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2014届高考数学一轮复习 第32讲《等比数列的概念及基本运算》热点针对课件 理


第32讲 等比数列的概念及基本运算

1.(原创)数列 1,37,314,321,……中,398 是这个数列 的( C ) A.第 13 项 C.第 15 项 B.第 14 项 D.不在此数列中

解析: 观察易知数列是首项为 1, 公式为 37 的等比数 列,故由 398=1· 7)n 1,解得 n=15,故选 C. (3


1 2.(改编)等比数列{an}中,a1=20,公比 q= ,则数列 5 {an}的通项公式是( D ) 1 n+1 A.an=4· ) ( 5 1 n-1 C.an=4· ) ( 5 1n B.an=4· ) ( 5 1 n-2 D.an=4· ) ( 5

解析:由等比数列的通项公式得 1 n-1 1 n-2 an=20×( ) =4· ) ,故选 D. ( 5 5

3.(改编) 5+2 与 5-2,两数的等比中项是( C ) A.1 C.± 1 B.-1 1 D. 2

解析:G2=( 5+2)( 5-2)=1,所以 G=± 1,故选 C.

4.(改编)等比数列{an}的各项都是正数, 若 a1=2,a5=32,则它的前 5 项和是( D ) A.31 C.61 B.32 D.62

2?1-25? 解析: 5=a1q4?2·4=32?q=2?S5= a q =62, 故 1-2 选 D.

5. (2012· 广东惠州市第四次调研)等比数列{an}中,3=6, a 前三项和 S3=18,则公比 q 的值为( C ) A.1 1 C.1 或- 2 1 B.- 2 1 D.-1 或- 2

a3 解析:因为 S3=18,所以 a1+a2= 2(1+q)=12 q 1 ?2q -q-1=0?q=1 或 q=- ,故选 C. 2
2



等比数列的基本运算
【例1】 在等比数列{an}中,已知 a3-a1=8, a6-a4=216,Sn=40,求公比 q,a1 及 n.

解析:显然,公比 q≠1,由已知可得
?a1q2-a1=8 ? ?a1q5-a1q3=216 ② ? a1?1-qn? ? ? 1-q =40 ③ ?

① ,

由②得(a1q2-a1)q3=216,④ 将①代入④得 8q3=216,故 q=3, 代入①得,a1=1, 将 a1=1,q=3 代入③得 3n=81,故 n=4, 所以 q=3,a1=1,n=4.

【拓展演练 1】 已知等比数列{an}中, 1=2, 3+2 是 a2 和 a4 的等差中项, a a 求数列{an}的通项公式及前 n 项和 Sn.

解析:设数列{an}的公比为 q. 由题意知,2(a3+2)=a2+a4, 所以 q3-2q2+q-2=0,即(q-2)(q2+1)=0, 所以 q=2,即 an=2·n 1=2n. 2 2?1-2n? n+1 Sn= =2 -2. 1-2




递推数列与等比数列的证明与判断
【例 2】 (2012· 甘肃省天水第四阶段段考)已知数列{an}中,

5 1 1 n+1 a1= ,an+1= an+( ) . 6 3 2 (1)记 bn=2n·n-3,证明数列{bn}是等比数列; a (2)求数列{an}的通项公式.

1 1 n+1 解析:(1)证明:由 an+1= an+( ) , 3 2 得2
n+1

2 n an+1-3= (2 an-3), 3

4 2 故数列{bn}是首项 b1=2a1-3=- ,公比为 的等比数 3 3 列. 4 2 n-1 (2)由(1)知:bn=2 an-3=(- )· ) , ( 3 3
n

1n 1n 所以 an=3· ) -2· ) . ( ( 2 3

【拓展演练 2】 (2012· 广东省六校高三第二次联考)已知 Sn 是数列{an}的 前 n 项和,且 a1=2,当 n≥2 时,有 Sn=3Sn-1+2. (1)求证:{Sn+1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

解析:(1)因为 Sn=3Sn-1+2, Sn+1 所以 Sn+1=3Sn-1+2+1,所以 =3. Sn-1+1 又因为 S1+1=a1+1=3, 所以{Sn+1}是以 3 为首项,3 为公比的等比数列. (2)由(1)得 Sn+1=3×3n 1=3n,所以 Sn=3n-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n 1-1)=2·n 1. 3 又当 n=1 时,a1=2 也满足上式, 所以,数列{an}的通项公式为 an=2·n 1. 3
- - - -



等比数列综合
【例 3】(2013· 山东省济宁市期末检测)设数列{an}是各项

1 1 均为正数的等比数列,且 a1+a2=2( + ), a1 a2 1 1 a3+a4=32( + ). a3 a4 (1)求数列{an}的通项公式; (2)bn=a2+log2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. n

解析:(1)由题意得 a1a2=2,a3a4=32,
2 即 a1q=2,a2q5=32,解得 a1=1,q=2. 1

所以 an=2n 1. (2)因为 bn=4n 1+(n-1), 所以 Sn=b1+b2+…+bn =(1+0)+(41+1)+(42+2)+…+[4n 1+(n-1)] =(1+41+42+…+4n 1)+[0+1+2+…+(n-1)] 4n-1 ?n-1?n = + . 3 2
- - -



【拓展演练 3】 (2013· 黄冈市期末考试)已知数列{an}中, 1=1, n 项和 a 前 3 为 Sn,且 Sn+1= Sn+1(n∈N*) 2 (1)求数列{an}的通项公式; 1 12 (2)设数列{ }的前 n 项和为 Tn, 求满足不等式 Tn< 的 an Sn+2 n 的值.

3 3 解析:(1)由 Sn+1= Sn+1,得当 n≥2 时,Sn= Sn-1+1, 2 2 3 所以 Sn+1-Sn= (Sn-Sn-1), 2 an+1 3 3 即 an+1= an,所以 = , 2 an 2 3 又 a1=1,得 S2= a1+1=a1+a2, 2 3 a2 3 所以 a2= ,所以 = , 2 a1 2 3 所以数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 3 n -1 所以 an=( ) . 2

3 (2)因为数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列, 2 1 2 所以数列{ }是首项为 1,公比为 的等比数列, an 3 2n 1-? ? 3 2n 所以 Tn= =3[1-( ) ], 2 3 1- 3 3n 又因为 Sn=2· ) -2, ( 2 12 2n 1 所以不等式 Tn< ,即得( ) > , 3 3 Sn+2 所以 n=1 或 n=2.

1.(2013· 江西卷)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第 4 项等于 ( A ) A.-24 C.12 B.0 D.24

解析:由等比数列的性质得(3x+3)2=x· (6x+6), 解得 x=-3.所以等比数列为-3, -6, -12, -24, …, 故选 A.

2.(2013· 福建卷)已知等比数列{an}的公比为 q, bn=am(n 记
-1)+1

+am(n-1)+1+…+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1·m(n-1)+2· am(n- a …·

1)+m

(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是( C ) A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm

解析:由于数列{an}是公比为 q 的等比数列,那么 cn+1 amn+1amn+2· amn+m …· = cn am?n-1?+1am?n-1?+2· am?n-1?+m …· amn+1amn+2· amn+m …· = amn-m+1amn-m+2· amn …· =(qm)m=qm2, 则数列{cn}为等比数列,公比为 qm2,故 C 正确.

3.(2012· 全国新课标卷)已知{an}为等比数列, a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+a10=( D ) A.7 C.-5 B.5 D.-7

解 析 : 设 数 列 {an} 的 公 比 为 q , 由 题 意 , ?a1q3+a1q6=2 ? 4 , 5 3 6 ?a1q ×a1q =a1q ×a1q =-8
?a1=-8 ?a1=1 ? 解得? 3 或? 3 1 ?q =-2 ?q =-2 ?

.

?a1=1 当? 3 时,a1+a10=a1(1+q9)=1+(-2)3=-7; ?q =-2 ?a1=-8 ? 当? 3 1 ?q =-2 ?

13 时,a1+a10=a1(1+q )=(-8)×[1+(- ) ]=-7. 2
9

综上,a1+a10=-7,故选 D.

4.(2012· 浙江卷)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项 和为 Sn,若 S2=3a2+2,S4=3a4+2,则 q= .

解析:当 q=1 时,由 S2=3a2+2 得 a1=-2, 由 S4=3a4+2 得 a1=2,两者矛盾,舍去,则 q≠1. S4-S2=a3+a4=3(a4-a2), 所以 2a4=3a2+a3,所以 2q2=3+q, 3 3 所以 q= 或 q=-1(舍去).故应填 . 2 2

5.(2012· 辽宁卷)已知等比数列{an}为递增数列,且 a2=a10,2(an+an+2)=5an+1, 则数列的通项公式 an= 5 .

2 解析:因为 a5=a10,所以(a1q4)2=a1q9,

所以 a1=q,所以 an=qn. 因为 2(an+an+2)=5an+1,所以 2an(1+q2)=5anq, 1 所以 2(1+q )=5q,解得 q=2 或 q= (舍去), 2
2

所以 an=2n.


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