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2015年成都三诊数学(理科)试题及参考答案(最新校对版)


成都市 2 0 1 5 届高中毕业班第三次诊断性检测 数学 ( 理工类 ) 参考答案及评分意见
第 Ⅰ 卷  ( 选择题   共 5 0 分)

( 一、 选择题 : 每小题 5 分 , 共5 0 分)

1 .A;  2 . B;  3 . D;  4 .A;  5 . B;  6 . C;  7 . C;  8 . D;  9 . B;  1 0 .A .

第 Ⅱ 卷  ( 非选择题   共 1 0 0 分)
( 二、 填空题 : 每小题 5 分 , 共2 5 分) 1 1 . 1 1;  1 2 . [ -3, 0] ;  1 3 . 4;  1 4 . 8;  1 5 .①③ . ( ) 三、 解答题 : 共7 分 5 ( 连接 C 连接 ME 1 6 . 解: Ⅰ) F 交B D 于点 M , . 易知 △BMF ∽△DMC .

MF B F 1 ∵F 是 A B 的中点 , ∴ = = . MC D C 2 E C1 1 ∵C E =2 E C1 ,  ∴ = . E C 2 C1 MF E 于是在 △C 有 F C1 中 , = . MC E C

z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D x z . y 轴, y → ( , ,) ( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , ∴D 0 0 0 B 3 3 0 E 0 3 2 D B= 330 , → ( , ,)  D E = 0 3 2. 设平面 B D E 的一个法向量 m = ( x, z) . y, →· D B m =0 3 x+3 y=0 , 由 → 得 . · 3 z=0 y+2 D E m =0
) 令 y=-2, 则 x=2, z=3 .∴m = ( 2, -2, 3 . ) 又平面 B C E 的一个法向量n= ( 0, 1, 0 . 〈 ∴ c o s m, n〉 =

∴C1F ∥ 平面 B D E . ( 以点 D 为坐标原点 , 分别以 DA , Ⅱ) D C, DD1 所在直线为 x 轴 ,

∴EM ∥C1F . 又 EM ? 平面 B D E, C1F ? 平面 B D E,

……5 分

{

{

m· n -2 2 1 7 = =. m n 1 7 1 7 ∵ 二面角 D -B E -C 是锐二面角 ,
2 1 7 ∴ 二面角 D -B E -C 的余弦值为 . 1 7
数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 1 页 (共 5 页 )

……1 2分

2 ( 由 f( 1 7 . 解: Ⅰ) x) =2 3 a s i n x c o s x+2 a c o s x+ b

=3 a s i n 2 x+ a( 1+ c o s 2 x) + b =3 a s i n 2 x+ a c o s 2 x+ a+ b ( =2 a s i n 2 x+ π ) +( a+ b) . 6

由2 x+

π éπ 2 π πù é πù é1 ù ( ( , . 则s , Ⅱ) ∵x∈ 0, , ∴2 x+ ∈ i n 2 x+ ) ∈ 1. 6 ?6 3 ? 6 ? 4? ?2 ? 据题意知 ① 当a> 0时, x) ∈ [2 a+ b, 3 a+ b] , f( 据题意知 ② 当a< 0时, x) ∈ [3 a+ b, 2 a+ b] , f( 综上 , 所求 a, b 的值为

π π π k π ( ) , ) 得函数f( 的图象的对称轴方程是x= + ( = + k π k∈Z x) k∈Z . 6 2 6 2 ……5 分 2 a+ b= 1 a= 1 . 解得 . ……9 分 3 a+ b= 2 b=1 3 a+ b= 1 a=1 . 解得 . 2 a+ b= 2 b= 4 ……1 1分 ……6 分

……3 分

{ {

{ {

a=-1 ……1 或 . 2分 b=-1 b=4 “ 设1 天 府 卡” 有n 张, 则“ 熊 猫 卡” 有1 且 n >1 即 1 8 . 解: 0 张 卡 片 中, 0-n 张 , 0-n, ? n>5, n∈N . 1 ·C1 Cn 7 1 0-n ……3 分 由已知 , 得 = . 解得 n=7 . 2 1 5 C1 0

{

a=1

{

( 记“ 某人参与一次抽奖活动获奖 ” 为事件 A Ⅰ) .

C2 1 3 ∴P ( A) = 2 = . 1 5 C1 0

……4 分

1 ( 据题意 , Ⅱ) X ~B ( 3, ) . 1 5

1 ∴ 某人抽奖一次就中奖的概率为 . 1 5 1 i1 4 3-i , ∴X 的分布列为 P ( X= i) =Ci i=0, 1, 2, 3 . 3 ( )( ) 1 5 1 5 或

……6 分 ……8 分

X P

2 7 4 4 3 3 7 5

0

1 9 6 1 1 2 5

1

1 4 1 1 2 5

2

1 3 3 7 5

3

……1 0分

1 1 数学期望 EX = n p=3× = . 1 5 5 2 ( 已知 Sn = 1 9 . 解: Ⅰ) na .       …… ① n 2 ) …… ② 当 n≥2 时 , Sn-1 = ( n-1 a . n-1

……1 2分

2 ) 得a ①-② , n2 a n-1 a n≥2, n∈N? ) . n= n -( n-1 (

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 2 页 (共 5 页 )

a n-1 n ) ) ( ) 即 ∴( n+1 a n-1 a = n≥2 . n =( n-1 , a n+1 n-1
1 ? , ∴ a n= )n∈N . n( n+1

a a a a 1 1 2 3 n1 1 1 2 3 4 n · · ·…· , 又 1= , ∵ a = · · · ·…· = 1· ) a a a a a 2 3 4 5 n+ 1 n( n+ 1 2 1 2 3 n-1
1 n ( , , 据( 知 Sn = Ⅱ) Ⅰ) n2 a n2 ( = n∈N?. n= ) n n+1 n+1 ……6 分

……4 分

1 n-6 n 据题意 , 不等式 2 即k≥ n 对任意的n∈N? 恒成立. k+7≥ 1-Sn 2

n-6 令b 对数列 { b n= n} , n . 2

……7 分

n-6 n-7 8n ( , ∵ b b n≥2, n∈N? ) nn-1 = n - n-1 = n 2 2 2 ∴ b b b b b b b . 1< 2< 3… < 7= 8> 9> 1 0…
1 1 , 又b b ∴ k≥ . 7= 8= 1 2 8 1 2 8 故所求k 的取值范围为 é1 ? , +∞ . ?1 ? 2 8

……8 分

……1 2分 2 x . 2 ……1 分

2 2 ( 双曲线 2 2 0 . 解: Ⅰ) y -x =1 的渐近线方程为 y=± 2 b 2 由题设 , 可知 = . a 2 2 由椭圆 C1 的半焦距c=1, 有 a2 b =1 .

解得 a= 2, b=1 .

( 由 C1 的长轴与 C2 的短轴等长 , 知 n= Ⅱ) a= 2 .

x2 2 ∴ 椭圆 C1 的标准方程为 + . y =1 2

……3 分

x2 y2 ∴ 椭圆 C2 的标准方程为 + =1 . 3 2 ( 当直线 O 且k≠0 时 , ⅰ) A 的斜率k 存在 , x2 ì 2 + y =1 , 联立 í 2 消去 y, 得 x2 =
? k x y= 1 + k2 2 1 .则 O A
2

又 C1 与 C2 共焦点 , 可知 m = n2 +1= 3 .

……4 分 1+ k2 1 =1+ . 1 1+2 k2 + k2 2

=

x2 y2 ì + =1 3 2 1 , , 联立 í 消去 y, 得 x2 = 则 O B 1 1 1 + 2 y=- x 3 2 k k ?

1 1+ 2 k 3 2 = =3. 1 1 3+2 k2 + 2 3 2 k

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 3 页 (共 5 页 )

……6 分

→ → 由O 知 A A ·O B =0, B ∴ A B
2

2

1 3 4 k2 4 =4+ =4<4 . 2 2 2 2 =4( ) ( ) 3 1+2 k 3+2 k 1+2 k 3+2 k 2 8+ 2 +4 k k

= O A

2

+ O B 2 .

3 3 3 又 2 +4 当且仅当k2 = 时 , 取等号. k2 ≥2 2 ·4 k2 =4 3, 2 k k ∴ A B
2

( 当直线 O 有 A ⅱ) A 的斜率k 不存在或k=0 时 , B 综上 ,A B
2

∴2+ 3≤ A B

4 ≥4=2+ 3 . 8+4 3
2

<4 .

2

2 2 ·| | O A| O B | , 2 | A B |

……9 分 的取值范围是 [2+ 3, 4]. → → → → 2 ( Ⅲ )由 T 、 A、 B 三 点 共 线 ,且 O A ·O B =A B ·O T =0,可 知 |O T| =
2 2 ·| | O A| O B | 1 1 1 2 , 即| 也即 O T| = 2 2 2= 2+ 2. | O A| +| O B | | O T| | O A| | O B |

=4 .

……8 分

ìx2 y2 1 + =1, 1+ 2 m2 n2 1 k 1+ k2 2 联立 í 消去 y, 得 x2 = 则| . O B | = = 2 . 1 1 1 1 k 1 1 + + + y=- x, m2 n2 k2 m2 n2 k2 m2 n2 ? k

k2 1 + 1 m2 n2 即 = . 2 | O B | 1+ k2

1 + k2 1 2 , 又由 ( 有 Ⅱ) . 2= | O A| 1+ k2

……1 1分

k2 1 1 1 2 1 1 1+ 2 ) k +( + 2) + k2 ( 2+ 2 2 n 1 m n 2 m 则有 . 2= 2 + 2 = 2 | O T| 1+ k 1+ k 1+ k

1 ( ( ) 1+ 2 ) k2 +1 1 1 1 1 m 1 m 即| ∵ 2 - 2 =- , ∴ = =1+ 2 , O T|= . 2 2 | m n O T| 1+ k2 m 1+m2 容易验证当直线 O 上述结论亦成立 . A 斜率k 不存在和k=0 时 , ( 解: 当t=0 时 , 2 1. Ⅰ) x) =x-e +1, ′( x) =1-e . f( f
x x

综上 , | O T|为定值 .

……1 3分 ……1 分 ……2 分 ……3 分

当 x<0, 当 x>0, ′( x) >0; ′( x) <0. f f

( 由 f( 得x 即 x=e Ⅱ) x) =1, e =e ,
t x x

) 在( 内单调递增 ; 在( 内单调递减 . ∴f( x) -∞ , 0 x) 0, +∞ ) f( ) ∴f( x) 0 =0. m a x= f(
x( 1t)

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 4 页 (共 5 页 )

>0. ∴ 原方程无负实数根 .

l n x 故有 =1t. x

l n x 1l n x , 令 g( x) = ′( x) = . g x x2

……5 分

当 0<x<e时 , 当 x>e时 , ′( x) >0; ′( x) <0. f f ) 则 g( x) e = m a x= g( 1 . e

) , 在( 内单调递增 , 在( 内单调递减 . ∴ 函数 f( x) 0, e e +∞ ) 1 的值域为 ( ∴ 函数 g( x) -∞ , ] . e

1 时, 方程 f( x) =1 无实数根 . e ( ) t x t x x t x ( [ Ⅲ) ′( x) =e + t x e -e =e 1+ t x-e1-t x ] . f ( ) 由题设 , 知对 x>0, ′ x ≤0. f 综上 , 当t<1故t<1.

1 1 1 , 方程 f( 等价于 1 即1 即t< x) = 1 无正实数根 , t?( -∞ , ] t> , 1 - . e e e

……7 分

……8 分

t 1t 1t 0 , ) ( ) , , 不妨取 x= 有f 当t≥1 时 , 1 ′( 1 = e 1+ t-e ≤0 e ≤e =1 1+ t≥2 . 矛盾 ,
x x 1 x ( ) t x 2( 2) , [ 且 x>0 时 , 有f ′( x) =e 1+ t x-e1-t x ] ≤e 1+ -e . 2 2

( 当t≤ ⅰ)

……9 分

( 当 ⅱ)

x x x 2 <0 , 由( 知 1+x-e 也有 1+ -e 故f Ⅰ) <0, . ′( x) <0. 2 在( 内单调递减 . ∴ 函数 f( x) 0, +∞ )

t ( ) ( ) [ h ′( x) = t- ( 1t) e1-t x = ( 1t) -e1-t x ] . 1t

1 1 t 1 t 且 即 < t<1 时 , 0<1t< , >1, l n >0. 2 2 1t 1t 1t ( ) ) 令 h( 则 h( x) =1+ t x-e1-t x , 0 =0.

……1 1分

1 t 1 t ) 当 0<x< 时, 在( 内单调递增 . l n h ′( x) >0. ∴ h( x) 0, l n 1t 1t 1t 1t ) 此时 f ∴ h( x) > h( 0 =0. ′( x) >0.

1 t ) ) 在( 内单调递增 . 有 f( 这与题设矛盾 . ∴ 函数 f( x) 0, l n x) >f( 0 =0, 1t 1t ……1 3分 综上 , 当且仅当t≤ ( 注: 未说明当t> 1 时命题不成立 , 最多得 1 1 分) 2 1 时, 函数 f( 是( 内的减函数 . x) 0, +∞ ) 2 ……1 4分

数 学 “三 诊 ”考 试 题 (理 )答 案 第 5 页 (共 5 页 )


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