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2015年安徽省“江南十校”高三联考数学(理)试题及答案


2015 年安徽省“江南十校”高三联考



学(理科)试题答案

一、选择题:(本大题共 10 题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 选项 1.答案 A 1 A 解析: z ? 2 C 3 B 4 D 5 A 6 D 7 C 8 B 9 D 10 A

(6 ? ai)(3 ? i) 18 ? a ? (3a ? 6)i ? (3 ? i)(3 ? i) 10

由条件得, 18 ? a ? 3a ? 6 ? a ? 3 . 2.答案 C 解析:命题 p 为真,命题 q 为假. 3.答案 B 解析:A 选项中两直线也可能相交或异面,B 选项中直线与平面也可能相交,D 中选项 也可能相交. 4.答案 D 解析:图像①是关于原点对称的,即所对应函数为奇函数,只有 f ( x ) ;图像②④恒在

x 轴上方,即在 ? ?? , ? ? 上函数值恒大于 0 ,符合的函数有 h( x ) 和 ? ( x ) ,又图像②过定点 ? 0,1? ,
其对应函数只能是 h( x ) ,那图像④对应 ? ( x ) ,图像③对应函数 g ( x ) . 5.答案 A 解析:以顶部抛物线顶点为坐标原点,抛物线的对称轴为 y 轴建立直角坐标系,易得

1 y ? ? x2 3, ? 1 ? ,其方程为 抛物线过点 ? 9 ,那么正(主)视图上部分抛物线与矩形围成的部分面

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? S1 ? ? ? ? x 2 ? 1? dx ? 2 ? ? x 3 ? x ? ? 2 ? ? ? 33 ? 3 ? ? 4 ?3 ? 9 ? ? 27 ?0 ? 27 ? 积 ,下部分矩形面积 S2 ? 24 ,
3
3 故挖掘的总土方数为 V ? ? S1 ? S2 ? h ? 28 ? 20 ? 560 m .

3

6.答案 D

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 解析:不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 表示 ? 3x ? y ? 3 ? 0 ?

的平面区域如

图 , 结合图像可知 AM 的最小值为点 A 到直线

2x ? y ? 2 ? 0











AM

min

?

2 ? ? ?2? ? 0 ? 2 5
'

?

6 5 5 .
3 4 3 4

7.答案 C

解析: f ( x ) ? 4x cos x ? x sin x ? 2mx ? 1, 令 g( x ) ? 4x cos x ? x sin x ? 2mx 是
' '

奇函数,由 f ( x ) 的最大值为 10 知: g( x ) 的最大值为 9 ,最小值为 ?9 ,从而 f ( x ) 的最小值为

?8 .

8.答案 B

解析:展开式中第 r ?1 项是 Cn ( x )
r

3 n?r

1 r 3n ? 4 r ( ? ) r ? Cn x (?1) r ? 28 ,则 x

?3n ? 4r ? 0 ? r ? (?1) ? 1 ? n ? 8, r ? 6 ? C r ? 28 ? n
9.答案 D
3 1 解析: N ? [(C6 ? C4 )?( 2 2 C6 C4 2 4 ? C4 )]? A4 ? 1320. 2 A2

10.答案 A

解析:双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1 , PF1 ? PF2 =4 4 5



PM ? PF1 PF1

?

PM ? PF2 PF2

可得

MP ? F1 P MP F1 P

?

MP ? F2 P MP F2 P

,

得 MP 平分 ?F 1 PF2 的内心在直线 x ? 2 上;所以点 M(2,1)就 1PF 2 ,又结合平面几何知识可得, F 是 F1 PF2 的内心。故 S
PMF1

?S

PMF2

?

1 1 ( PF1 ? PF2 ) ?1 ? ? 4 ?1 ? 2 2 2

二.填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.答案 0.6 12.答案 0 解析:由对称性 P(? ? 0) ? P(? ? 4) ? 1 ? P(? ? 4) ? 0.6 . 解析: S ? sin

?

4 ? 2? 7? S ? sin ? sin ? ? ? sin ? 0. 4 4 4

? sin

2? 2015? n? ? ? ? sin ,由于 sin 周期为 8,所以 4 4 4

13.答案 2

解析:直线 l 的方程是 2 x ? y ? 5 ? 0 ,曲线 C 的方程: ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 25 ,
2 2

即以 (4,3) 为圆心,5 为半径的圆. 又圆心到直线 l 的距离是 d ?

2? 4 ? 3 ? 5 5

?2 5,

故曲线 C 上到直线 l 的距离为 4 的点有 2 个. 14.答案

8 ? = 0.727272 ? ? 72 ? 72 ? 72 ? ? 72 ? ? ?2 解析: 0.7 100 100 2 100 3 100 n 11 72 72 8 ? 100 ? ? 1 99 11 1? 100
解析:①中因 BD1 ? 面AB1C ,所以 动点 P 的轨

15.答案①②④

迹所在曲线是直线 B1C , ①正确; ②中满足到点 A 的距 点集是球,所以点 P 应为平面截球体所得截痕,即轨迹 圆,②正确;③满足条件 ?MAP ? ?MAC 1 的点 P 应

离为

2 3 的 3

所在曲线为 为以 AM 为

轴,以 AC1 为母线的圆锥,平面 BB1C1C 是一个与母线 AM 平行的平面,又点 P 在 BB1C1C 所在 的平面上,故 P 点轨迹所在曲线是抛物线,③错误;④ P 到直线 C1 D1 的距离,即到点 C1 的距离 与到直线 BC 的距离比为 2 :1 ,所以动点 P 的轨迹所在曲线是以 C1 为焦点,以直线 BC 为准线的 双曲线,④正确;⑤如图建立空间直角坐标系,作 PE ? BC, EF ? AD, PG ? CC1 ,连接 PF,设
2 2 2 点 P 坐标为 ? x, y,0? ,由 PF ? PG 得 1 ? y ? x ,即 x ? y ? 1 ,所以 P 点轨迹所在曲线是

双曲线,⑤错误. 三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分)

1 1 1 sin 2 x ? sin ? ? ( 1 ? cos 2 x ) ? cos ? ? cos ? 2 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? sin ? ? cos 2 x ? cos ? ? cos( 2 x ? ? ) ?????2 分 2 2 2 ? ? ? 1 由 f ( x ) 图像过点 ( , ) 知: cos( ? ? ) ? 1( 0 ? ? ? ? )?? ? . 3 3 6 2 1 ? 所以 f ( x )= cos( 2 x ? ) ???????????????? ?4 分 2 3 ? ? 2? 令 2k? ? 2 x ? ? 2k? ? ? 即 k? ? ? x ? k? ? , 3 6 3 ? 2? ? f ( x ) 在 ?0,? ? 上的单调递减区间是 [ , ] ?????????????6 分 6 3 4 ? 3 (Ⅱ)因为 x0 ? ( ,? ),sin x0 ? , 则 cos x0 ? ? , ?????????8 分 5 2 5 7 24 2 2 , sin 2 x0 ? ? 由 2 x0 ? ( ? , 2? ),知 cos 2 x0 ? cos x0 ? sin x0 ? ????10 分 25 25
解: (Ⅰ) f ( x ) ? 所以 f ( x0 )=

1 ? 1 ? ? 7 ? 24 3 cos( 2 x0 ? ) ? (cos 2 x0 ? cos ? sin 2 x0 ? sin ) ? . ?12 分 2 3 2 3 3 100

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设该校报考飞行员的总人数为 n ,前三个小组的频率为 P 1 ,P 2 ,P 3.

? P2 ? 2 P 1 ? 则 ? P3 ? 4 P 1 ? P ? P ? P ? 5 ? ( 0.017 ? 0.043 ) ? 1 ? 1 2 3

1 ? 1 ? ?P 10 ? 1 ? 解得 ? P2 ? ??????4 分 5 ? 2 ? ? P3 ? 5 ?

由于 P 2 ?

1 11 ? ,故 n ? 55. 5 n
7 , 10

?????????????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,一个报考学生的体重超过 60 公斤的概率为

P ? P3 ? 5 ? (0.017 ? 0.043) ?

由题意知 X 服从二项分布即: X ~ B(3,

7 ) ??????????????8 分 10

7 k 3 3? k ) ( ) ( k ? 0,1, 2,3 ) 10 10 7 21 7 3 63 . ????????????12 分 ? EX ? 3 ? ? ,DX ? 3 ? ? ? 10 10 10 10 100
? P( X ? k ) ? C3k (
18. (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)由抛物线 C : x 2 ? 2 y 得, y ?

1 2 x ,则 y ? ? x , 2

? 在点 P ( m, n) 切线的斜率 k ? m , ? 切线方程是 y ? n ? m( x ? m) ,即 y ? n ? mx ? m 2
又点 P(m, n) 是抛物线上一点

? m 2 ? 2n ,
? 切线方程是 m x ? 2n ? y ? n ,即 mx ? y ? n
?????????????6 分

(也可联立方程证得) (Ⅱ)当直线 l 是 x 轴时,直线 MF 与直线 l 位置关系是相交但不垂直; 当直线 l 不是 x 轴时,直线 MF 与直线 l 位置关系是垂直.??????7 分 证明:当直线 l 是 x 轴时,直线 l 与抛物线相切于原点,此时,直线 MF 与直线 l 位置关系是相交但 不垂直; ????????????????????8 分 当直线 l 不是 x 轴时,由(Ⅰ)得,设切点为 P(m, n)(m ? 0) ,则切线 l 方程为 mx ? y ? n ,

? 切线 l 的斜率 k ? m , 点 M (
又点 F (0, ) ,

n ,0) , m

1 2

1 ?0 m m 1 此时, k MF ? 2 ?? ?? ?? n 1 2n m 0? 2 ? m2 m 2 1 ? k ? kMF ? m ? (? ) ? ?1 m ? 直线 MF ? 直线 l ????????????????????12 分
19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:? AB 是圆 O 的直径

? AC ? BC 又? DC ? 平面 ABC ? DC ? BC
又 AC, CD ? 平面 ACD ,且 AC ? CD ? C

? BC ? 平面 ACD
又 AD ? 平面 ACD

? AD ? BC

?????????????????????5 分

(Ⅱ)设 CD ? a ,以 CB , CA, CD 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴,如图所示 则 C (0,0,0) ,B(2,0,0) ,A(0,2 3,0) ,D(0,0, a ) 由(Ⅰ)可得, AC ? 平面 BCD

? 平面 BCD 的一个法向量是 CA ? (0,2 3,0)
设 n ? ( x, y, z ) 为平面 ABD的一个法向量 由条件得, AB ? (2,?2 3,0) , AD ? (?2,0, a)

? ?2 x ? 2 3 y ? 0 2 3 ? n ? AB ? 0 ?? 即? 不妨令 x ? 1 ,则 y ? ,z ? a 3 ? ? ? 2 x ? az ? 0 ?n ? AD ? 0
? n ? (1,

3 2 , ) 3 a

又二面角 A ? BD ? C 所成角 ? 的正切值是 2

? cos? ?

5 5

? cos ? n, CA ? ? cos? ?

5 5

n ? CA n CA

2 3? ?

3 3
2

? 3 ? ? 2 ?2 2 ? 2 3 1 ?? ? ? 3 ? ?? ? ? ?a?

?

5 5

得a ? 2 3

?????????9 分

?VABCDE ? VE ? ADC ? VE ? ABC
1 1 ? S ?ADC ? ED ? S ?ABC ? EB 3 3 1 1 ? ? AC ? DC ? ED ? ? AC ? BC ? EB 6 6 1 1 ? ? AC ? DC ? ED ? ? AC ? BC ? EB 6 6 ?8 ? 该几何体 ABCDE 的体积是 8 ?????????????????12 分 (本小题也可用几何法求得 CD 的长)
20.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) ?
'

a a?x ?1 ? ? 0? x ? a x x

? f ( x ) 在 ( 0,a ) 递增,在 ( a, ?? ) 上递减,
从而 f ( x) 的最大值是 f (a) ? a ln a ? a ??????????????4 分

(Ⅱ)令 g( x ) ? f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) ,即 g( x ) ? a ln( a ? x ) ? a ln( a ? x ) ? 2 x.

? g' ( x ) ?

?a a ?2 x 2 ? ?2? 2 , 当 x ? ( 0 ,a ) 时, g ' ( x ) ? 0. 2 a?x a?x a ?x
?????????????9 分

? g( x ) ? g( 0 ) ? 0 即 f ( a ? x ) ? f ( a ? x ) .

(Ⅲ)依题意得: ? ? a ? ? ,从而 a ? ? ? ( 0,a ) , 由(Ⅱ)知, f (2a ? ? ) ? f [a ? (a ? ? )] ? f [a ? (a ? ? )] ? f (? ) ? f ( ? ) , 又 2a ? ? ? a, ? ? a

? 2a ? ? ? ? 即 ? ? ? ? 2a.
21.(本小题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)? an ?1 ?

????????????????????13 分

(3n ? 3)an ? 4n ? 6 (n ? N * ) n

?nan?1 ? 3(n ? 1)an ? 4n ? 6
两边同除 n( n ? 1) 得,?

an ?1 a 4n ? 6 ? 3? n ? n ?1 n n( n ? 1)



an?1 a 6 2 ? 3? n ? ? n ?1 n n n ?1

an ?1 a 2 2 ? ? 3? ( n ? ) n ?1 n ?1 n n a 2 又 a1 ? ?1 ? 1 ? ?1? 0 1 1 a 2 ? 数列 { n ? } 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列.???????????3 分 n n a 2 n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, n ? ? 3n?1 ,? an ? n ? 3 ? 2 n n 1 ? bn ? ????????????????????????????4 分 n 1 1 1 4 ? ?? ? ? (ⅰ)原不等式即为: n ?1 n ? 2 2n 5
也即 先用数学归纳法证明不等式: 当 n ? 2 时,

1 1 1 4 1 ? ?? ? ? ? n ?1 n ? 2 2n 5 2n ? 1

????????????????6 分

证明过程如下:

1 1 7 35 36 4 1 ? ? ? ? ? ? ,不等式成立 3 4 12 60 60 5 2 ? 2 ? 1 1 1 1 4 1 ? ?? ? ? ? 假设 n ? k 时,不等式成立,即 k ?1 k ? 2 2k 5 2k ? 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? 则 n ? k ? 1 时,左边= k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2 4 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2k ? 1 k ? 1 2k ? 1 2k ? 2
当 n ? 2 时,左边=

?

4 1 4 1 ? ? ? 5 2k ? 2 5 2(k ? 1) ? 1

? 当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 1 1 1 4 1 ? ?? ? ? ? 因此,当 n ? 2 时, ??????????8 分 n ?1 n ? 2 2n 5 2n ? 1

4 1 4 ? ? , 5 2n ? 1 5 1 1 1 4 ? 当 n ? 2 时, ? ?? ? ? n ?1 n ? 2 2n 5 1 4 又当 n ? 1时,左边= ? ,不等式成立 2 5
显然,当 n ? 2 时, 故原不等式成立. (ⅱ)由此可得, Sn ? 1 ? ????????????????????9 分

1 1 1 ? ??? 2 3 n 1 1 1 1 1 2 2 2 ? ) 2 ? (1 ? ? ? ? ) 方法一:当 n ? 2, S n ? S n ?1 ? (1 ? ? ? ? 2 n ?1 n 2 n ?1 S 1 1 1 ? ( 2S n ? ) ? 2 n ? 2 n n n n
S n?1 1 ? n ? 1 (n ? 1) 2

2 2 Sn ?1 ? S n ? 2 ? 2

??
2 S2 ? S12 ? 2

S2 1 ? 2 22
2

将上面式子累加得, S n ? 1 ? 2( 又

S S 2 S3 1 1 1 ? ?? ? n ) ? ( 2 ? 2 ?? ? 2 ) 2 3 n 2 3 n

1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? ? ?? ? 2 2 3 n 1? 2 2 ? 3 (n ? 1) ? n
= ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? 1? 1 2 2 3 n ?1 n n S S S 1 2 ? Sn ? 1 ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? (1 ? ) 2 3 n n S S S S S 1 S 2 即 S n ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) 2 3 n n 2 3 n
故原不等式成立. ????????????????????????14 分
2 2

方法二: 由此可发现, S k ?1 ? S k ? ( S k ?1 ? S k )( S k ?1 ? S k ) ? 且 2(

S k ?1 ? S k k ?1

S S S S 2S S 2 S3 S ? ? ? ? k ? k ?1 ) ? 2( 2 ? 3 ? ? ? k ) ? k ?1 2 3 k k ?1 2 3 k k ?1

?

2S k ?1 S k ?1 ? S k S k ?1 ? S k 1 ? ? ? k ?1 k ?1 k ?1 (k ? 1) 2
2

当 k ? 2 时,令 S k ? 2( 则 S k ?1 ? (
2

S S 2 S3 ? ?? ? k ) ? m 2 3 k

S S S 2 S3 1 ? ? ? ? k ? k ?1 ) ? m ? 2 3 k k ?1 (k ? 1) 2

2 又 S2 ? 2?

S2 3 ? 2 4

2 ? Sn ? 2(

S S 2 S3 3 1 1 1 ? ?? ? n ) ? ? ( 2 ? 2 ?? ? 2 ) 2 3 n 4 3 4 n



1 1 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? ? ?? ? 2 3 4 n 2 ? 3 3? 4 (n ? 1) ? n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n 2 n 2 4 S S S 故当 n ? 2 时, ????????????????????14 Sk2 ? 2( 2 ? 3 ? ? ? n ) . 2 3 n ?



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