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(广东专用)2014高考数学第一轮复习用书 备考学案 第46课 数列求和(1)课件 文


考纲要求
1.熟练掌握分组转化法和裂项相消法求和. 2. 掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.

基础自测
1. (2012 太原质检)已知 {an } 是等差数列, a1 ? a5 ? 20 , a9 ? 16 , 则该数列前 10 项和 S9 ? ( A. 84 B. 96 ) C. 108 D. 120

【答案】C 【解析】∵ a1 ? a5 ? 20 , a9 ? 16 ,∴ 3a5 ? 36 , ∴ a5 ? 12 ,故 S9 ? 9a5 ? 108 .

2. (2012 江门一模)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 3n ,若它的第 k 项满足 2 ? ak ? 5 ,则 k ? ( A. 2
【答案】C 【解析】 ak ? Sk ? Sk ?1 ? 2k ? 4 , 由 2 ? 2k ? 4 ? 5 ,解得 3 ? k ?
* ∵ k ? N ,∴ k ? 4 .

) C. 4 D. 5

B. 3

9 , 2

3.等比数列 {an } 中,若 S6 ? 91 , S2 ? 7 ,则 S4 为( A. 28
【答案】C 【解析】∵ S2 , S4 ? S2 , S6 ? S4 成等比数列, ∴ (S4 ? S2 )2 ? S2 ? (S6 ? S4 ) , ∴ (S4 ? 7)2 ? 7(91 ? S4 ) ,∴ S4 ? 28 .



B. 32

C. 35

D. 49

2 4.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , n ? , n 项和为 Sn , Sn ?( 前 则 a n(n ? 1) n 2n n?2 2n A. B. C. D. n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1
【答案】B



2 1 1 【解析】∵ an ? ? 2( ? ), n(n ? 1) n n ?1 则 Sn ? a1 ? a2 ? a3 +…+ an 1 1 1 1 1 ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) +…+ ( ? )] 2 2 3 n n ?1 1 2n ? 2(1 ? )? . n ?1 n ?1

典例剖析
1.分组转化法求和

若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的 数列组成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.

【例 1】求和: Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? … ?(?1)n?1 n .

【解析】当 n 为偶数时,

Sn ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? [(n ? 1) ? n] ? ?
当 n 为奇数时,

n , 2

Sn ? 1 ? (?2 ? 3) ? (?4 ? 5) ?? ?[(n ? 1) ? n]
n ?1 n ?1 ? 1? ? . 2 2

? n ?? 2 ,???n为偶数, ? ∴ Sn ? ? . ? n ? 1 ,??n为奇数. ? 2 ?

1 1 1 1 1 , 2 , 3 , 4 ,…,的前 n 项和. 【变式 1】求数列 4 8 2 16
1 1 1 1 【解析】 Sn ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? ( ? ? ? ? ? n ) 2 4 8 2 1 1 [1 ? ( ) n ] n(n ? 1) 2 2 ? ? 1 2 1? 2 1 2 1 ? (n ? n ? 2) ? n . 2 2

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ??? ? n?1 ) . 【变式 2】求和: S n ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? … 2 4 2 2 2 4 1 n 1? ( ) 1 1 1 2 ? 2(1 ? 1 ) . 【解析】设 an ? 1 ? ? ? ??? ? n ?1 ? 1 2 4 2 2n 1? 2 1 1 1 1 ∴ Sn ? 2[(1 ? ) ? (1 ? 2 ) ? (1 ? 3 ) ? ? ? (1 ? n )] 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 2(1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1) ? (1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? n?1 ) 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 2 ? 2n ? 2 ? 1 . ? 2n ? 1 2n ?1 1? 2

2.裂项相消法求和
通项分解(裂项)常见的如下:

1 1 1 . ? ? n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 ② ? ( ? ). n( n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 ? ( ? ). ③ 2 n ?1 2 n ?1 n ?1 1 1 1 1 ? ( ? ). ④ 2 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 n ?1 2n ? (n ? 1) 1 1 ? ? ? ⑤ . n n n ?1 n n(n ? 1) ? 2 n(n ? 1) ? 2 (n ? 1) ? 2 n?2 1 ? n ?1 ? n . ⑥ n ? n ?1


【例 2】 (2012 惠州一模)已知函数 f ( x) ?

x ,数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 3x ? 1

an?1 ? f (an )(n ? N * ) .
?1? (1)证明数列 ? ? 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式; ? an ?
(2)记 Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? … ?an an?1 ,求 Sn .

an 1 1 【解析】 (1)由已知得 an ?1 ? ,即 ? ?3, 3an ? 1 an?1 an
?1? ∴数列 ? ? 是首项为 1,公差 3 的等差数列. ? an ?


1 ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 , an

1 * ∴ an ? , n? N . 3n ? 2

(2) ∵ an an ?1 ?

1 1 1 1 ? ( ? ), (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

∴ Sn ? a1a2 ? a2 a3 ? … ?an an?1

?

1 1 1 ? ?…? 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1)

1? 1 1 1 1 1 ? ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? 3? 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 ?
1 1 n ? (1 ? )? . 3 3n ? 1 3n ? 1

【变式 1】 (2012 全国高考)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 ,

? 1 ? S5 ? 15 ,则数列 ? ? 的前 100 项和为( ? an an ?1 ?
A.



100 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

【答案】A 【解析】由 a5 ? 5 , S5 ? 15 ,得 a1 ? 1, d ? 1 ,

1 1 1 1 ∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? n ,∴ , ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) ∴ ? ?? ? 1 2 2 3 100 101 a1a2 a2 a3 a100 a101 1 100 ? 1? ? . 101 101

【变式 2】求数列
【解析】设 a n ?

1 1 1 , ,…, ,…的前 n 项和. 1? 2 2? 3 n ? n ?1
1 n ? n ?1 1 1? 2 ? ? n ?1 ? n , 1 2? 3 1 n ? n ?1

则 Sn ?

? ??? ?

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 .


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