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人教版高中数学必修①教案


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45分钟作业与单元评估

二合一

第一章 集合与函数概念

第一章

集合与函数概念

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1.3
1.3.1

函数的基本性质
单调性与最大(小)值

第一章

集合与函数概念

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第13课时

函数的最大(小)值

基 础 巩 固

能 力 提 升

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限时:45 分钟

总分:90 分

基础训练 课标导航

第一章

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1.理解函数的最大?小?值及其几何意义; 2.能利用函数的单调性求函数的最值; 3.能利用函数的单调性比较函数值的大小; 4.掌握二次函数在闭区间上最值的求法.

第一章

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基础训练 基础巩固

第一章

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一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.函数 f(x)(-2≤x≤2)的图象如下图所示,则函数的最大值, 最小值分别为( )

A.f(2),f(-2)
?1? ? 3? ? ? ? - C.f?2?,f? ? 2? ? ? ? ?

?1? ? B.f? ?2?,f(-1) ? ? ?1? ? D.f? ?2?,f(0) ? ?

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)

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2.函数 y=x2-4x+6,x∈[1,5)的值域为( A.[2,+∞) C.[2,11) B.(-∞,2] D.[2,11] )

1 3.函数 y= 在[2,3]上的最小值为( x-1 A.2 1 C. 3 1 B. 2 1 D.- 2

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4.若函数 f(x)=|x+2|在[-4,0]上的最大值为 M,最小值为 m, 则 M+m=( A.1 C.3 实数 a 的值是( A.2 C.2 或-2 ) B.-2 D.0 ) B.2 D.4

5.若函数 y=ax+1 在[1,2]上的最大值与最小值的差为 2,则

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6.已知函数 f(x)=x2+2ax+1(a>0),则 f(x)在[-5,5]上的最大 值为( ) B.26+10a D.不存在 A.1-a2 C.26-10a

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二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.函数 y=f(x)的定义域为[-4,6],若函数 f(x)在区间[-4,- 2]上单调递减,在区间(-2,6]上单调递增,且 f(-4)<f(6),则函数 f(x)的最小值是________,最大值是________. 8 . 函 数 y = -x2+x+2 的 最 大 值 为 ________ , 最 小 值 为 ________. 9.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万 元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2=2x, 其中 x 为销售量(单位: 辆). 若 该公司在两地共销售 15 辆,则能获得的最大利润为________.

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三、解答题(本大题共 2 小题,共 25 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) x 10.(12 分)求函数 f(x)= 在区间[2,5]上的最大值与最小值. x-1

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答案

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3 1.C 根据函数最值定义,结合函数图象可知,当 x=- 2 3 1 1 时,有最小值 f(- );当 x= 时,有最大值 f( ). 2 2 2 2.C y=(x-2)2+2.当 x=2 时,ymin=2,当 x=5 时,ymax =11,所以函数的值域为[2,11). 3.B 1 因为 y= 在[2,3]上递减, x-1

1 1 所以 ymin= = .选 B. 3-1 2
第一章 1.3 1.3.1 第13课时
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? ?x+2,-2≤x≤0 f(x)=|x+2|=? ? ?-x-2,-4≤x<-2

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4.B 作出函数

的图

象如图所示, 由图象可知 M=f(x)max=f(0)=f(-4)=2, m=f(x)min =f(-2)=0,所以 M+m=2.故选 B.

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1.3 1.3.1 第13课时

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5.C

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依题意,当 a>0 时,2a+1-(a+1)=2,即 a=2;

当 a<0 时,a+1-(2a+1)=2,即 a=-2.故选 C. 6.B ∵函数 f(x)=x2+2ax+1 开口向上,对称轴为 x=- a<0,∴当 x=5 时,f(x)有最大值,f(5)=26+10a,故选 B. 7.f(-2) f(6) 解析: 作出符合条件的函数的简图(图略), 可知 f(x)min=f(- 2),f(x)max=f(6).

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3 8. 0 2

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12 9 解析:令 u=-x +x+2,则 u≥0,且 u=-(x- ) + .所 2 4
2

1 9 3 以当 x= 时,umax= ,即 ymax= .又因为 u≥0,所以 ymin=0. 2 4 2 9.120 万元 解析:设公司在甲地销售 x 辆(0≤x≤15,x 为正整数),则 在乙地销售(15-x)辆, ∴公司获得利润 L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30. ∴当 x=9 或 10 时,L 最大为 120 万元.
第一章 1.3 1.3.1 第13课时
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10.解:任取 2≤x1<x2≤5, x1 x2 x2 x1 则 f(x1)= ,f(x2)= ,f(x2)-f(x1)= - = x1-1 x2-1 x2-1 x1-1 x1-x2 . ?x2-1??x1-1? 因为 2≤x1<x2≤5, 所以 x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0. 所以 f(x2)-f(x1)<0. 所以 f(x2)<f(x1).

第一章

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x 所以 f(x)= 在区间[2,5]上是单调减函数. x-1 2 5 5 所以 f(x)max=f(2)= =2,f(x)min=f(5)= = . 2-1 5-1 4

第一章

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11.(13 分)已知 f(x)=3x2-12x+5,当 f(x)的定义域为[0, a]时,求函数 f(x)的最大值和最小值.

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基础训练 能力提升

第一章

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12.(5 分)当 0≤x≤2 时,a<-x2+2x 恒成立,则实数 a 的 取值范围是( ) B.(-∞,0] A.(-∞,1]

C.(-∞,0) D.(0,+∞) x2+2x+a 13.(15 分)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的 取值范围.

第一章

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答案

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11.解:由于 f(x)的对称轴是 x=2,因此要确定 f(x)在[0,a] 上的单调性,就需要确定对称轴是否落在该区间上,这就需要 对 a 进行讨论: (1)当 0<a≤2 时,f(x)在[0,a]上单调递减,∴f(x)min=f(a) =3a2-12a+5, f(x)max=f(0)=5.

第一章

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(2)当 a>2 时,f(x)在[0,2]上递减,在[2,a]上递增,因此其 最大值为 f(0)和 f(a)中的较大者,而 f(a)-f(0)=3a2-12a. ∴①当 2<a≤4 时,f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-7. ②当 a>4 时,f(x)max=f(a)=3a2-12a+5,f(x)min=f(2)=- 7. 12. C 记 f(x)=-x2+2x,0≤x≤2, 则 a<f(x)min, x∈[0,2]. 而 f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1,当 x∈[0,2]时,f(x)min=f(0)=f(2) =0.故选 C.

第一章

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1 13.解:(1)当 a= 时, 2 1 2 x +2x+ 2 1 f(x)= =x+ +2. x 2x 任取 x1, x2∈[1, +∞), 且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=(x1-x2)· (1 - 1 )<0. 2x1x2 所以 f(x1)<f(x2),即函数 f(x)在[1,+∞)上单调递增. 1 7 所以函数 f(x)在[1,+∞)上的最小值为 f(1)=1+ +2= . 2 2

第一章

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x2+2x+a (2)依题意 f(x)= >0 在[1,+∞)上恒成立,即 x2 x +2x+a>0 在[1,+∞)上恒成立. 记 y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),由 y=(x+1)2+a-1 在[1, +∞)上单调递增知,当 x=1 时,y 取得最小值 3+a. 所以当 3+a>0,即 a>-3 时,f(x)>0 恒成立. 于是实数 a 的取值范围为(-3,+∞).

第一章

1.3 1.3.1 第13课时

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