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高二数列练习题


第 1 讲 数列的概念与简单表示法

基础梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 无穷数列 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准 分类 摆动数列 an 的符号正负相间,如 1,- 1,1,-1,? 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an=f(n)来表示, 那么这个公式 叫做这个数列的通项公式. 5.Sn 与 an 的关系 ?S1,n=1, ?an≥an-1, 已知 Sn,则 an=? 在数列{an}中,若 an 最大,则? 若 an 最小,则 ?Sn-Sn-1,n≥2. ?an≥an+1. 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 其中 n∈N+ 类型 有穷数列 满足条件 项数有限

1

?an≤an-1, ? ?an≤an+1.

一个联系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依 次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数 方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列,这有别于集合 中元素的无序性. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现. 三种方法 由递推式求通项 an 的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; an+1 (2) a =f(n)型,采用叠乘法; n (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列解决. 双基自测 1.已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项 是( ). A.an=1+(-1)n+1 C.an=1-cos nπ 解析 根据数列的前 4 项验证. 答案 B 2.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则 a5 的值为( ). A.30 B.31 C.32 D.33 nπ B.an=2sin 2 ?2,n为奇数 D.an=? ?0,n为偶数

解析 a5=2a4+1=2(2a3+1)+1=22a3+2+1=23a2+22+2+1=24a1+23+22+2+1=31. 答案 B 3.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( ).
2

A.递增数列 C.常数列

B.递减数列 D.不确定

解析 ∵an+1-an-3=0,∴an+1-an=3>0,∴an+1>an. 故数列{an}为递增数列. 答案 A 4.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( ). A.15 B.16 C.49 D.64

解析 由于 Sn=n2,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又 a1=1 适合上式. ∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15. 答案 A 5.数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?中 x 的值为________. 解析 观察数列中项的规律,易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和. 答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项 【例 1】?写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,?; 3 1 3 1 3 (3)-1,2,-3,4,-5,6,?; (4)3,33,333,3 333,?. [审题视点] 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项之间的关系,项与前 后项之间的关系. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. 2n-1 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 2 2 2 ,2 ,?,所以 an= 2n .
1, 2, 3 4

(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1, 2+?-1?n 偶数项为 2+1,所以 an=(-1)n· n .
3

?-1,n为正奇数, ? n 也可写为 an=? 3 ?n,n为正偶数. ?
9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为:3, 3 , 3 , 3 ,?, 1 分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?,所以 an=3(10n-1). 根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:(1) 分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征:把数列的项分成变化的 部分和不变的部分;(4)各项符号特征.若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成 相同的形式,让规律凸现出来. 【训练 1】 已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0,给出下列各式: ?1?n为正偶数? 1-?-1?n 1+?-1?n 1-cos nπ nπ ①an= ;②an= ;③an=sin2 2 ;④an= ;⑤an=? ; 2 2 2 ?0?n为正奇数? 1+?-1?n+1 ⑥an= +(n-1)(n-2).其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序号). 2 答案 ①③④ 考向二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an 【例 2】?已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-1,则它的通项公式为 an=________. [审题视点] 利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)求解. 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2·n-1;当 n=1 时,a1=S1=2 也满足 an 3 =2·n-1. 3 故数列{an}的通项公式为 an=2·n-1. 3 答案 2·n-1 3 ?S1,n=1, 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 当 n=1 时,a1 若适 ?Sn-Sn-1, n≥2. 合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则 用分段函数的形式表示. 【训练 2】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________. 解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当 n=1 时,不
4

满足上式. ?2,n=1, 故数列的通项公式为 an=? ?6n-5,n≥2. ?2,n=1 答案 an=? ?6n-5,n≥2 考向三 由数列的递推公式求通项 【例 3】?根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= n an-1(n≥2); (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an. [审题视点] (1)可用构造等比数列法求解. (2)可转化后利用累乘法求解. (3)可利用累加法求解. 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), ∴ an+1+1 =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1

又 a1+1=2,∴an+1=2·n-1,∴an=2·n-1-1. 3 3 n-1 n-2 1 (2)∵an = n an - 1(n≥2),∴an - 1 = an - 2 ,?,a2 = 2 a1.以上(n-1)个式子相乘得 an = n-1 1 2 n-1 a1 1 a1··· n = n =n. 2 3 ?· (3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2), n?3n+1? 1 ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= (n≥2). n=1 时, 1=2×(3×1 当 a 2 3 n +1)=2 符合公式,∴an=2n2+2. 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;当出现 an=an-1+ an f(n)时,用累加法求解;当出现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1 【训练 3】 根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式,求其通项公式. (1)a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2); 1? ? (2)a1=2,an+1=an+ln?1+n?. ? ?
5

解 (1)∵an=an-1+3n-1(n≥2),∴an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, ? a2=a1+31, 以上(n-1)个式子相加得 an=a1+3 +3 +?+3
1 2 n-1

=1+3+3 +?+3

2

n-1

3n-1 = 2 .

1? ? (2)∵an+1=an+ln?1+n?, ? ? n+1 1? ? ∴an+1-an=ln?1+n?=ln n , ? ? n-1 n ∴an-an-1=ln ,an-1-an-2=ln , n-1 n-2 ? 2 a2-a1=ln1, 以上(n-1)个式相加得, n-1 n 2 ∴an-a1=ln +ln +?+ln1=ln n.又 a1=2, n-1 n-2 ∴an=ln n+2. 考向四 数列性质的应用 ?10? 【例 4】 ?已知数列{an}的通项 an=(n+1)?11?n(n∈N+), 试问该数列{an}有没有最大项?若有, ? ? 求最大项的项数;若没有,说明理由. [审题视点] 作差:an+1-an,再分情况讨论. ?10? ?10? ?10? 9-n 解 ∵an+1-an=(n+2)?11?n+1-(n+1)?11?n=?11?n 11 . ? ? ? ? ? ? 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an; 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?,所以数列中有最大项为第 9,10 项. (1)数列可以看作是一类特殊的函数, 因此要用函数的知识, 函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助
6

数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合函数图象等方法. 【训练 4】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+24n(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少? 解 (1)n=1 时,a1=S1=23. n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证,a1=23 符合 an= -2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N*). (2)法一 ∵Sn=-n2+24n,∴n=12 时,Sn 最大且 Sn=144. 法二 ∵an=-2n+25, 25 ∴an=-2n+25>0,有 n< 2 .∴a12>0,a13<0, 故 S12 最大,最大值为 144.

难点突破 13——数列中最值问题的求解 从近几年新课标高考可以看出,对求数列中的最大项是高考的热点,一般难度较大.解决这 类问题时,要利用函数的单调性研究数列的最值,但要注意数列的单调性与函数的单调性有 所不同,其自变量的取值是不连续的,只能取正整数,所以在求数列中的最大(小)项时,应 注意数列中的项可以是相同的,故不应漏掉等号. an 【示例 1】?已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 n 的最小值为________.

7

? ?2? ? 【示例 2】?若数列?n?n+4??3?n?中的最大项是第 k 项,则 k=________. ? ?? ?

第二讲、等差数列 练习题(一)
1.已知 为等差数列, ,则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【 解 析 】 ∵ a1 ? a 3? a ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ 5 a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 【答案】B 2.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S 7 等于( A.13 【解析】 S7 ? B.35 C.49 ) D. 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2 ?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 或由 ? , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) 所以 S7 ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
A.1 B

5 3

C.- 2
8

D 3

【答案】 :C

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2 4.已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d=
[解析]∵ S3 ? 6 ? A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=-

1 2
) D.15 )

【答案】B 5.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 答案 B B.13 C.14

6.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 (

A.18 B 27 C 36 D 9 答案 A 7.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 答案 B B.100 C.110 D.120



8.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ?

1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? ( ) 2
D.48 )

A.16 B.24 C.36 答案 D 9.等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=(

A.12 B.10 C.8 D.6 答案 B 10.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27 答案 B 11.已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1, 则a12 的值是 ( A.15 答案 A B.30 C.31



) D.64 .

12.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 答案 7 二、填空题 答案 24 解析

13. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 =

??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 . S 14.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则 9 ? S5 S 9a 解析 ??an ? 为等差数列,? 9 ? 5 ? 9 答案 9 S5 5a3
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

15.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? ∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d
9

∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案

1 3

已知等差数列 {an } 的公差是正整数,且 a 3 ?a7 ? ?12, a 4 ? a6 ? ?4 ,则前 10 项的和 S 10 = 16. 答案:-10 三、解答题 17.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 0.8 , a11 ? 2.2 ,求 a51 ? a52 ? ? ? a80 . 解答、 a n ? 0.2n , a51 ? a52 ? ? ? a80 ? 393

18、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 12 , S12 > 0 , S13 < 0 , ①求公差 d 的取值范围; ② S1 , S2 ,?, S12 中哪一个值最大?并说明理由.

12 ? ? 2a1 ? 11d ? 0 ? S12 ? 2 (a1 ? a12 ) ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 ?a6 ? a7 ? 0 ? ? ①∵ ? ,∴ ? a1 ? 6d ? 0 ?? ?a7 ? 0 ? a ? 2d ? 12 ? S ? 13 (a ? a ) ? 13?a ? 0 13 1 13 7 ? 1 ? ? 2 ? a6 ? a7 ? 0 ? a6 ? 0 24 24 ?? 解得, ? ,又∵ ? ? d ? ?3 ,②由 ? ? d ? ?3 ∴ ?an ? 是递减数列, 7 7 ? a7 ? 0 ? a7 ? 0 ∴ S1 , S2 ,?, S12 中 S 6 最大.
19、己知 {a n } 为等差数列, a1 ? 2, a2 ? 3 ,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一 个新的等差数列,求: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2)新数列的第 29 项是原数列的第几项? 解:设新数列为 ?bn ?, 则b1 ? a1 ? 2, b5 ? a2 ? 3, 根据bn ? b1 ? (n ? 1)d , 有b5 ? b1 ? 4d , 即 3=2+4d,∴ d ?

1 ,∴ bn ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7 4 4 4 (4n ? 3) ? 7 ,∴ a ? b 又 ? an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ? n 4 n ?3
4

即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项. (1)当 n=12 时,4n-3=4× 12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项; (2)由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。 20、设等差数列 {a n } 的前n项的和为 S n ,且 S 4 =-62, S 6 =-75,求: (1) {a n } 的通项公式 a n 及前n项的和 S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+??+|a 14 |. 解:设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得 ?4a1 ? 6d ? ?62 ? 解得:a1=-20,d=3。 ⑴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ? (a1 ? an )n ? n(?20 ? 3n ? 23) ? n2 ? n; 2 2 2 2 ⑵? a1 ? ?20, d ? 3, ??an ?的项随着n的增大而增大
?6a1 ? 15 d ? ?75

3

43

设ak ? 0且ak ?1 ? 0, 得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,?

| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ?? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ? ? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ? ? a14 )
? S14 ? 2S7 ? 147 .
10

20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7, 即第7项之前均为负数 3 3



21、某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每年 捕鱼收益 50 万元, (Ⅰ)问第几年开始获利? (Ⅱ)若干年后,有两种处理方案: (1)年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船; (2)总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案合算. 解: (Ⅰ)由题设知每年费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 设纯收入与年数的关系为 f(n) ∴ f (n) ? 50 n ? ?12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)? ? 98 ? 40n ? 2n 2 ? 98 获利即为 f(n)>0 ∴ 40 n ? 2n ? 98 ? 0,即n ? 20 n ? 49 ? 0
2 2

解之得: 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51即2.2 ? n ? 17.1 ∴当 n=3 时即第 3 年开始获利

又 n∈N,∴n=3,4,?,17

(Ⅱ) (1)年平均收入= f (n) ? 40 ? 2(n ? 49 ) ∵ n ? 49 ≥ 2 n ? 49 ? 14 ,当且仅当 n=7 时取“=” n n n n

f ( n) ≤40-2×14=12(万元)即年平均收益,总收益为 12×7+26=110 万元,此时 n=7 ; n (2) f (n) ? ?2(n ? 10) 2 ? 102 ∴当 n ? 10, f (n) max ? 102
∴ 总收益为 102+8=110 万元,此时 n=10 比较两种方案,总收益均为 110 万元,但第一种方案需 7 年,第二种方案需 10 年,故选择第一种。 22.已知等差数列{ a n }中, a3 a7 ? ?16, a 4 ? a6 ? 0, 求{ a n }前 n 项和 s n . 解:设 ? an ? 的公差为 d ,则

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ? a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?

? a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ? a1 ? ?4d ? a1 ? ?8, ? a1 ? 8 或? 解得 ? ? d ? 2, ? d ? ?2 因此 Sn ? ?8n ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 9 ?,或S n ? 8n ? n ? n ? 1? ? ?n ? n ? 9 ?

练习题(二)
一、选择题 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 A 解析 依题意得 a1+a9=2a5=10,a5=5,选 A. 3π π 2.在等差数列{an}中,a2+a6= ,则 sin(2a4- )=( ) 2 3 3 1 A. B. 2 2 3 1 C.- D.- 2 2 答案 D 3π 3π π 3π π π 1 解析 ∵a2+a6= ,∴2a4= ,∴sin(2a4- )=sin( - )=-cos =- ,选 D. 2 2 3 2 3 3 2 3.(2011· 合肥质检)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a4=9,S3=15,则数列{an}的通项 an=( A.2n-3 B.2n-1
11

)

C.2n+1 D.2n+3 答案 C
?a1+3d=9 ?a1=3 ? ? 解析 由{a4=9?S3=15 ?? ?? ,所以通项 an=2n+1. ? ? ?3a1+3d=15 ?d=2 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-2a2 =0,S2m-1=39,则 m=( ) m A.38 B.39 C.20 D.19 答案 C 解析 ∵am-1+am+1=2a2 m 又∵am-1+am+1=2am ∴am=1 或 0(舍去) ?2m-1??a1+a2m-1? ∵S2m-1= =(2m-1)am 2 ∴(2m-1)am=39,∴2m-1=39 ∴m=20. 5.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=( A.120 B.105 C.90 D.75 答案 B 解析 设公差为 d 且 d>0. ?a1+a2+a3=15 ? 由已知? , ? ?a1a2a3=80 ? ?a1+d=5 得? . ?a1?a1+d??a1+2d?=80 ? 解得 a1=2,d=3(∵d>0). ∴a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105

)

Sn 7n a5 6.若两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn,Tn,已知 = ,则 等于( Tn n+3 b5 2 A.7 B. 3 27 21 C. D. 8 4 答案 D 9 ?a +a9? a1+a9 2 1 a5 2a5 S9 21 解析 = = = = = . b5 2b5 b1+b9 9 T9 4 ?b +b9? 2 1 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则公差 d 等于( ) 5 A.1 B. 3 C.2 D.3 答案 C ?3?a1+4?=6 ? 解析 由? 2 ,解得 d=2.

)

? ?a1+2d=4

二、填空题 8. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, a4=15,5=55, 且 S 则过点 P(3,3)、 a Q(4,4)的直线的斜率是________. a ?a4=a1+3d=15 ?a1=3 ? ? a4-a3 解析 设数列{an}的公差为 d,则依题意,得? ?? ,故直线 PQ 的斜率为 = 4-3 ? ? ?S5=5a1+10d=55 ?d=4
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d =4. 1 1 9.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若{ }是等差数列,则 a11=________. 1+an 答案 0 n+1 n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析 记 bn= , b3= , 5= , 则 b 数列{bn}的公差为 ×( - )= , 1= , n= b ∴b , 即 = , 3 2 2 2 3 12 6 12 1+an 1+an 12 11-n ∴an= ,故 a11=0. n+1 S2009 S2007 10.等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1=-2010, - =2,则 S2010 的值为________. 2009 2007 答案 -2010 n na1+ ?n-1?d 2 Sn d S2009 S2007 d 解析 在等差数列{an}中,设公差为 d,则 = =a1+ (n-1),∴ - =a1+ ×2008 n n 2 2009 2007 2 2010×2009 d -a1- ×2006=d=2,∴S2010=-2010×2010+ ×2=-2010×2010+2010×2009=-2010. 2 2 1 11. 方程(x2-x+m)(x2-x+n)=0 有四个不等实根, 且组成一个公差为 的等差数列, mn 的值为________. 则 2 15 答案 - 256 解析 设四个根组成的等差数列为 x1,x2,x3,x4,根据等差数列的性质,则有 x1+x4=x2+x3=1 1 1 ∴2x1+3d=1,又 d= ,∴x1=- 2 4 1 3 5 ∴x2= ,x3= ,x4= 4 4 4 15 ∴mn=(x1x4)(x2x3)=- 256 12.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列, 第1列 第2列 第3列 ? 1 2 3 第1行 ? 2 4 6 第2行 ? 3 6 9 第3行 ? ? ? ? ? ? 那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数是________. 答案 n2+n 解析 第 n 行的第一个数是 n,第 n 行的数构成以 n 为公差的等差数列,则其第 n+1 项为 n+n· 2+n. n=n 13. (2010· 苏北四市调研)已知数列{an}共有 m 项, 记{an}的所有项和为 S(1), 第二项及以后所有项和为 S(2), 第三项及以后所有项和为 S(3),?,第 n 项及以后所有项和为 S(n),若 S(n)是首项为 1,公差为 2 的等差 数列的前 n 项和,则当 n<m 时,an=________. 答案 -2n-1 n?n-1? 解析 由题意得 S(n)=an+?+am=n×1+ ×2=n2,当 n<m 时,S(n+1)=an+1+?+am=(n+1)2. 2 故 an=S(n)-S(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1. 三、解答题 14.在编号为 1~9 的九个盒子中,共放有 351 粒米,已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米. (1)如果 1 号盒子内放了 11 粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米? (2)如果 3 号盒子内放了 23 粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒? 答案 (1)7 (2)8 解析 1~9 号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{an} (1)a1=11,S9=351,求得:d=7 (2)a3=23,S9=351,求得:d=8
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15.(2010· 浙江卷,文)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6 +15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. 15 解析 (1)由题意知 S6=- =-3,a6=S6-S5=-8, S5 ?5a1+10d=5, ? 所以? 解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. ? ?a1+5d=-8. (2)因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a2+9da1+10d2+1=0, 1 故(4a1+9d)2=d2-8,所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 16.设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (1)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (2)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式. 答案 (1)an=22-2n (2)an=12-n 和 an=13-n 解 (1)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=-2,a1=20. 因此{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3,?.

?2a1+13d≤11 ?S14≤77 ? ? (2)由?a11>0 ,得?a1+10d>0 ?a1≥6 ?a ≥6 ? ? 1

① ?2a1+13d≤11 ? ,即?-2a1-20d<0, ② ?-2a ≤-12 ③ ? 1

11 由①+②得-7d<11,即 d>- . 7 由①+③得 13d≤-1, 1 11 1 即 d≤- .于是- <d≤- . 13 7 13 又 d∈Z,故 d=-1.④ 将④代入①②得 10<a1≤12. 又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,?.

1.在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A.a21· a22 B.a22· a23 C.a23· a24 D.a24· a25 答案 C 2 2 解析 由 3an+1=3an-2 ,得 an+1=an- ,即数列{an}是以 a1=15 为首项,- 为公差的等差数列, 3 3 47-2n 2 所以 an=15- (n-1)= ,可得 a23>0,a24<0,即得 a23· a24<0,故选 C. 3 3 2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( ) A.-1 B.1 C.3 D.7 答案 B 解析 两式相减,可得 3d=-6,d=-2.由已知可得 3a3=105,a3=35,所以 a20=a3+17d=35+(-34) =1. + 3.已知 An={x|2n<x<2n 1 且 x=7m+1,m,n∈N},则 A6 中各元素的和为( )
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A.792 B.890 C.891 D.990 答案 C 解析 ∵A6={x|26<x<27 且 x=7m+1,m∈N}, \ ∴A6 的元素 x=

各数成一首项为 71,公差为 7 的等差数列, 9×8 ∴71+78+?+127=71×9+ ×7=891 2 4.已知等差数列{an}的前 20 项的和为 100,那么 a7·14 的最大值是________. a 答案 25 解析 方法一 设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 20×19 由题意:20a1+ ×d=100,即 a1=5-9.5d, 2 又 a7·14=(a1+6d)(a1+13d)=(6d+5-9.5d)(5-9.5d+13d)=25-12.25d2 a 所以 a7·14 的最大值为 25. a 方法二 ∵a7+a14=10, a7+a14 2 ∴a7·14≤( a ) =25. 2 5.在等差数列{an}中,Sn 是它的前 n 项的和,且 S6<S7,S7>S8.有下列四个命题: ①此数列的公差 d<0; ②S9 一定小于 S6; ③a7 是各项中最大的一项; ④S7 一定是 Sn 中的最大值. 其中正确命题的序号是________. 答案 ①②④ 解析 ∵S6<S7 ∴a7>0 ∵S7>S8 ∴a8<0 ∴d<0,∴S9-S6=a7+a8+a9=3a8<0 n=7 时,Sn 最大. 6.将等差数列 3,8,13,18,?按顺序抄在练习本上,已知每行抄 13 个数,每页抄 21 行.求数 33333 所在 的页和行. 解析 a1=3,d=5,an=33333,∴33333=3+(n-1)×5,∴n=6667,可得 an 在第 25 页,第 9 行.

1.若{an}是等差数列,首项 a1>0,a2003+a2004>0,a2003·2004<0,则使前 n 项和 Sn>0 成立的最大自然数 n a 是( ) A.4005 B.4006 C.4007 D.4008 答案 B 4006?a1+a4006? 解析 解法一:S4006= 2 =2003(a2003+a2004)>0. ∵a2003>0,a2004<0. ∴S4007=4007a2004<0. ∴4006 是 Sn>0 的最大自然数. 解法二:a1>0,a2003+a2004>0 且 a2003·2004<0 a ∴a2003>0 且 a2004<0. ∴S2003 为 Sn 中的最大值. ∵Sn 是关于 n 的二次函数.
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∴2003 到对称轴的距离比 2004 到对称轴的距离小. 4007 ∴ 在对称轴右侧. 2 ∴4006 在抛物线与 x 轴右交点的左侧,4007、4008 都在其右侧. ∴Sn>0 中最大的自然数是 4006. 2. 在等差数列{an}中, 满足 3a4=7a7, a1>0, n 是数列{an}前 n 项的和. Sn 取得最大值, n=________. 且 S 若 则 答案 9 解析 设公差为 d,由题设,3(a1+3d)=7(a1+6d), 4 解得 d=- a1<0, 33 4 解不等式 an>0,即 a1+(n-1)(- a1)>0, 33 37 得 n< ,则 n≤9.当 n≤9 时,an>0. 4 同理,可得当 n≥10 时,an<0. 故当 n=9 时,Sn 取得最大值. 3.设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2a2=a1+a3,数列{ Sn}是公差为 d 的等差数列.求数 列{an}的通项公式(用 n,d 表示). 解析 由题设知, Sn= S1+(n-1)d= a1+(n-1)d,则当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=( Sn- Sn-1)( Sn+ Sn-1)=2d a1-3d2+2d2n. 由 2a2=a1+a3,得 2(2d a1+d2)=a1+2d a1+3d2,解得 a1=d. 故当 n≥2 时,an=2nd2-d2. 又 a1=d2,所以数列{an}的通项公式为 an=(2n-1)d2. 4.数列{an}满足 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,?),λ 是常数. (1)当 a2=-1 时,求 λ 及 a3 的值; (2)数列{an}是否可能为等差数列?若可能,求出它的通项公式;若不可能,请说明理由; 解 (1)由于 an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,?),且 a1=1, 所以当 a2=-1 时,得-1=2-λ,故 λ=3. 从而 a3=(22+2-3)×(-1)=-3. (2)数列{an}不可能为等差数列.证明如下: 由 a1=1,an+1=(n2+n-λ)an 得 a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ). 若存在 λ,使{an}为等差数列,则 a3-a2=a2-a1,即 (5-λ)(2-λ)=1-λ,解得 λ=3.于是 a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24, 这与{an}为等差数列矛盾.所以,对任意 λ,{an}都不可能为等差数列. 5.已知等差数列{an}中,公差 d>0,其前 n 项和为 Sn,且满足:a2·3=45,a1+a4=14. a (1)求数列{an}的通项公式; Sn (2)通过公式 bn= 构造一个新的数列{bn},若{bn}也是等差数列,求非零常数 c; n+c bn (3)求 f(n)= (n∈N*)的最大值. ?n+25?·n+1 b 解析 (1){an}为等差数列, ∴a1+a4=a2+a3=14,又 a2·3=45. a 2 ∴a2,a3 是方程 x -14x+45=0 的两实根. 又公差 d>0,∴a2<a3,∴a2=5,a3=9. ? ? ?a1+d=5 ?a1=1 ∴? ?? .∴an=4n-3. ?a1+2d=9 ?d=4 ? ? n?n-1? (2)由(1)知,Sn=n· 1+ · 4=2n2-n, 2 2n2-n Sn 1 6 15 ∴bn= = .∴b1= ,b = ,b = . n+c n+c 1+c 2 2+c 3 3+c 又{bn}也是等差数列,∴b1+b3=2b2.
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6 1 15 1 即 2· = + ,解得 c=- (c=0 舍去). 2 2+c 1+c 3+c 2 2n -n ∴bn= =2n. 1 n- 2 1 易知{bn}是等差数列,故 c=- . 2 2n n (3)f(n)= = ?n+25?· 2?n+1? n2+26n+25 1 1 1 = ≤ = . 25 2 25+26 36 n+ +26 n 25 1 当且仅当 n= ,即 n=5 时取等号,∴f(n)max= . n 36

第 3 讲 等比数列
练习题(一) 一、选择题 1.在公比为正数的等比数列中,a1+a2=2,a3+a4=8,则 S8 等于( ) A.21 B.42 C.135 D.170 答案 D a3+a4 解析 q2= =4,又 q>0,∴q=2, a1+a2 2 a1(1+q)=a1(1+2)=2,∴a1=3, 2 8 ?2 3· -1? S8= =170. 2-1 2. 在等比数列{an}中, n 表示前 n 项和, a3=2S2+1, 4=2S3+1, S 若 a 则公比 q 等于( ) A.3 B.-3 C.-1 D.1 答案 A 解析 思路一:列方程求出首项和公比,过程略; a4 思路二:两等式相减得 a4-a3=2a3,从而求得a =3=q. 3 7 77 3.在 14 与8之间插入 n 个数组成等比数列,若各项总和为 8 ,则此数列的项数( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B 7 14-8q a1-anq 7 77 解析 ∵q≠1(14≠8)∴Sn= ,∴ 8 = 1-q 1-q 1 7 1 解得 q=-2,8=14×(-2)n+2-1, ∴n=3,故该数列共 5 项. 4.(2010· 广东卷)已知数列{an}为等比数列,Sn 是它的前 n 项和.若 a2·3=2a1,且 a4 与 a
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5 2a7 的等差中项为4,则 S5=(

)

A.35 B.33 C.31 D.29 答案 C 解析 设数列{an}的公比为 q,a2·3=a2·3=a1·4=2a1?a4=2,a4+2a7=a4+2a4q3=2+4q3 a a 1q 5 1 =2×4?q=2, a1?1-q5? a4 故 a1=q3=16,S5= =31. 1-q 5.数列{an}的前 n 项和为 Sn=4n+b(b 是常数,n∈N*),如果这个数列是等比数列,则 b 等 于( ) A.-1 B.0 C.1 D.4 答案 A 解析 等比数列{an}中,q≠1 时, a1· n-1? a1 n a1 ?q Sn= = ·- q q-1 q-1 q-1 n =A· -A,∴b=-1 q 6.一正数等比数列前 11 项的几何平均数为 32,从这 11 项中抽去一项后所余下的 10 项的几 何平均数为 32,那么抽去的这一项是( ) A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 9 项 D.第 11 项 答案 A 解析 由于数列的前 11 项的几何平均数为 32,所以该数列的前 11 项之积为 3211=255, 当抽去一项后所剩下的 10 项之积为 3210=250, ∴抽去的一项为 255÷ 50=25, 2 又因 a1·11=a2·10=a3·9=a4·8=a5·7=a2,所以 a1·2· a11=a11, a a a a a a ?· 6 6 11 55 5 故有 a6 =2 ,即 a6=2 , ∴抽出的应是第 6 项 7.设 a1=2,数列{1+2an}是公比为 2 的等比数列,则 a6=( ) A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5 答案 C - 解析 因为 1+2an=(1+2a1)·n 1,则 2 5·n-1-1 2 1 an= ,an=5·n-2-2, 2 2 1 1 1 a6=5×24-2=5×16-2=80-2=79.5 8.设{an}是由正数组成的等比数列,Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7,则 S5=( ) 15 31 A. 2 B. 4 33 17 C. 4 D. 2 答案 B
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解析 31 =4.

a ?a1q·1q 3=1 显然公比 q≠1, 由题意得, a1?1-q ? ? ? 1-q =7

3

1 ?a1=4 4?1-25? 5 ? a1?1-q ? , 解得? ∴S5= = 1 1 1-q ?q=2, 1-2 ?

二、填空题 9.已知等比数列{an}的公比为正数,且 a2·2n+2=2a2+1,a2=2,则 a1=________. a n 2 2 解 ∵a2·2n+2=an+2=2an+1 a an+2 ∴ = 2,∴q= 2 an+1 a2 ∵a2=2,∴a1= q = 2. 1 10.已知数列{an},如果 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1,?是首项为 1,公比为3的等比 数列,那么 an=________. 3 1 答案 2(1-3n) 1 1 1 解析 a1=1,a2-a1=3,a3-a2=(3)2,?,an-an-1=(3)n-1, 1 1 1 3 1 累加得 an=1+3+32+?+(3)n-1=2(1-3n) 11. 数列{an}为等比数列, 已知 an>0, an=an+1+an+2, 且 则该数列的公比 q 是__________ 5-1 答案 2 解析 由已知可得 an=an· q+an·2 q -1± 5 ∵an>0 ∴q2+q-1=0 q= 2 5-1 ∵q>0 ∴q= 2 12.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,S6=4S3,则 a4=________. 解 设公比为 q,S6=S3+q3S3=4S3,∴q3=3,∴a4=a1·3=3. q 13. (2011· 山东师大附中)等比数列{an}中, n 项和为 Sn, S3=7,6=63, 前 若 S 则公比 q=________. 答案 2 S6-S3 3 3 解析 S3 =q 即 q =8 ∴q=2 三、解答题 13 364 14.在等比数列{an}中,S3= 9 ,S6= 9 ,求 an. 解析 由已知,S6≠2S3,则 q≠1. 13 364 又 S3= 9 ,S6= 9 ,

?a1?1-q ?=13 ? 1-q 9 即? a1?1-q6? 364 ? 1-q = 9 ?
3

① ②
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②÷ ①,得 1+q3=28,∴q=3. 1 可求得 a1=9.因此 an=a1qn-1=3n-3. 15.在等比数列{an}中,已知 a6-a4=24,a3·5=64,求{an}前 8 项的和 S8. a 解析 解法一 设数列{an}的公比为 q,依题意 3 2 ① ?a6-a4=a1q ?q -1?=24 ? 3 2 a ?a3·5=?a1q ? =64 ∴a1q3=± 8. 3 将 a1q =-8 代入到①式,得 q2-1=-3.∴q2=-2,舍去. 将 a1q3=8 代入到①式得 q2-1=3.∴q=± 2. 8 a1?q -1? 当 q=2 时,a1=1,S8= =255; q-1 a1?q8-1? 当 q=-2 时,a1=-1,S8= =85. q-1 2 解法二 ∵{an}是等比数列,∴依题设得 a4=a3·5=64.∴a4=± a 8.∴a6=24+a4=24± 8. a6 ∵{an}是实数列,∴a >0. 4 故舍去 a4=-8,得 a4=8,a6=32. a5 从而 a5=± a4·6=± a 16,∴q=a =± 2. 4 当 q=2 时,a1=a4·-3=1,a9=a6·3=256, q q a1-a9 ∴S8= =255; 1-q 当 q=-2 时,a1=a4·-3=-1,a9=a6·3=-256, q q a1-a9 ∴S8= =85. 1-q 16.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n∈N*,点(n,Sn)均在函数 y=bx+r(b>0 且 b≠1,b,r 均为常数)的图象上. (1)求 r 的值; n+1 (2)当 b=2 时,记 bn= 4a (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. n 解析 (1)由题意,Sn=bn+r, 当 n≥2 时,Sn-1=bn-1+r, 所以 an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1), 由于 b>0 且 b≠1, 所以当 n≥2 时,{an}是以 b 为公比的等比数列. b?b-1? a2 又 a1=b+r,a2=b(b-1),a =b,即 =b, b+r 1 解得 r=-1. (2)由(1)知,n∈N*,an=(b-1)bn-1,当 b=2 时,an=2n-1, n+1 n+1 所以 bn= n-1= n+1 4×2 2 n+1 2 3 4 Tn=22+23+24+?+ n+1 , 2
20

n+1 1 2 3 n 2Tn=23+24+?+2n+1+ 2n+2 , n+1 1 2 1 1 1 两式相减得2Tn=22+23+24+?+ n+1- n+2 2 2 1 1 3?1- n-1? 2 n+1 3 n+1 1 2 1 =2+ - n+2 =4- n+1- n+2 , 1 2 2 2 1-2 3 1 n+1 3 n+3 故 Tn=2-2n- n+1 =2- n+1 . 2 2

1.等比数列{an}中,公比 q=2,S4=1,则 S8 的值为( ) A.15 B.17 C.19 D.21 答案 B 2.设{an}是任意等比数列,它的前 n 项和,前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X,Y,Z,则下列 等式中恒成立的是( ) A.X+Z=2Y B.Y(Y-X)=Z(Z-X) C.Y2=XZ D.Y(Y-X)=X(Z-X) 答案 D 解析 根据等比数列的性质:若{an}是等比数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 也成等比数列,即 X,Y-X,Z-Y 成等比数列,故(Y-X)2=X(Z-Y),整理得 Y(Y-X)=X(Z-X),故选 D. 3.设项数为 8 的等比数列的中间两项与 2x2+7x+4=0 的两根相等,则数列的各项相乘的积 为________. 答案 16 解析 设此数列为{an},由题设 a4a5=2, 从而 a1a2?a8=(a4a5)4=16 4.设{an}是公比为 q 的等比数列,|q|>1,令 bn=an+1(n=1,2,?),若数列{bn}有连续四项 在集合{-53,-23,19,37,82}中,则 6q=________. 答案 -9 解析 由 an=bn-1,且数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则{an}有连续 四项在集合{-54,-24,18,36,81}中.经分析判断,比较知{an}的四项应为-24,36,-54,81. 3 又|q|>1,所以数列{an}的公比为 q=-2,则 6q=-9. 1 5.设数列{an}的首项 a1=a≠4, ?n为偶数?, ?1an ?2 且 an+1=? 1 ?an+4 ?n为奇数?, ? 1 记 bn=a2n-1-4,n=1,2,3,?. (1)求 a2,a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.
21

解析

1 1 1 1 1 (1)a2=a1+4=a+4,a3=2a2=2a+8.

1 1 3 (2)∵a4=a3+4=2a+8, 1 1 3 ∴a5=2a4=4a+16, 1 1 1 1 1 ∴b1=a1-4=a-4,b2=a3-4=2(a-4), 1 1 1 b3=a5-4=4(a-4), 1 猜想:{bn}是公比为2的等比数列. 证明如下: 1 1 1 ∵bn+1=a2n+1-4=2a2n-4 1 1 1 =2(a2n-1+4)-4 1 1 1 =2(a2n-1-4)=2bn,(n∈N*), 1 1 ∴{bn}是首项为 a-4,公比为2的等比数列
练习题(二) 一、选择题 1.已知等比数列 {a n } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a 2 =1,则 a1 = A.
2

1 2

B.

2 2

C.

2

2 8 4 D.2 【答案】B【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q

?

? ,即
2

q 2 ? 2 ,又因为等比数列 {a n } 的公比为正数,所以 q ? 2 ,故 a1 ?
2、如果 ?1, a, b, c, ?9 成等比数列,那么( ) A、 b ? 3, ac ? 9 B、 b ? ?3, ac ? 9 C、 b ? 3, ac ? ?9

a2 1 2 ? ? ,选 B q 2 2
D、 b ? ?3, ac ? ?9

n 3、若数列 an ? 的通项公式是 a n ? (1) (3n ? 2), 则a1 ? a 2 ? ? ? a10 ?

?

(A)15 (B)12 (C) ??? D) ??? 答案:A 4.设{ an }为等差数列,公差 d = -2, S n 为其前 n 项和.若 S10 ? S11 ,则 a1 =( A.18 B.20 C.22 D.24 答案:B 解析:



? S10 ? S11 ,? a11 ? 0 a11 ? a1 ? 10 d ,? a1 ? 20
D. ? ??, ?1? ? ?3, ?? ? )

5.已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是() A. ? ??, ?1? B. ? ??, 0 ? ? ?1, ?? ? C. ? 3, ?? ?

答案 D 6.设{an}是公比为正数的等比数列,若 n1=7,a5=16,则数列{an}前 7 项的和为( A.63 B.64 C.127 D.128 答案 C 7.在等比数列{an}中,a2=8,a5=64, ,则公比 q 为( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 A 8.若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为 A.2 B.4 C.8 D.16
22

答案:B 9.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1 =3Sn(n ≥1) ,则 a6= (A)3 × 44 (B)3 × 44+1 (C)44 (D)44+1 答案:A 解析: an+1 =3Sn, an =3Sn-1 由 得 (n ≥ 2) 相减得 an+1-an =3(Sn-Sn-1)= 3an, an+1=4an , 则 (n ≥ 2) a1=1, , a2=3,则 a6= a2·44=3× 4,选 A. 4 10. 在等比数列 {an } ( n?N* )中,若 a1 ? 1 , a4 ? A. 2 ?

1 24

B. 2 ?

1 22

1 ,则该数列的前 10 项和为( 8 1 1 C. 2 ? 10 D. 2 ? 11 2 2



答案 B 11.若互不相等的实数 A.4 B.2 答案 D

a, b, c 成等差数列, C.-2

c, a, b 成等比数列,且 a ? 3b ? c ? 10 ,则 a ? D.-4

解析 由互不相等的实数 a, b, c 成等差数列可设a=b-d,c=b+d,由 a ? 3b ? c ? 10 可得b=2,所以a= 2-d,c=2+d,又 c, a, b 成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D 12.已知 ?a n ?是等比数列, a 2 ? 2,a5 ? A.16( 1 ? 4 ? n ) C.

32 (1 ? 4?n ) 3

1 ,则 a1 a 2 ? a 2 a3 ? ? ? a n a n ?1 =( 4 B.6( 1 ? 2 ? n ) 32 D. (1 ? 2 ?n ) 3



答案 C 二、填空题: 三、13.设等比数列 {an } 的公比 q ?

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 4 ? a4 2



a1 (1 ? q 4 ) s4 1 ? q4 3 , a4 ? a1q ,? ? 3 ? 15 答案:15 解析 对于 s4 ? 1? q a4 q (1 ? q ) 14.设等比数列{ a n }的前 n 项和为 s n 。若 a1 ? 1, s 6 ? 4s3 ,则 a 4 =
答案:3 3 3 解析:本题考查等比数列的性质及求和运算,由 a1 ? 1, s 6 ? 4s3 得 q =3 故 a4=a1q =3

15. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 ,2S2 ,3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比为 案

.答

1 3
a1 ? a 3 ? a 9 的值为 a 2 ? a 4 ? a10


四、16.已知等差数列 {a n } 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则 五、答案

13 16

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值.

18:①已知等比数列 ?an ? , a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2 a3 ? 8 ,则 an ? ②已知数列 ?an ? 是等比数列,且 Sm ? 10, S2 m ? 30 ,则 S3m =
23

③在等比数列 ?an ? 中,公比 q ? 2 ,前 99 项的和 S99 ? 56 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ??? ? a99 ? ④在等比数列 ?an ? 中,若 a3 ? 4, a9 ? 1 ,则 a6 ? ;若 a3 ? 4, a11 ? 1 ,则 a7 ? ⑤在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a6 ? a ? a ? 0 ? , a15 ? a16 ? b ,则 a25 ? a26 ? 解:① a1a2 a3 ? a2 ? 8
2

∴ a2 ? 2

∴?

?a1 ? a3 ? 5 ? a1 ? 1 ?? ? a1 ? a3 ? 4 ?a3 ? 4
n ?1



? a1 ? 4 ? ? a3 ? 1

当 a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? 4 时, q ? 2, an ? 2

1 ?1? 当 a1 ? 4, a2 ? 2, a3 ? 1 时, q ? , an ? 4 ? ? ? 2 ?2?
② ? S 2 m ? S m ? ? S m ? ? S3m ? S 2 m ? ? S3m ? 70
2

n ?1

b1 ? a1 ? a4 ? a7 ? ??? ? a97
③设 b2 ? a2 ? a5 ? a8 ? ??? ? a98 则 b1q ? b2 , b2 q ? b3 ,且 b1 ? b2 ? b3 ? 56

b3 ? a3 ? a6 ? a9 ? ??? ? a99
∴ b1 ? 1 ? q ? q ④ a6 ? a3 ? a9
2

?

2

? ? 56
4

a6 ? ?2

56 ? 8 ∴ b3 ? b1q 2 ? 32 1? 2 ? 4 2 a7 ? a3? a1 1 a7 ? 2 (-2 舍去)
即 b1 ?
4

∵当 a7 ? ?2 时, a7 ? a3q ? 4q ? 0

a ? a16 a25 ? a26 ? ? q10 ⑤ 15 a5 ? a6 a15 ? a16
19. (本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 中, a1 ?

∴ a25 ? a26

?a ? a ? ? 15 16
a5 ? a6

2

?

b2 a

1 1 ,公比 q ? . 3 3 1 ? an (I) S n 为 {an } 的前 n 项和,证明: S n ? 2 (II)设 bn ? log3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 {bn } 的通项公式.
20、某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年 到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (I)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (II)设 An ?

a1 ? a2 ? ? ? an , 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明: n

须在第 9 年初对 M 更新. 解析: (I)当 n ? 6 时,数列 {an } 是首项为 120,公差为 ?10 的等差数列.

an ? 120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n;
当 n ? 6 时,数列 {an } 是以 a6 为首项,公比为

3 为等比数列,又 a6 ? 70 ,所以 4

3 an ? 70 ? ( )n?6 ; 4
?120 ? 10(n ? 1) ? 130 ? 10n, n ? 6 ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为 an ? ? 3 an ? 70 ? ( ) n ?6 , n ? 7 ? ? 4 (II)设 S n 表示数列 {an } 的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得 当 1 ? n ? 6 时, Sn ? 120n ? 5n(n ? 1), An ? 120 ? 5(n ? 1) ? 125 ? 5n;
24

3 3 3 Sn ? S6 ? (a7 ? a8 ? ? ? an ) ? 570 ? 70 ? ? 4 ? [1 ? ( ) n ?6 ] ? 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 4 4 当 n ? 7 时, 3 780 ? 210 ? ( ) n ?6 4 An ? . n 因为 {an } 是递减数列,所以 { An } 是递减数列,又

3 3 780 ? 210 ? ( )8?6 780 ? 210 ? ( )9 ?6 47 79 4 4 A8 ? ? 82 ? 80, A9 ? ? 76 ? 80, 8 64 9 96 20 21:①已知 ?an ? 等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ? ,求 ?an ? 的通项公式。 3 ②设等比数列 ?an ? 的公比为 q ? q ? 0 ? ,它的前 n 项和为 40,前 2n 项和为 3280,且前 n 项和中最
③设等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 2, S4 ? 5S2 ,求 ?an ? 的通项公式。 解:① q ? 大项为 27,求数列的第 2n 项。

1 an ? 2 ? 33? n 或q ?3 3 ? S n ? na1 ? 40 ②当 q ? 1 时 ? ? S 2 n ? 2na1 ? 3280

或 无解

an ? 2 ? 3n ?3

当 q ? 1时

? a1 ?1 ? q n ? ? Sn ? ? 40 1? q ? ? a1 ?1 ? q 2 n ? ? ? 3280 ? S2 n ? 1? q ?

S2 n ? 1 ?q n ?8 2 ∴ q n ? 81 ∴ Sn

a1 1 ?? 1? q 2 n ∵ q ? 0 即 q ? 81 ? 1 ∴ q ? 1 ∴ a1 ? 0
∴ an ? 27 ? a1q
n ?1

∴数列 ?an ? 为递增数列

?

a1 ? 81 q

? a1 1 ? q ?3 ? 解方程组 ? ? a1 ? ? 1 ?1 ? q 2 ?

得?

?a1 ? 1 ∴ ?q ? 3

a2 n ? a1q 2 n ?1 ? 32 n ?1
③由已知 a1 ? 0, S n ? 得1 ? q ? 5 1 ? q
4

a1 ?1 ? q n ?

?

2

?

? a1q 2 ? 2 ? 时 ? a1 ?1 ? q 4 ? a1 ?1 ? q 2 ? 1? q ? 5? ? 1? q ? 1? q ∵q ?1 ∴ q ? ?1 或 q ? ?2
n ?1

当 q ? ?1 时, a1 ? 2, an ? 2 ? ?1? 当 q ? ?2 时, a1 ?

1 1 n ?1 n ?1 , an ? ? ?2 ? ? ? ?1? 2n?2 2 2 22.数列 {an } 为等差数列, an 为正整数,其前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 为等比数列,且 a1 ? 3, b1 ? 1 ,数列 {ban } 是公比为 64 的等比数列, b2 S2 ? 64 .

25

(1)求 an , bn ; (2)求证

1 1 1 3 ? ?? ? ? . S1 S2 Sn 4

解: (1)设 {an } 的公差为 d , {bn } 的公比为 q ,则 d 为正整数,

an ? 3 ? (n ? 1)d , bn ? q n ?1

? ban?1 q3? nd ? 3?( n ?1) d ? q d ? 64 ? 26 ? q 依题意有 ? ban ① ? S2b2 ? (6 ? d )q ? 64 ? 由 (6 ? d )q ? 64 知 q 为正有理数,故 d 为 6 的因子 1, 2,3, 6 之一, 解①得 d ? 2, q ? 8 n ?1 故 an ? 3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1, bn ? 8 (2) Sn ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ??? ? ? ? ??? S1 S2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? )? 2 2 n ?1 n ? 2 4

第 4 讲 数列求和
基础梳理 数列求和的常用方法 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和 (1)等差数列的前 n 项和公式: n?a1+an? n?n-1? Sn= =na1+ d; 2 2 (2)等比数列的前 n 项和公式:

?na1,q=1, ? Sn=?a1-anq a1?1-qn? ? 1-q = 1-q ,q≠1. ?
2.倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的 前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的. 3.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么这个数列的前 n 项和即 可用此法来求,如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的. 4.裂项相消法
26

把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 5.分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成,则求和时可用分组求和法,分 别求和而后相加减. 6.并项求和法 一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如 an=(-1)nf(n)类型,可采用两项合并 求解. 例如,Sn=1002-992+982-972+?+22-12=(100+99)+(98+97)+?+(2+1)=5 050.

一种思路 一般数列求和,应从通项入手,若无通项,先求通项,然后通过对通项变形,转化为与特殊数列有关或具 备某种方法适用特点的形式,从而选择合适的方法求和. 两个提醒 在利用裂项相消法求和时应注意: (1)在把通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差; (2)在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,或有时前面剩下两项,后面也剩下两项. 三个公式 1 1 1 (1) = - ; n?n+1? n n+1 1 ? 1 1 1 - (2) = ? ; ?2n-1??2n+1? 2?2n-1 2n+1? (3) 1 n+ n+1 = n+1- n. 双基自测 1 1.等比数列{an}的公比 q= ,a8=1,则 S8=( ). 2 A.254 B.255 C.256 D.257

1 解析 由 a8=1,q= 得 a1=27, 2 1 27?1-?2?8? ? ? ?? 8 a1?1-q8? ∴S8= = =2 -1=255. 1 1-q 1- 2 答案 B 2.设{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2 且 a1,a3,a6 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=( ). n2 7n A. + 4 4 n2 5n B. + 3 3 n2 3n C. + 2 4 D.n2+n

解析 由题意设等差数列公差为 d, a1=2, 3=2+2d, 6=2+5d.又∵a1, 3, 6 成等比数列, 2=a1a6, 则 a a a a ∴a3
27

即(2+2d)2=2(2+5d),整理得 2d2-d=0.∵d≠0, n?n-1? n2 7 1 ∴d= ,∴Sn=na1+ d= + n. 2 2 4 4 答案 A
?Sn? 3.等差数列{an}的通项公式为 an=2n+1,其前 n 项的和为 Sn,则数列? n ?的前 10 项的和为( ). ? ?

A.120 C.75

B.70 D.100

n?3+2n+1? Sn 解析 ∵Sn= =n(n+2),∴ =n+2. 2 n
?Sn? ∴数列? n ?前 10 项的和为:(1+2+?+10)+20=75. ? ?

答案 C 4.设数列{(-1)n}的前 n 项和为 Sn,则对任意正整数 n,Sn=( ). n[?-1?n-1] A. 2 ?-1?n+1 C. 2 ?-1?n 1+1 B. 2


?-1?n-1 D. 2

-1-?-1?n×?-1? ?-1?n-1 解析 因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1 的等比数列,所以 Sn= = . 2 1-?-1? 答案 D 5.若 Sn=1-2+3-4+?+(-1)n 1· 50=________. n,S 解析 S50=1-2+3-4+?+49-50 =(-1)×25=-25.


答案 -25 考向一 公式法求和 【例 1】?已知数列{an}是首项 a1=4,公比 q≠1 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 4a1,a5,-2a3 成等差 数列. (1)求公比 q 的值; (2)求 Tn=a2+a4+a6+?+a2n 的值. [审题视点] 求出公比,用等比数列求和公式直接求解. 解 (1)由题意得 2a5=4a1-2a3. ∵{an}是等比数列且 a1=4,公比 q≠1, ∴2a1q4=4a1-2a1q2,∴q4+q2-2=0, 解得 q2=-2(舍去)或 q2=1,∴q=-1. (2)∵a2,a4,a6,?,a2n 是首项为 a2=4×(-1)=-4,公比为 q2=1 的等比数列,∴Tn=na2=-4n.
28

应用公式法求和时,要保证公式使用的正确性,尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式 及前 n 项和公式. 【训练 1】 在等比数列{an}中,a3=9,a6=243,求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公式 Sn,并求 a9 和 S8 的值. a6 243 解 在等比数列{an}中,设首项为 a1,公比为 q,由 a3=9,a6=243,得 q3= = =27,∴q=3. a3 9 由 a1q2=a3,得 9a1=9,∴a1=1. 于是,数列{an}的通项公式为 an=1×3n 1=3n 1, 1×?1-3n? 3n-1 前 n 项和公式为 Sn= = . 2 1-3 由此得 a9=39 1=6 561,S8=
- - -

38-1 =3 280. 2 考向二 分组转化求和

【例 2】 ?已知数列{xn}的首项 x1=3, 通项 xn=2np+nq(n∈N*, q 为常数), x1, 4, 5 成等差数列. p, 且 x x 求: (1)p,q 的值;(2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式. [审题视点] 第(1)问由已知条件列出关于 p、q 的方程组求解;第(2)问分组后用等差、等比数列的求和公式 求解. 解 (1)由 x1=3,得 2p+q=3,又因为 x4=24p+4q,x5=25p+5q,且 x1+x5=2x4,得 3+25p+5q=25p+ 8q,解得 p=1,q=1. n?n+1? + (2)由(1),知 xn=2n+n,所以 Sn=(2+22+?+2n)+(1+2+?+n)=2n 1-2+ . 2 对于不能由等差数列、等比数列的前 n 项和公式直接求和的问题,一般需要将数列通项的结构 进行合理的拆分,转化成若干个等差数列、等比数列的求和. 1 1 1 1 1 1 【训练 2】 求和 Sn=1+?1+2?+?1+2+4?+?+?1+2+4+?+2n-1?. ? ? ? ?

?

?

解 和式中第 k 项为 1 1 1 ak=1+ + +?+ k-1= 2 4 2 1 1-?2?k ? ? 1 1- 2 1 =2?1-2k?. ? ?

1 1 1 ∴Sn=2??1-2?+?1-22?+?+?1-2n?? ?? ? ? ? ? ?? 1 1 1 =2??1+1+?+1 ? -?2+22+?+2n?? 个 ? ? ??
n

? 2?1-2 ?? 1 ? ? =2?n- 1 ?=2 ? 1-2 ?
1 1
n

n-1+2n-2.

考向三 裂项相消法求和
29

1 【例 3】?在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 S2=an?Sn-2?. n ? ? (1)求 Sn 的表达式; Sn (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1
?1? [审题视点] 第(1)问利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)后,再同除 Sn-1·n 转化为?S ?的等差数列即可求 Sn. S ? n?

第(2)问求出{bn}的通项公式,用裂项相消求和. 1 解 (1)∵S2=an?Sn-2?,an=Sn-Sn-1(n≥2), n ? ? 1 ∴S2=(Sn-Sn-1)?Sn-2?, n ? ? 即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 由题意 Sn-1·n≠0, S 1 1 ①式两边同除以 Sn-1·n,得 - S =2, Sn Sn-1
?1? 1 1 ∴数列?S ?是首项为 = =1,公差为 2 的等差数列. S1 a1 ? n?

1 1 ∴ =1+2(n-1)=2n-1,∴Sn= . Sn 2n-1 Sn 1 (2)又 bn= = 2n+1 ?2n-1??2n+1? 1 1 1 = ?2n-1-2n+1?, 2? ? ∴Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 1 = ??1-3?+?3-5?+?+?2n-1-2n+1?? ? ? ? 2?? ? ?? 1 1 n = ?1-2n+1?= 2? ? 2n+1. 使用裂项法求和时,要注意正负项相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去 的项,未被消去的项有前后对称的特点,实质上造成正负相消是此法的根源与目的. 1 2 n 2 【训练 3】 在数列{an}中,an= + +?+ ,又 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n+1 n+1 n+1 an·n+1 a 1 2 n 解 an= + +?+ n+1 n+1 n+1 = 1+2+?+n n?n+1? n = = . n+1 2?n+1? 2

2 2 8 ∴bn= = = an·n+1 n n+1 n?n+1? a · 2 2

30

1 1 =8?n-n+1?.

?

?

1 1 1 1 1 ∴Sn=8??1-2?+?2-3?+?+?n-n+1?? ? ? ? ?

?

?

??

1 8n =8?1-n+1?= ? ? n+1. 考向四 错位相减法求和 【例 4】?已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10. (1)求数列{an}的通项公式;
? an ? (2)求数列?2n-1?的前 n 项和. ? ? ? an ? [审题视点] 第(1)问列出关于首项 a1 与公差 d 的方程组可求解; 第(2)问观察数列?2n-1?的通项采用错位相减 ? ?

法.
?a1+d=0, ?a1=1, ? ? 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由已知条件可得? 解得? ? ? ?2a1+12d=-10, ?d=-1.

故数列{an}的通项公式为 an=2-n.
? an ? (2)设数列?2n-1?的前 n 项和为 Sn, ? ?



an 2-n 1 n - = - = - - - , 2n 1 2n 1 2n 2 2n 1

1 1 1 2 3 n ∴Sn=?2+1+2+22+?+2n-2?-?1+2+22+?+2n-1?.

?

? ?

?

2 3 n 记 Tn=1+ + 2+?+ n-1, 2 2 2 1 1 2 3 n 则 Tn= + 2+ 3+?+ n, 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n ①-②得: Tn=1+ + 2+?+ n-1- n, 2 2 2 2 2 1 1- n 2 n 1 ∴ Tn= - . 2 1 2n 1- 2 1 n 即 Tn=4?1-2n?- n-1. ? ? 2 1 2?1-?2?n? ? ? ? ? ? 1? n ∴Sn= -4?1-2n?+ n-1 1 2 1- 2 1 1 n =4?1-2n?-4?1-2n?+ n-1 ? ? ? ? 2

① ②

31



n - . 2n 1 用错位相减法求和时,应注意

(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达 式. n - 【训练 4】 设数列{an}满足 a1+3a2+32a3+?+3n 1an= ,n∈N*. 3 (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. an n - 解 (1)a1+3a2+32a3+?+3n 1an= , 3 ∴当 n≥2 时, a1+3a2+32a3+?+3n 2an-1=




n-1 , 3



n n-1 1 1 - ①-②得:3n 1an= - = ,∴an= n. 3 3 3 3 1 当 n=1 时,a1= 也适合上式, 3 1 ∴an= n. 3 n (2)bn= =n·n, 3 an ∴Sn=1×3+2×32+3×33+?+n·n, 3 则 3Sn=32+2×33+3×34+?+n·n 1, 3 ∴③-④得: -2Sn=3+32+33+?+3n-n·n 3 = 3?1-3n? + -n·n 1 3 1-3
+1 +

③ ④

3 + =- (1-3n)-n·n 1. 3 2 n·n 3 3 ∴Sn= (1-3n)+ 4 2 3n 1 3 ?2n-1?· = + . 4 4
+ +1

阅卷报告 7——未对 q=1 或 q≠1 讨论出错

32

【问题诊断】 错位相减法适合于一个由等差数列{an}及一个等比数列{bn}对应项之积组成的数列.考生在 解决这类问题时,都知道利用错位相减法求解,也都能写出此题的解题过程,但由于步骤繁琐、计算量大 导致了漏项或添项以及符号出错等. 【防范措施】 两边乘公比后,对应项的幂指数会发生变化,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子 前面空出一项,另外一个式子后面就会多了一项,两项相减,除第一项和最后一项外,剩下的 n-1 项是 一个等比数列. 【示例】?已知等差数列{an}的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=(4-an)qn 1(q≠0,n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 错因 未对 q=1 或 q≠1 分别讨论,相减后项数、符号均出现了错误. 实录 (1)由已知得
? ?a1+a2+a3=6, ? ? ?a1+a2+?+a8=-4, ?3a1+3d=6, ? 即? ? ?8a1+28d=-4,


解得 a1=3,d=-1,∴an=4-n. (2)由(1)知 bn=n·n 1, q ∴Sn=1+2·1+3·2+?+n·n 1, q q q qSn=1· q+2·2+3·3+?+n·n, q q q 两式相减得:(1-q)Sn=1+q+q2+?+qn 1+n·n q 1-qn 1-qn n·n q n = +n· .∴Sn= q + . 1-q ?1-q?2 1-q 正解 (1)设{an}的公差为 d,则由已知得
? ? ?a1+a2+a3=6, ?3a1+3d=6, ? 即? ? ? ?a1+a2+?+a8=-4, ?8a1+28d=-4,
- - -

解得 a1=3,d=-1,故 an=3-(n-1)=4-n. (2)由(1)知,bn=n·n 1, q 于是 Sn=1·0+2·1+3·2+?+n·n 1, q q q q 若 q≠1,上式两边同乘以 q. qSn=1·1+2·2+?+(n-1)·n 1+n·n, q q q q 两式相减得:(1-q)Sn=1+q1+q2+?+qn 1-n·n q = 1-qn -n·n. q 1-q
n n+1
- - - -

1-q q n·n n· q ∴Sn= = 2- ?1-q? 1-q

-?n+1?qn+1 . ?1-q?2

33

n?n+1? 若 q=1,则 Sn=1+2+3+?+n= , 2

?n?n+1? ? 2 ∴S =? nq -?n+1?q +1 ? ? ?1-q?
n n+1 n 2

?q=1?, ?q≠1?.

1 1 1 【试一试】已知数列{an}是首项为 a1= ,公比 q= 的等比数列,设 bn+2=3log an(n∈N*),数列{cn}满足 4 4 4 cn=an·n. b (1)求数列{bn}的通项公式; (2)求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 1 [尝试解答] (1)由题意,知 an=?4?n(n∈N*), ? ? 1 又 bn=3log an-2,故 bn=3n-2(n∈N*). 4 1 (2)由(1),知 an=?4?n,bn=3n-2(n∈N*), ? ? 1 ∴cn=(3n-2)×?4?n(n∈N*). ? ? 1 1 1 - 1 1 ∴Sn=1× +4×?4?2+7×?4?3+?+(3n-5)×?4?n 1+(3n-2)×?4?n, ? ? ? ? ? ? ? ? 4 1 1 1 1 1 + 1 于是 Sn=1×?4?2+4×?4?3+7×?4?4+?+(3n-5)×?4?n+(3n-2)×?4?n 1, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 两式相减,得 1 1 1 1 + 1 1 + 3 1 S = +3?? ?2+? ?3+?+?4?n?-(3n-2)×?4?n 1= -(3n+2)×?4?n 1, ? ?? ? ? ? ? 4 n 4 ??4? ?4? 2 2 3n+2 ?1?n ∴Sn= - ×?4? (n∈N*). 3 3

34


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