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高二数列练习题


第 1 讲 数列的概念与简单表示法

基础梳理 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类 分类原则 按项数分类 无穷数列 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 递减数列 常数列 有界数列 按其他标准 分类 摆动数列 an 的符号正负相间,如 1,- 1,1,-1,? 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的函数关系可以用一个式子 an=f(n)来表示, 那么这个公式 叫做这个数列的通项公式. 5.Sn 与 an 的关系 ?S1,n=1, ?an≥an-1, 已知 Sn,则 an=? 在数列{an}中,若 an 最大,则? 若 an 最小,则 ?Sn-Sn-1,n≥2. ?an≥an+1. 项数无限 an+1>an an+1<an an+1=an 存在正数 M,使|an|≤M 其中 n∈N+ 类型 有穷数列 满足条件 项数有限

1

?an≤an-1, ? ?an≤an+1.

一个联系 数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依 次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数 方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性. 两个区别 (1)若组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的两个数列,这有别于集合 中元素的无序性. (2)数列中的数可以重复出现,而集合中的元素不能重复出现. 三种方法 由递推式求通项 an 的方法: (1)an+1-an=f(n)型,采用叠加法; an+1 (2) a =f(n)型,采用叠乘法; n (3)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)型,采用待定系数法转化为等比数列解决. 双基自测 1.已知数列{an}的前 4 项分别为 2,0,2,0,则下列各式不可以作为数列{an}的通项公式的一项 是( ). A.an=1+(-1)n+1 C.an=1-cos nπ 解析 根据数列的前 4 项验证. 答案 B 2.在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1,则 a5 的值为( ). A.30 B.31 C.32 D.33 nπ B.an=2sin 2 ?2,n为奇数 D.an=? ?0,n为偶数

解析 a5=2a4+1=2(2a3+1)+1=22a3+2+1=23a2+22+2+1=24a1+23+22+2+1=31. 答案 B 3.已知 an+1-an-3=0,则数列{an}是( ).
2

A.递增数列 C.常数列

B.递减数列 D.不确定

解析 ∵an+1-an-3=0,∴an+1-an=3>0,∴an+1>an. 故数列{an}为递增数列. 答案 A 4.设数列{an}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8 的值为( ). A.15 B.16 C.49 D.64

解析 由于 Sn=n2,∴a1=S1=1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,又 a1=1 适合上式. ∴an=2n-1,∴a8=2×8-1=15. 答案 A 5.数列 1,1,2,3,5,8,13,x,34,55,?中 x 的值为________. 解析 观察数列中项的规律,易看出数列从第三项开始每一项都是其前两项的和. 答案 21 考向一 由数列的前几项求数列的通项 【例 1】?写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,?; 1 3 7 15 31 (2)2,4,8,16,32,?; 3 1 3 1 3 (3)-1,2,-3,4,-5,6,?; (4)3,33,333,3 333,?. [审题视点] 先观察各项的特点,然后归纳出其通项公式,要注意项与项之间的关系,项与前 后项之间的关系. 解 (1)各项减去 1 后为正偶数,所以 an=2n+1. 2n-1 (2)每一项的分子比分母少 1,而分母组成数列 2 2 2 ,2 ,?,所以 an= 2n .
1, 2, 3 4

(3)奇数项为负,偶数项为正,故通项公式中含因子(-1)n ;各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,?;而各项绝对值的分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1, 2+?-1?n 偶数项为 2+1,所以 an=(-1)n· n .
3

?-1,n为正奇数, ? n 也可写为 an=? 3 ?n,n为正偶数. ?
9 99 999 9 999 (4)将数列各项改写为:3, 3 , 3 , 3 ,?, 1 分母都是 3,而分子分别是 10-1,102-1,103-1,104-1,?,所以 an=3(10n-1). 根据数列的前几项求通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征:(1) 分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征:把数列的项分成变化的 部分和不变的部分;(4)各项符号特征.若关系不明显时,应将部分项作适当的变形,统一成 相同的形式,让规律凸现出来. 【训练 1】 已知数列{an}的前四项分别为 1,0,1,0,给出下列各式: ?1?n为正偶数? 1-?-1?n 1+?-1?n 1-cos nπ nπ ①an= ;②an= ;③an=sin2 2 ;④an= ;⑤an=? ; 2 2 2 ?0?n为正奇数? 1+?-1?n+1 ⑥an= +(n-1)(n-2).其中可以作为数列{an}的通项公式的有________(填序号). 2 答案 ①③④ 考向二 由 an 与 Sn 的关系求通项 an 【例 2】?已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n-1,则它的通项公式为 an=________. [审题视点] 利用 an=Sn-Sn-1(n≥2)求解. 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2·n-1;当 n=1 时,a1=S1=2 也满足 an 3 =2·n-1. 3 故数列{an}的通项公式为 an=2·n-1. 3 答案 2·n-1 3 ?S1,n=1, 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=? 当 n=1 时,a1 若适 ?Sn-Sn-1, n≥2. 合 Sn-Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不适合 Sn-Sn-1,则 用分段函数的形式表示. 【训练 2】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n2-2n+1,则其通项公式为________. 解析 当 n=1 时,a1=S1=3×12-2×1+1=2; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,显然当 n=1 时,不
4

满足上式. ?2,n=1, 故数列的通项公式为 an=? ?6n-5,n≥2. ?2,n=1 答案 an=? ?6n-5,n≥2 考向三 由数列的递推公式求通项 【例 3】?根据下列条件,确定数列{an}的通项公式. (1)a1=1,an+1=3an+2; n-1 (2)a1=1,an= n an-1(n≥2); (3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an. [审题视点] (1)可用构造等比数列法求解. (2)可转化后利用累乘法求解. (3)可利用累加法求解. 解 (1)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1), ∴ an+1+1 =3,∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, an+1

又 a1+1=2,∴an+1=2·n-1,∴an=2·n-1-1. 3 3 n-1 n-2 1 (2)∵an = n an - 1(n≥2),∴an - 1 = an - 2 ,?,a2 = 2 a1.以上(n-1)个式子相乘得 an = n-1 1 2 n-1 a1 1 a1··· n = n =n. 2 3 ?· (3)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2), n?3n+1? 1 ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1= (n≥2). n=1 时, 1=2×(3×1 当 a 2 3 n +1)=2 符合公式,∴an=2n2+2. 已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常用累加、累乘、构造法求解.当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an=xan-1+y 时,构造等比数列;当出现 an=an-1+ an f(n)时,用累加法求解;当出现 =f(n)时,用累乘法求解. an-1 【训练 3】 根据下列各个数列{an}的首项和基本关系式,求其通项公式. (1)a1=1,an=an-1+3n-1(n≥2); 1? ? (2)a1=2,an+1=an+ln?1+n?. ? ?
5

解 (1)∵an=an-1+3n-1(n≥2),∴an-1=an-2+3n-2, an-2=an-3+3n-3, ? a2=a1+31, 以上(n-1)个式子相加得 an=a1+3 +3 +?+3
1 2 n-1

=1+3+3 +?+3

2

n-1

3n-1 = 2 .

1? ? (2)∵an+1=an+ln?1+n?, ? ? n+1 1? ? ∴an+1-an=ln?1+n?=ln n , ? ? n-1 n ∴an-an-1=ln ,an-1-an-2=ln , n-1 n-2 ? 2 a2-a1=ln1, 以上(n-1)个式相加得, n-1 n 2 ∴an-a1=ln +ln +?+ln1=ln n.又 a1=2, n-1 n-2 ∴an=ln n+2. 考向四 数列性质的应用 ?10? 【例 4】 ?已知数列{an}的通项 an=(n+1)?11?n(n∈N+), 试问该数列{an}有没有最大项?若有, ? ? 求最大项的项数;若没有,说明理由. [审题视点] 作差:an+1-an,再分情况讨论. ?10? ?10? ?10? 9-n 解 ∵an+1-an=(n+2)?11?n+1-(n+1)?11?n=?11?n 11 . ? ? ? ? ? ? 当 n<9 时,an+1-an>0,即 an+1>an; 当 n=9 时,an+1-an=0,即 an+1=an; 当 n>9 时,an+1-an<0,即 an+1<an; 故 a1<a2<a3<?<a9=a10>a11>a12>?,所以数列中有最大项为第 9,10 项. (1)数列可以看作是一类特殊的函数, 因此要用函数的知识, 函数的思想方法来解决. (2)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助
6

数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差法,②作商法,③结合函数图象等方法. 【训练 4】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+24n(n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)当 n 为何值时,Sn 达到最大?最大值是多少? 解 (1)n=1 时,a1=S1=23. n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n2+24n+(n-1)2-24(n-1)=-2n+25.经验证,a1=23 符合 an= -2n+25, ∴an=-2n+25(n∈N*). (2)法一 ∵Sn=-n2+24n,∴n=12 时,Sn 最大且 Sn=144. 法二 ∵an=-2n+25, 25 ∴an=-2n+25>0,有 n< 2 .∴a12>0,a13<0, 故 S12 最大,最大值为 144.

难点突破 13——数列中最值问题的求解 从近几年新课标高考可以看出,对求数列中的最大项是高考的热点,一般难度较大.解决这 类问题时,要利用函数的单调性研究数列的最值,但要注意数列的单调性与函数的单调性有 所不同,其自变量的取值是不连续的,只能取正整数,所以在求数列中的最大(小)项时,应 注意数列中的项可以是相同的,故不应漏掉等号. an 【示例 1】?已知数列{an}满足 a1=33,an+1-an=2n,则 n 的最小值为________.

7

? ?2? ? 【示例 2】?若数列?n?n+4??3?n?中的最大项是第 k 项,则 k=________. ? ?? ?

第二讲、等差数列 练习题(一)
1.已知 为等差数列, ,则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【 解 析 】 ∵ a1 ? a 3? a ? 105 即 3a3 ? 105 ∴ a3 ? 35 同 理 可 得 a4 ? 33 ∴ 公 差 d ? a4 ? a3 ? ?2 ∴ 5 a20 ? a4 ? (20 ? 4) ? d ? 1 .选 B。 【答案】B 2.设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S 7 等于( A.13 【解析】 S7 ? B.35 C.49 ) D. 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2 ?a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 或由 ? , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ?a6 ? a1 ? 5d ? 11 ?d ? 2 7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) 所以 S7 ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
A.1 B

5 3

C.- 2
8

D 3

【答案】 :C

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2 4.已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d=
[解析]∵ S3 ? 6 ? A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=-

1 2
) D.15 )

【答案】B 5.若等差数列 {an } 的前 5 项和 S5 ? 25 ,且 a2 ? 3 ,则 a7 ? ( A.12 答案 B B.13 C.14

6.在等差数列 ?an ? 中, a2 ? a8 ? 4 ,则 其前 9 项的和 S9 等于 (

A.18 B 27 C 36 D 9 答案 A 7.已知 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前 10 项和 S10 等于( A.64 答案 B B.100 C.110 D.120



8.记等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ?

1 , S 4 ? 20 ,则 S 6 ? ( ) 2
D.48 )

A.16 B.24 C.36 答案 D 9.等差数列 ?a n ?的前 n 项和为 S x 若 a 2 ? 1, a3 ? 3, 则S 4=(

A.12 B.10 C.8 D.6 答案 B 10.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S6 ? 36 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.63 B.45 C.36 D.27 答案 B 11.已知等差数列 {a n } 中, a7 ? a9 ? 16, a 4 ? 1, 则a12 的值是 ( A.15 答案 A B.30 C.31



) D.64 .

12.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S12 ? 21 ,则 a2 ? a5 ? a8 ? a11 ? 答案 7 二、填空题 答案 24 解析

13. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S9 ? 72 ,则 a2 ? a4 ? a9 =

??an ? 是等差数列,由 S9 ? 72 ,得? S9 ? 9a5 , a5 ? 8

? a2 ? a4 ? a9 ? (a2 ? a9 ) ? a4 ? (a5 ? a6 ) ? a4 ? 3a5 ? 24 . S 14.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则 9 ? S5 S 9a 解析 ??an ? 为等差数列,? 9 ? 5 ? 9 答案 9 S5 5a3
1 解析 ∵Sn=na1+ n(n-1)d 2

15.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 6S5 ? 5S3 ? 5, 则 a4 ? ∴S5=5a1+10d,S3=3a1+3d
9

∴6S5-5S3=30a1+60d-(15a1+15d)=15a1+45d=15(a1+3d)=15a4 答案

1 3

已知等差数列 {an } 的公差是正整数,且 a 3 ?a7 ? ?12, a 4 ? a6 ? ?4 ,则前 10 项的和 S 10 = 16. 答案:-10 三、解答题 17.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 0.8 , a11 ? 2.2 ,求 a51 ? a52 ? ? ? a80 . 解答、 a n ? 0.2n , a51 ? a52 ? ? ? a80 ? 393

18、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 12 , S12 > 0 , S13 < 0 , ①求公差 d 的取值范围; ② S1 , S2 ,?, S12 中哪一个值最大?并说明理由.

12 ? ? 2a1 ? 11d ? 0 ? S12 ? 2 (a1 ? a12 ) ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 ?a6 ? a7 ? 0 ? ? ①∵ ? ,∴ ? a1 ? 6d ? 0 ?? ?a7 ? 0 ? a ? 2d ? 12 ? S ? 13 (a ? a ) ? 13?a ? 0 13 1 13 7 ? 1 ? ? 2 ? a6 ? a7 ? 0 ? a6 ? 0 24 24 ?? 解得, ? ,又∵ ? ? d ? ?3 ,②由 ? ? d ? ?3 ∴ ?an ? 是递减数列, 7 7 ? a7 ? 0 ? a7 ? 0 ∴ S1 , S2 ,?, S12 中 S 6 最大.
19、己知 {a n } 为等差数列, a1 ? 2, a2 ? 3 ,若在每相邻两项之间插入三个数,使它和原数列的数构成一 个新的等差数列,求: (1)原数列的第 12 项是新数列的第几项? (2)新数列的第 29 项是原数列的第几项? 解:设新数列为 ?bn ?, 则b1 ? a1 ? 2, b5 ? a2 ? 3, 根据bn ? b1 ? (n ? 1)d , 有b5 ? b1 ? 4d , 即 3=2+4d,∴ d ?

1 ,∴ bn ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 7 4 4 4 (4n ? 3) ? 7 ,∴ a ? b 又 ? an ? a1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 1 ? n 4 n ?3
4

即原数列的第 n 项为新数列的第 4n-3 项. (1)当 n=12 时,4n-3=4× 12-3=45,故原数列的第 12 项为新数列的第 45 项; (2)由 4n-3=29,得 n=8,故新数列的第 29 项是原数列的第 8 项。 20、设等差数列 {a n } 的前n项的和为 S n ,且 S 4 =-62, S 6 =-75,求: (1) {a n } 的通项公式 a n 及前n项的和 S n ; (2)|a 1 |+|a 2 |+|a 3 |+??+|a 14 |. 解:设等差数列首项为 a1,公差为 d,依题意得 ?4a1 ? 6d ? ?62 ? 解得:a1=-20,d=3。 ⑴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 23, S n ? (a1 ? an )n ? n(?20 ? 3n ? 23) ? n2 ? n; 2 2 2 2 ⑵? a1 ? ?20, d ? 3, ??an ?的项随着n的增大而增大
?6a1 ? 15 d ? ?75

3

43

设ak ? 0且ak ?1 ? 0, 得3k ? 23 ? 0, 且3(k ? 1) ? 23 ? 0,?

| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ?? | a14 |? ?(a1 ? a2 ? ? ? a7 ) ? (a8 ? a9 ? ? ? a14 )
? S14 ? 2S7 ? 147 .
10

20 23 ? k ? (k ? Z ), k ? 7, 即第7项之前均为负数 3 3



21、某渔业公司年初用 98 万元购买一艘捕鱼船,第一年各种费用 12 万元,以后每年都增加 4 万元,每年 捕鱼收益 50 万元, (Ⅰ)问第几年开始获利? (Ⅱ)若干年后,有两种处理方案: (1)年平均获利最大时,以 26 万元出售该渔船; (2)总纯收入获利最大时,以 8 万元出售该渔船.问哪种方案合算. 解: (Ⅰ)由题设知每年费用是以 12 为首项,4 为公差的等差数列, 设纯收入与年数的关系为 f(n) ∴ f (n) ? 50 n ? ?12 ? 16 ? ? ? (8 ? 4n)? ? 98 ? 40n ? 2n 2 ? 98 获利即为 f(n)>0 ∴ 40 n ? 2n ? 98 ? 0,即n ? 20 n ? 49 ? 0
2 2

解之得: 10 ? 51 ? n ? 10 ? 51即2.2 ? n ? 17.1 ∴当 n=3 时即第 3 年开始获利

又 n∈N,∴n=3,4,?,17

(Ⅱ) (1)年平均收入= f (n) ? 40 ? 2(n ? 49 ) ∵ n ? 49 ≥ 2 n ? 49 ? 14 ,当且仅当 n=7 时取“=” n n n n

f ( n) ≤40-2×14=12(万元)即年平均收益,总收益为 12×7+26=110 万元,此时 n=7 ; n (2) f (n) ? ?2(n ? 10) 2 ? 102 ∴当 n ? 10, f (n) max ? 102
∴ 总收益为 102+8=110 万元,此时 n=10 比较两种方案,总收益均为 110 万元,但第一种方案需 7 年,第二种方案需 10 年,故选择第一种。 22.已知等差数列{ a n }中, a3 a7 ? ?16, a 4 ? a6 ? 0, 求{ a n }前 n 项和 s n . 解:设 ? an ? 的公差为 d ,则

?? a1 ? 2d ?? a1 ? 6d ? ? ?16 ? ? ? a1 ? 3d ? a1 ? 5d ? 0 ?

? a12 ? 8da1 ? 12d 2 ? ?16 即? ? a1 ? ?4d ? a1 ? ?8, ? a1 ? 8 或? 解得 ? ? d ? 2, ? d ? ?2 因此 Sn ? ?8n ? n ? n ? 1? ? n ? n ? 9 ?,或S n ? 8n ? n ? n ? 1? ? ?n ? n ? 9 ?

练习题(二)
一、选择题 1.在等差数列{an}中,a1+a9=10,则 a5 的值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 A 解析 依题意得 a1+a9=2a5=10,a5=5,选 A. 3π π 2.在等差数列{an}中,a2+a6= ,则 sin(2a4- )=( ) 2 3 3 1 A. B. 2 2 3 1 C.- D.- 2 2 答案 D 3π 3π π 3π π π 1 解析 ∵a2+a6= ,∴2a4= ,∴sin(2a4- )=sin( - )=-cos =- ,选 D. 2 2 3 2 3 3 2 3.(2011· 合肥质检)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a4=9,S3=15,则数列{an}的通项 an=( A.2n-3 B.2n-1
11

)

C.2n+1 D.2n+3 答案 C
?a1+3d=9 ?a1=3 ? ? 解析 由{a4=9?S3=15 ?? ?? ,所以通项 an=2n+1. ? ? ?3a1+3d=15 ?d=2 4.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 am-1+am+1-2a2 =0,S2m-1=39,则 m=( ) m A.38 B.39 C.20 D.19 答案 C 解析 ∵am-1+am+1=2a2 m 又∵am-1+am+1=2am ∴am=1 或 0(舍去) ?2m-1??a1+a2m-1? ∵S2m-1= =(2m-1)am 2 ∴(2m-1)am=39,∴2m-1=39 ∴m=20. 5.设{an}是公差为正数的等差数列,若 a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,则 a11+a12+a13=( A.120 B.105 C.90 D.75 答案 B 解析 设公差为 d 且 d>0. ?a1+a2+a3=15 ? 由已知? , ? ?a1a2a3=80 ? ?a1+d=5 得? . ?a1?a1+d??a1+2d?=80 ? 解得 a1=2,d=3(∵d>0). ∴a11+a12+a13=3a12=3(a1+11d)=105

)

Sn 7n a5 6.若两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn,Tn,已知 = ,则 等于( Tn n+3 b5 2 A.7 B. 3 27 21 C. D. 8 4 答案 D 9 ?a +a9? a1+a9 2 1 a5 2a5 S9 21 解析 = = = = = . b5 2b5 b1+b9 9 T9 4 ?b +b9? 2 1 7.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=6,a3=4,则公差 d 等于( ) 5 A.1 B. 3 C.2 D.3 答案 C ?3?a1+4?=6 ? 解析 由? 2 ,解得 d=2.

)

? ?a1+2d=4

二、填空题 8. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, a4=15,5=55, 且 S 则过点 P(3,3)、 a Q(4,4)的直线的斜率是________. a ?a4=a1+3d=15 ?a1=3 ? ? a4-a3 解析 设数列{an}的公差为 d,则依题意,得? ?? ,故直线 PQ 的斜率为 = 4-3 ? ? ?S5=5a1+10d=55 ?d=4
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d =4. 1 1 9.已知数列{an}中,a3=2,a5=1,若{ }是等差数列,则 a11=________. 1+an 答案 0 n+1 n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析 记 bn= , b3= , 5= , 则 b 数列{bn}的公差为 ×( - )= , 1= , n= b ∴b , 即 = , 3 2 2 2 3 12 6 12 1+an 1+an 12 11-n ∴an= ,故 a11=0. n+1 S2009 S2007 10.等差数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,a1=-2010, - =2,则 S2010 的值为________. 2009 2007 答案 -2010 n na1+ ?n-1?d 2 Sn d S2009 S2007 d 解析 在等差数列{an}中,设公差为 d,则 = =a1+ (n-1),∴ - =a1+ ×2008 n n 2 2009 2007 2 2010×2009 d -a1- ×2006=d=2,∴S2010=-2010×2010+ ×2=-2010×2010+2010×2009=-2010. 2 2 1 11. 方程(x2-x+m)(x2-x+n)=0 有四个不等实根, 且组成一个公差为 的等差数列, mn 的值为________. 则 2 15 答案 - 256 解析 设四个根组成的等差数列为 x1,x2,x3,x4,根据等差数列的性质,则有 x1+x4=x2+x3=1 1 1 ∴2x1+3d=1,又 d= ,∴x1=- 2 4 1 3 5 ∴x2= ,x3= ,x4= 4 4 4 15 ∴mn=(x1x4)(x2x3)=- 256 12.在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列, 第1列 第2列 第3列 ? 1 2 3 第1行 ? 2 4 6 第2行 ? 3 6 9 第3行 ? ? ? ? ? ? 那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数是________. 答案 n2+n 解析 第 n 行的第一个数是 n,第 n 行的数构成以 n 为公差的等差数列,则其第 n+1 项为 n+n· 2+n. n=n 13. (2010· 苏北四市调研)已知数列{an}共有 m 项, 记{an}的所有项和为 S(1), 第二项及以后所有项和为 S(2), 第三项及以后所有项和为 S(3),?,第 n 项及以后所有项和为 S(n),若 S(n)是首项为 1,公差为 2 的等差 数列的前 n 项和,则当 n<m 时,an=________. 答案 -2n-1 n?n-1? 解析 由题意得 S(n)=an+?+am=n×1+ ×2=n2,当 n<m 时,S(n+1)=an+1+?+am=(n+1)2. 2 故 an=S(n)-S(n+1)=n2-(n+1)2=-2n-1. 三、解答题 14.在编号为 1~9 的九个盒子中,共放有 351 粒米,已知每个盒子都比前一号盒子多放同样粒数的米. (1)如果 1 号盒子内放了 11 粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几粒米? (2)如果 3 号盒子内放了 23 粒米,那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几米粒? 答案 (1)7 (2)8 解析 1~9 号的九个盒子中米的粒数依次组成等差数列{an} (1)a1=11,S9=351,求得:d=7 (2)a3=23,S9=351,求得:d=8
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15.(2010· 浙江卷,文)设 a1,d 为实数,首项为 a1,公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 S5S6 +15=0. (1)若 S5=5,求 S6 及 a1; (2)求 d 的取值范围. 15 解析 (1)由题意知 S6=- =-3,a6=S6-S5=-8, S5 ?5a1+10d=5, ? 所以? 解得 a1=7,所以 S6=-3,a1=7. ? ?a1+5d=-8. (2)因为 S5S6+15=0, 所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0, 即 2a2+9da1+10d2+1=0, 1 故(4a1+9d)2=d2-8,所以 d2≥8. 故 d 的取值范围为 d≤-2 2或 d≥2 2. 16.设等差数列{an}的首项 a1 及公差 d 都为整数,前 n 项和为 Sn. (1)若 a11=0,S14=98,求数列{an}的通项公式; (2)若 a1≥6,a11>0,S14≤77,求所有可能的数列{an}的通项公式. 答案 (1)an=22-2n (2)an=12-n 和 an=13-n 解 (1)由 S14=98 得 2a1+13d=14, 又 a11=a1+10d=0,故解得 d=-2,a1=20. 因此{an}的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3,?.

?2a1+13d≤11 ?S14≤77 ? ? (2)由?a11>0 ,得?a1+10d>0 ?a1≥6 ?a ≥6 ? ? 1

① ?2a1+13d≤11 ? ,即?-2a1-20d<0, ② ?-2a ≤-12 ③ ? 1

11 由①+②得-7d<11,即 d>- . 7 由①+③得 13d≤-1, 1 11 1 即 d≤- .于是- <d≤- . 13 7 13 又 d∈Z,故 d=-1.④ 将④代入①②得 10<a1≤12. 又 a1∈Z,故 a1=11 或 a1=12. 所以所有可能的数列{an}的通项公式是 an=12-n 和 an=13-n,n=1,2,3,?.

1.在数列{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),则该数列中相邻两项的乘积是负数的是( ) A.a21· a22 B.a22· a23 C.a23· a24 D.a24· a25 答案 C 2 2 解析 由 3an+1=3an-2 ,得 an+1=an- ,即数列{an}是以 a1=15 为首项,- 为公差的等差数列, 3 3 47-2n 2 所以 an=15- (n-1)= ,可得 a23>0,a24<0,即得 a23· a24<0,故选 C. 3 3 2.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则 a20 等于( ) A.-1 B.1 C.3 D.7 答案 B 解析 两式相减,可得 3d=-6,d=-2.由已知可得