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2011届高三数学(理)一轮复习第8单元 平面解析几何8-4课件


8.4

圆的方程

掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程

1.圆的定义 平面内到定点距离等于定长的点的 集合 (轨迹)叫圆. 2.圆的标准方程

圆心为(a,b),半径为r的圆的标准方程(standard equation of
circle)是 (x-a)2+(y-b)2 =r2. 3.圆的一般方程的定义 当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.

其中,半径是r=

,圆心坐标是

.

1.已知点P(2,1)在圆C:x2+y2+ax-2y+b=0上,点P关于直线x+y-1=0的对 称点也在圆C上,则实数a,b的值为( A.a=-3,b=3 C.a=-1,b=-1 )

B.a=0,b=-3 D.a=-2,b=1

解析:本题考查圆的方程的转化以及圆的对称问题.圆的方程可化为 (x+ ∴- )2 +(y-1)2=1+ -b,由题知圆心在直线x+y-1=0上,

+1-1=0,∴a=0,又点(2,1)在圆上,所以b=-3.

答案:B

2. 圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( A.(x-2)2+y2=5 B.x2+(y-2)2=5

)

C.(x+2)2+(y+2)2=5
答案:A

D.x2+(y+2)2=5

3.若x2+y2=4,则x-y的最大值是________. 答案:2

4.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2), 则圆C的方程为________. 解析:∵AB的中垂线y=-3必过圆心,故解 C(2,-3),|CA|= 得圆心坐标为

,∴所求圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.

答案: (x-2)2+(y+3)2=5

1. 可根据所给的三个条件,借助于图形,利用圆的几何性质,求出a、b、r; 2.待定系数法:可将所给的三个条件设法代入方程(x-a)2+(y-b)2=r2,解关 于a、b、r构成的三元二次方程组.

【例1】求圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2) 的圆的方程. 解答:解法一:如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得 =1,

∴x0=1即圆心坐标(1,-4),半径r=2

,故圆的方程(x-1)2+(y+4)2=8.

解法二:设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得

因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

变式1.已知圆C与圆C1:x2+y2-2x=0相外切,并且与直线l:x+ 相切于点 P(3,- ),求圆C的方程.

y=0

解答:设圆C的圆心坐标和半径分别为(a,b)和r,则圆心在过P(3,-
与l垂直的直线y+ = (x-3)上.由已知条件

)

将①③代入②整理得 当a=0时,b=-4 当a=4时,b=0,r=2. 所求圆的方程为x2+(y+4 ,r=6;

=|2a-6|+1,解得a=0,或a=4.

)2=36,或(x-4)2+y2=4.

1. 比较典型的问题是:已知圆上三点坐标求圆的方程,可利用圆的一般方程x2+ y2+Dx+Ey+F=0采用待定系数法,通过解三元一次方程组求出D、E、F.

2.求两圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=O与O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点
可通过解联立方程组求得,特殊地,两圆方程相减消去二次项得到的方程

(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0表示两圆公共弦所在直线的方程.

【例2】 求过圆x2+y2+2x+4y-3=0与直线x+y+1=0的交点且圆心在直线 y= x上的圆的方程.

解答:如图,设所求圆的方程为(x2+2x+y2+4y-3)+λ(x+y+1)=0 , 即x2+(2+λ)x+y2+(4+λ)y+λ-3=0, ∴圆心的坐标为 ,由已知得- ,

解得:λ=-6,因此所求圆的方程为x2+y2-4x-2y-9=0.

变式2.求圆x2+y2+2x+4y-3=0与圆x2+y2-4x-2y-9=0的公共弦的长度. 解答:

①-②得x+y+1=0.即两圆公共弦所在的直线的方程为x+y+1=0.
圆x2+y2+2x+4y-3=0的圆心到直线x+y+1=0的距离为d= 因此两圆的公共弦长为 . ,

1. 圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是
可利用参数方程转化为三角函数问题解决. 2.若点M(x0,y0)满足(x0-a)2+(y0-b)2<r2,可知点M(x0,y0)在 圆(x-a)2+(y-b)2 =r2的内部.

【例3】 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测,当前台风
中心位于城市O(如图)的东偏南θ(θ=arccos 方向300 km的海面P处,并以20 km/h的速度向 西偏北45°方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域, 当前半径为60 km,并以10 km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? )

解答:可求得当前P点坐标为(30

,-210

),设经过t小时后该城市开始 - 10 t)]2+

受到台风的侵袭,此时刻台风侵袭的区域为[x-(30 [y-(-210 +10

t)]2≤(10t+60)2,将x=y=0代入上式,整理得

t2-36t+288≤0,即(t-12)(t-24)≤0. 解得12≤t≤24.因此 12小时后该城市开始受到台风的侵袭.

【方法规律】
求圆的方程时,一般题设中要给出三个条件:
(1)可通过图形求a、b、r,确定方程(x-a)2+(y-b)2=r2; 可设出方程(x-a)2+(y-b)2=r2,列关于a、b、r的方程求解. (2)对过不在同一直线的三点的圆可利用待定系数法求方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D、E、F. (3)可利用求轨迹方程的方法求圆的方程.

(本小题满分12分)如图所示,圆O1和O2的半径都等于1,
O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N为切点),使得PM=PN.试建立平面直角坐标系, 并求动点P的轨迹方程.

【答题模板】
解答:以O1O2的中点O为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的坐标系, 则O1(-2,0),O2(2,0),由已知PM= PN,∴PM2=2PN2.

又∵两圆的半径均为1,设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],

即x2+y2-12x+3=0.
∴所求动点P的轨迹方程为x2+y2-12x+3=0.

【分析点评】
1. 高考中有可能对圆的方程进行考查,但一般不单独考查,有可能考查直线与 圆的位置关系问题,有可能与距离、最值和轨迹等问题进行综合考查.本题

源于:“平面内动点到两定点距离之比为定值,求动点的轨迹”问题.涉及
到通过解直角三角形求圆的切线长等问题. 2.求圆的方程,一般利用圆的标准方程、一般方程,也可利用求轨迹方程的方 法求圆的方程,学生应通过教材了解更多产生圆的轨迹的背景.

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