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必做的立体几何综合题


一轮复习必做的立体几何综合题
1、 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, 侧 棱 PA ? 底 面 A B C D AB ? 3 , BC ? 1 , , PA ? 2 , E 为 PD 的中点。 (Ⅰ)求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值; (Ⅱ) 在侧面 PAB 内找一点 N , NE ? 面 PAC , 使 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离。 解: (Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A, B, C, D, P, E 的坐标为 A(0,0,0) 、

B ( 3, 0, 0) 、 C ( 3,1, 0) 、 D(0,1,0) 、 1 P(0,0, 2) 、 E (0, ,1) , 2 从而 AC ? ( 3 ,1,0), PB ? ( 3 ,0,?2).
设 AC与PB 的夹角为 ? ,则

cos? ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

3 2 7

?

3 7 , 14

∴ AC 与 PB 所成角的余弦值为

3 7 。 14

(Ⅱ)由于 N 点在侧面 PAB 内,故可设 N 点坐标为 ( x, 0, z ) ,则

1 NE ? (? x, ,1 ? z ) ,由 NE ? 面 PAC 可得, 2
? NE ? AP ? 0, ? ? ? NE ? AC ? 0. ? 1 ? ? z ? 1 ? 0, ?(? x, 2 ,1 ? z ) ? (0,0,2) ? 0, ? ? 即? 化简得? 1 1 ?(? x, ,1 ? z ) ? ( 3 ,1,0) ? 0. ?? 3 x ? 2 ? 0. ? ? 2 ?

? 3 ?x ? ∴? 6 ?z ? 1 ?

3 3 。 ,0,1) ,从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为 1, 6 6 2、如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1 F 所截面而得到的,其中
即 N 点的坐标为 (

AB ? 4, BC ? 2, CC1 ? 3, BE ? 1 。 (Ⅰ)求 BF 的长; (Ⅱ)求点 C 到平面 AEC1 F 的距离。

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解: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) , B(2, 4,0)

A(2, 0, 0), C (0, 4, 0), E (2, 4,1), C1 (0, 4,3) 设 F (0,0, z )
∵ AEC1 F 为平行四边形,

?由AEC1 F为平行四边形, ???? ???? ? ?由AF ? EC1得, (?2, 0, z ) ? (?2, 0, 2), ? z ? 2.? F (0, 0, 2). ??? ? ? EF ? (?2, ?4, 2). ??? ? 于是 | BF |? 2 6, 即BF的长为2 6.
(II)设 n1 为平面 AEC1 F 的法向量,

?? ??? ? ?n1 ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ? 由??? ??? 得? ? n1 ? AF ? 0, ??2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ? ?
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?

显然n1不垂直于平面ADF , 故可设n1 ? ( x, y,1)

又CC1 ? (0,0,3), 设CC1与n1 的夹角为 ? ,则
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . 33

∴ C 到平面 AEC1 F 的距离为

4 33 4 33 ? . 33 11 3、如图,已知正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的底面边长是 2 , D 是侧棱 CC1 的中点,直线 AD d ?| CC1 | cos? ? 3 ?
与侧面 BB1C1C 所成的角为 45 . (Ⅰ)求此正三棱柱的侧棱长; (Ⅱ) 求二面角 A ? BD ? C 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 ABD 的距离. 解: (Ⅰ)设正三棱柱 ABC — A1 B1C1 的侧棱长为 x .取 BC 中点 E ,连 AE .
?

? ?ABC 是正三角形,? AE ? BC .

A

A1

H

B
E

G F C

I

B1 C1

D

又底面 ABC ? 侧面 BB1C1C ,且交线为 BC .

? AE ? 侧面 BB1C1C .
第 2 页 共 5 页

连 ED ,则直线 AD 与侧面 BB1C1C 所成的角为 ?ADE ? 45? . 在 Rt?AED 中, tan 45 ?
?

AE ? ED

3 x2 1? 4

,解得 x ? 2 2 .

?此正三棱柱的侧棱长为 2 2 .
注:也可用向量法求侧棱长. (Ⅱ)解法 1:过 E 作 EF ? BD 于 F ,连 AF , ? AE ? 侧面 BB1C1C , ? AF ? BD .

??AFE 为二面角 A ? BD ? C 的平面角. 在 Rt?BEF 中, EF ? BE sin ?EBF ,又 3 CD 2 3 , ? EF ? . BE ? 1,sin ?EBF ? ? ? 3 BD 3 22 ? ( 2)2
又 AE ? 3,

?在 Rt?AEF 中, tan ?AFE ?

AE ? 3. EF 故二面角 A ? BD ? C 的大小为 arctan 3 .

解法 2: (向量法,见后) (Ⅲ) 解法 1: (Ⅱ) 由 可知,BD ? 平面 AEF ,?平面 AEF ? 平面 ABD , 且交线为 AF , ?过 E 作 EG ? AF 于 G ,则 EG ? 平面 ABD .

AE ? EF ? 在 Rt?AEF 中, EG ? AF

3?

3 3 3 2 ) 3

?

( 3) 2 ? (

30 . 10

2 30 . 10 解法 2: 思路) AB 中点 H , CH 和 DH , C C ( 取 连 由 A ? 易得平面 ABD ? B ,D ? A D B , 平面 CHD ,且交线为 DH .过点 C 作 CI ? DH 于 I ,则 CI 的长为点 C 到平面 ABD 的

? E 为 BC 中点,?点 C 到平面 ABD 的距离为 2 EG ?

距离. 解法 3: (思路)等体积变换:由 VC ? ABD ? VA? BCD 可求. 解法 4: (向量法,见后) 题(Ⅱ)(Ⅲ)的向量解法: 、 (Ⅱ)解法 2:如图,建立空间直角坐标系 o ? xyz . 则 A(0, 0, 3), B(0, ?1, 0), C (0,1, 0), D( ? 2,1, 0) .A 设

z

A1

? n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ABD 的法向量. ? ?n1 ? AB ? 0, B1 ? y ? ? 3z ? ? 由 ?? 得 ? . B ?n2 ? AD ? 0 ? 2 x ? y ? 3z ? 0 ? ? o ?? x C1 取 n1 ? (? 6, ? 3,1). …………6 分 D C ?? ? y …………7 分 又平面 BCD 的一个法向量 n2 ? (0, 0,1). ? ? n1 ? n2 ? ? (? 6 ,? 3,1) ? (0,0,1) 10 . ? ? cos ? n1 , n2 ?? ? ? ? n1 n2 1? (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12 10

第 3 页 共 5 页

10 . 10 ?? ??? ? (Ⅲ)解法 4:由(Ⅱ)解法 2, n1 ? (? 6, ? 3,1), CA ? (0, ?1, 3). ? CA ? n1 2 30 (0,?1, 3 ) ? (? 6 ,? 3,1) = . ? ?点 C 到平面 ABD 的距离 d ? ? 10 n1 (? 6 ) 2 ? (? 3 ) 2 ? 12
结合图形可知,二面角 A ? BD ? C 的大小为 arccos 16. 一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视 图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼?试证明你的结论; (Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面 角的余弦值.

正视图

侧视图

C1
解: (Ⅰ)该几何体的直观图如图 1 所示,它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的 正方形,高为 CC1=6,故所求体积是

俯视图

C D C1 D1 C D 图2 A A1 图1 A

B

1 V ? ? 6 2 ? 6 ? 72 3
(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍, 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体, 其拼法如图 2 所示. 证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的 正方形,于是

B1

VC1 ? ABCD ? VC1 ? ABB1 A1 ? VC1 ? AA1D1D

故所拼图形成立.

B

(Ⅲ)方法一:设 B1E,BC 的延长线交于点 G, 连结 GA,在底面 ABC 内作 BH⊥AG,垂足为 H, 连结 HB1,则 B1H⊥AG,故∠B1HB 为平面 AB1E 与 平面 ABC 所成二面角或其补角的平面角. 在 Rt△ABG 中, AG ? 180 ,则

BH ?

6 ? 12 180

?

12 5

, B1 H ?

BH 2 ? BB1 ?
2

18 5



cos ?B1 HB ?

HB 2 2 ? ,故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ? .HB1 3 3

方法二:以 C 为原点,CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系(如图 3) ,∵正方体棱长为 6,则 E(0,0,3) 1(0,6,6) ,B ,A(6,6,0). 设向量 n=(x,y,z) ,满足 n⊥ EB1 ,n⊥ AB1 ,
第 4 页 共 5 页

z C1 D1 E A1 B1

?x ? z ?6 y ? 3 z ? 0 ? 于是 ? ,解得 ? 1 . ?? 6 x ? 6 z ? 0 ?y ? ? 2 z ?

取 z=2,得 n=(2,-1,2). 又 BB1 ? (0,0,6) cos ? n, BB1 ?? , 故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 ?

n ? BB1 | n || BB1 |

?

12 2 ? 18 3

2 . 3

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