2

3、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如
F ( x) ? af ( x) ? bf ( x) ? c
2

的函数的值域问题,均可使用配方法。

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
2 例. 求函数 y ? x ? 2 x ? 5 , x ? [ ? 1, 2 ] 的值域。

2 解:将函数配方得: y ? ( x ? 1) ? 4

∵ x ? [ ? 1, 2 ] 由二次函数的性质可知:当 x=1 时, y min ? 4 ,当 x ? ? 1 时, y max ? 8 故函数的值域是:[4,8]

4、换元法:
(1)代数换元对形如 y ? a x ? b ?
cx ? d ( a ? 0 ) 的函数常设 t ?
2

cx ? d

来求值域;

(2)三角换元法对形如 y ? ax ? b ?
x ? c co s ? 来求值域。

c ? x (a ? 0) 的函数常用“三角换元” 如令 ,

注意:(1)新元的取值范围,(2)三角换元法中,角的取值范围要尽量小。

例:求函数 y 解:令 t ∴y

? 2x ?

1? 2x

的值域。 ) ,则 x
2

?

1? 2x

(t

? 0

?

1? t 2

2



? ? t ? t ? 1 ? ? (t ?
2

1 2

) ?

5 4 ? 5 4 5 4 ]。

∵当 t

?

1 2

,即 x
? 2x ?

?

3 8

时, y m a x

,无最小值。

∴函数 y

1? 2x

的值域为 ( ? ? ,

例: 求函数 y=x-

1? x

2

的值域

5、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,

求出函数的值域。 例 求函数 y
? x? 1? 2x

的值域。
1? 2x

解:∵当 x 增大时, 1 ? 2 x 随 x 的增大而减少, ? ∴函数 y
? x? 1? 2x

随 x 的增大而增大,

在定义域 ( ? ? ,
1 2 ? 1 2

1 2

] 上是增函数。

∴y ∴函数 y

?

1 2

?

1? 2?


1 2 ]。

? x?

1? 2x

的值域为 ( ? ? ,

第三模块
典型例题

函数的解析式的求法

1、待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。
例 设 f ( x ) 是一次函数,且 f [ f ( x )] ? 4 x ? 3 ,求 f ( x ) 解:设 f ( x ) ? ax ? b
( a ? 0 ) ,则

f [ f ( x )] ? af ( x ) ? b ? a ( ax ? b ) ? b ? a x ? ab ? b
2

? a2 ? 4 ? ? ? ab ? b ? 3

?a ? 2 ?a ? ?2  或  ? ? ? ? b ? 3 ?b ? 1

? f ( x ) ? 2 x ? 1   或  

f ( x) ? ?2 x ? 3

2、配凑法:已知复合函数

f [ g ( x )] 的表达式,求 f ( x ) 的解析式, f [ g ( x )] 的表达式容易

配成 g ( x ) 的运算形式时, 常用配凑法。 但要注意所求函数 f ( x ) 的定义域不是原复合函数的 定义域,而是 g ( x ) 的值域 例 已知 f ( x ? 解:? f ( x ?
1 x 1 x ) ? (x ?
2

) ? x

2

? 1 x
2

1 x
2

( x ? 0 ) ,求 f ( x ) 的解析式

) ?2, x?
( x ? 2)

1 x

? 2

? f (x) ? x

?2

3、换元法:已知复合函数

f [ g ( x )] 的表达式时,还可以用换元法求 f ( x ) 的解析式。与配

凑法一样,要注意所换元的定义域的变化 例 已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) 解:令 t ?
? f(

x ? 1 ,则 t ? 1 , x ? ( t ? 1)

2

x ? 1) ? x ? 2
2

x
2

? f ( t ) ? ( t ? 1) ? 2 ( t ? 1) ? t

? 1,

? f (x) ? x

2

? 1 ( x ? 1)
2 2

? f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ? x

? 2x

( x ? 0)

4、构造方程组法:若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造
方程组,通过解方程组求得函数解析式。 例 5 设 f ( x ) 满足 f ( x ) ? 2 f ( ) ? x , 求 f ( x )
x 1

解 ? f (x) ? 2 f ( ) ? x
x

1

① ,得:

显然 x ? 0 , 将 x 换成

1 x

1 1 f ( ) ? 2 f (x) ? x x
x 3 2 3x



解① ②联立的方程组,得:
f (x) ? ? ?

5、赋值法:当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”
的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式。 例 已知: f ( 0 ) ? 1 ,对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y ( 2 x ? y ? 1) 恒成立, 求 f (x) 解 对于任意实数 x、y,等式 f ( x ? y ) ? f ( x ) ? y ( 2 x ? y ? 1) 恒成立, 不妨令 x ? 0 ,则有 f ( ? y ) ? f ( 0 ) ? y ( ? y ? 1) ? 1 ? y ( y ? 1) ? y ? y ? 1
2

再令 ? y ? x 得函数解析式为: f ( x ) ? x ? x ? 1
2

一、求下列函数的解析式 1、若 f(3x+1)=4x+3, 求 f(x)的解析式.
2 2、若 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x )

3.已知 f ( x ?

1 x

) ? x

2

?

1 x
2

, 求 f ( x ) 的解析式.

4、 f ( x ) 满足: f ( x ) ? 2 f ( ? x ) ? 3 x ? 2 ,求 f ( x )
1 3 f (x) ? 2 f ( ) ? 4 x x 5、若 ,求 f ( x ) 的解析式.

二、求函数的定义域 1、函数 f ( x ) ?
2x ?1 2x ? x ?1
2

的定义域是_______________________

2、函数 y ? lg( 1 ?

1 x

) 的定义域为____________________________、

x 4、函数 f(x)= 1 ? 2 的定义域是_________________________________

5、函数 y ? 6、函数 y ?

lo g 2 x ? 2 的定义域是__________________________________

1 ? x ? lg ( x ? 1) 的定义域是______________________________

三、求函数的值域
1.求下列函数的值域 (1)y=
3x ? 4 5x ? 6

y = (2)

e e

x x

?1 ?1

(3) y

?

2 cos x ? 1 3 cos x ? 2

(4) y ? 2 x ? 4 1 ? x

(5) y ?

x ? x
2

x ? x ?1
2

(6) y ? | x ? 1 | ? | x ? 2 |
2

2. 函数 y ? 2 ?

? x ? 4 x 的值域是___________

3.函数 y = x + 1 + 2 x 1 - x 的值域是____________

2

2


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