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等比数列的概念及通项公式优质课件


第6章 数列
6.3 等比数列的定义及通项公式

旧知回顾
名称 概念 常数 性质 通项 通项 变形 等差数列 从第2项起,每一项与它前 一项的差等同一个常数 公差(d) d可正可负,且可以为零

an ? a1 ? (n ? 1)d
an ?a m ?(n ? m)d
(n, m ? N )
*

学习目标:
1.理解等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式.会解决知道n, a1, an , q 中的三个,求另一个的问题.

学习重点:
1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用.

探究:等比数列的定义
观察下列数列的相邻两项,并说出它们的特点.

(1)1,2,22,23,…

(2)5, 25,125, 625...

1 1 1 (3)1, ? , , ? ,? 2 4 8
定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 数列,这个常数叫做公比,记为q(q≠0).
an ? q ( n ? 2且n ? N* ). 数学语言: a n ?1 an ?1 或 ?q an

an?1 ? an ? q

(6.5)

课堂互动
观察并判断下列数列是否是等比数列:
(1) (2) (3) (4) (5) 1,3,9,27,81,…
1 1 1 1 , , , ,? 2 4 8 16

是,公比 q=3
1 是,公比 q= 2

5,5,5,5,5,5,… 1,-1,1,-1,1,… 1,0,1,0,1,…

是,公比 q=1 是,公 比q= -1 不是等比数列 不是等比数列

(6)
(7)

0,0,0,0,0,… 2 3 4

1, x , x , x , x , ?( x ? 0)

是,公比 q= x

对等比数列的理解
1. 各项不能为零,即 2. 公比不能为零,即

an ? 0 q?0

3. 当q>0,各项与首项同号
当q<0,各项符号正负相间 4. 数列 a, a , a , … a ? 0 时,既是等差数列 又是等比数列;

a ? 0 时,只是等差数列
而不是等比数列.

6.3 等比数列

例1

a 求 在等比数列 {an }中,1 ? 5,q ? 3, a2、a3、a4、a5.

巩 固 知 识 典 型 例 题



a2 ? a1 ? q ? 5 ? 3 ? 15, a3 ? a2 ? q ? 15 ? 3 ? 45, a4 ? a3 ? q ? 45 ? 3 ? 135, a5 ? a4 ? q ? 135 ? 3 ? 405.

你能很快 写出这个数 列的第101项 吗?

通项公式的推导: a n?1?a n ?d
等差数列通项公式的推导(归纳法)

a n?1?a n q
等比数列通项公式的推导(归纳法)

a2 ? a1 ? d a3 ? a2 ? d

? a1 ? 2d

? (a1 ? d ) ? d

a2 ? a1q a3 ? a2 q ? (a1q)q 2 ? a1q
a4 ? a3q ? (a1q )q
2

a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d

? a1q

3

? a1 ? 3d

an ? a1 ? (n ? 1)d

… …

… … n ?1 a n ? a1 q

通项公式变形结论:
在等差数列 ?an ? 中,如果知道 a m和公差d 则

an ? am ? (n ? m)d
(n, m ? N )
*

试问:在等比数列 ?an ? 中,如果知道 am 和公 比q,能否求 an ?如果能,请写出表达式。

an ? amq

n ?m

(n, m ? N )
*

1 1 1 例2 求等比数列 ? 1, ,? , , ? 的第10项. 2 4 8
1 解 由于 a1 ? ?1 q ? ? 2 故,数列的通项公式为

an ? a1 ? q
所以

n ?1

? 1? ? ?1? ? ? ? ? 2?
1 210?1

n ?1

?1? ? ?1? (?1) ? ? ? ? 2?
n ?1

n ?1

1 ? (?1) ? n?1 2
n

a10 ? (?1)

10

1 ? 512

6.3 等比数列
例3

a , 在等比数列 ?an ? 中, 5 ? ?1 a8 ? ?
1 8

1 ,求a13. 8

解 由 a5 ? ?1, a8 ? ? 有

巩 固 知 识 典 型 例 题

?1 ? a1 ? q4,

(1)

1 ? ? a1 ? q 7, (2) 8 (2)除以(1)得
1 1 ? q3,q ? ; 8 2 1 将q ? 代人(1),得 2

本例题求解过程 中,通过两式相除求 a1 ? ?2 4 出公比的方法是研究 所以,数列的通项公式为 等比数列问题的常用 方法. 1 n ?1 4 an ? ?2 ? ( ) 12 2

1 ?1? a13 ? a1 ? q12 ? ?24 ? ? ? ? ?2?8 ? ? . 256 ?2?

6.3 等比数列
例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛,他们三人钓鱼的 数量恰好组成一个等比数列.已知他们三人一共钓了14条 鱼,而每个人钓鱼数量的积为64. 并且知道,小强钓的鱼 最多,小明钓的鱼最少,问他们三人各钓了多少条鱼? a 解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为 , a, aq. q ?a ? q ? a ? aq ? 14, ? 则 ? ? a ? a ? aq ? 64. 知道三个数构成 等比数列,并且知 ? q ? 道这三个数的积,可 ? a ? 4, ?a ? 4, ? 以将这三个数设为 解得 ? 或 ? 1 q ? 2, q ? a ,a,aq, . ? ? 2 q a 4 ? 当q=2时,q ? 2 ? 2, aq ? 4 ? 2 ? 8, 这样可以方便地 求出a ,从而解决问 此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8. a 4 题. 1 1 ? ? 8, aq ? 4 ? ? 2, q ? 时, 当 q 1 2
2

巩 固 知 识 典 型 例 题

此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2. 小明钓的鱼最少,小强钓的鱼最多,故小明钓了2条鱼,小刚钓了4条鱼,小强钓了8条鱼.

2

回顾小结
等比数列
名 称

等差数列

从第2项起,每一项与它前 概 从第2项起,每一项与它前 念 一项的比等同一个常数 一项的差等同一个常数 公比(q) q可正可负,但不可为零
常 数 性 质 通 项 通 项 变 形

公差(d) d可正可负,且可以为零

an ? a1 ? q
a n ?am q
n?m

n ?1

an ? a1 ? (n ? 1)d
an ?a m ?(n ? m)d
(n, m ? N )
*

(m, n ? N*)

6.3 等比数列

a 试写出 a4、a6. 1.在等比数列 ?an ? 中,3 ? ?6,q ? 2,

运 用 知 识 强 化 练 习

?12, ? 48.

? 12 ? ? 2.写出等比数列 3, 6, , 24, 的第5项与第6项.

48, 96. ?

6.3 等比数列
1.求等比数列
2 ,2,6, ? 的通项公式与第7项. 3

运 用 知 识 强 化 练 习

an ? 2 ? 3n?2;a7 ? 486.

1 a a ?an ?中, 2 ? ? 25, 5 ? ?5, 判断-125是否 2.在等比数列

为数列中的项,如果是,请指出是第几项.

是,是第7项.

等比中项的定义
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等差数列, 那么G就叫做a与b的等差中项,由等差数列的定义 可得G-a=b-G即 2G=a+b a?b G? 2 如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数 列,那么G就叫做a与b的等比中项,由等比数列 b 的定义可得 G ? G 即 G ? ab a
2

G??

ab

下标和性质
在一个等差数列中,若m、n、k、l均为正整数, 且有m+n=k+l,那么就一定有 a m ?a n ?a k ?al

在一个等比数列中,若m、n、k、l均为正整数,且 有m+n=k+l,那么就一定有 a m a n ?a k al

6.1 数列的概念

读书部分:阅读教材相关章节

继 续 探 索 活 动 探 究

书面作业:教材19页3、4、5 课后作业练习册及书上剩下习题
实践调查:寻找生活中的数列 实例


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