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2014年人教A版必修五教案 2.4等比数例


2.4 等比数列教案(一) 教学目标 知识与技能目标 1.等比数列的定义; 2.等比数列的通项公式. 过程与能力目标 1.明确等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道

an , a1 , q ,n 中的三个,求另一个的问题.

教学重点 1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 教学难点 等差数列"等比"的理解、把握和应用. 教学过程 一、情境导入: 下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?(教材上的 P48 面)

1,2,4,8,16,?,263;



1 1 1 1, 2 , 4 , 8 ,?;



20, 202 , 203
1, ,?; ③

1.0198 ,1.10982 , 1.10983......


对于数列①,

an = 2 n ?1

an an 1 1 ? n ?1 a a 2 (n≥2) a ; n ?1 =2(n≥2) .对于数列②, n = 2 ; n ?1 .
an a n ?1 =20(n≥2) .

对于数列③,

an = 20n ?1 ;

共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数. 二、检查预习 1.等比数列的定义. 2. 等比数列的通项公式:

an ? a1 ? qn?1(a1, q ? 0) ,

an ? am ? qn?m (am , q ? 0) ,

an ? ABn ( A, B ? 0)

an ?1 ? q (n ? N ? , q ? 0) a 3. {an}成等比数列 ? n
4.求下面等比数列的第 4 项与第 5 项:

2 1 3 2 , . ,??; ( 4) 2 ,1, 2 ,??. (1)5,-15,45,??; (2)1.2,2.4,4.8,??; (3) 3 2 8
三、合作探究 (1)等比数列中有为 0 的项吗?

(2)公比为 1 的数列是什么数列? (3)既是等差数列又是等比数列的数列存在吗? (4)常数列都是等比数列吗? 四交流展示 等比数列的定义:一般地,若一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常

an a 数,这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比, 用字母 q 表示 (q≠0) , 即: n ?1 =q
(q≠0)

a n ?1 ? a 成等比数列 ? a n =q 注: (1) “从第二项起” 与 “前一项” 之比为常数 q;{ n } (n? N ,
q≠0. ) (2) 隐含:任一项

an ? 0且q ? 0
(4) .既是等差又是等比数列的数列:非零常数列.

(3) q=1 时,{an}为常数数列. 2.等比数列的通项公式 1:

an ? a1 ? qn ?1 (a1, q均不为0)

观察法:由等比数列的定义,有: a 2 ? a1q ;

a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ;

a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ;? ? ? ? ? ? ?

an ? an ?1q ? a1 ? qn ?1 (a1,q ? 0) .
a3 a2 a4 an ?q ?q ?q ?q a a a a 1 3 n ? 1 2 迭乘法:由等比数列的定义,有: ; ; ;?;
a2 a3 a4 a ? ? ? n ? q n ?1 a ? a1 ? qn?1(a1,q ? 0) a a a an ?1 所以 1 2 3 ,即 n
等比数列的通项公式 2:

an ? am ? q n?m (am,q ? 0)

五精讲精练 例 1.一个等比数列的第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18,求它的第 1 项与第 2 项.

18 3 3 ? ?q? 2 解: 12 2 ?

? a2 ?

a3 2 a 2 16 ? 12? ? 8, a1 ? 2 ? 8 ? ? . q 3 q 3 3

点评:考察等比数列项和通项公式的理解 变式训练一:教材第 52 页第 1 例 2.求下列各等比数列的通项公式:

(1) a1 ? ?2, a3 ? ?8;
解 (1)

(2) a1 ? 5, 且2an?1 ? ?3an


a3 ? a1q ? q 2 ? 4 ? q ? ?2

? an ? (?2)2n?1 ? ?2n 或an ? (?2)(?2) n?1 ? (?2) n

q?
(2)

an ?1 3 ?? an 2

3 又:a1 ? 5 ? an ? 5 ? (? )n ?1 2

点评:求通项时,求首项和公比 变式训练二 :教材第 52 页第 2 例 3.教材 P50 面的例 1。 例 4. 已知无穷数列 10 ,10 ,10 ,??10 求证: (1)这个数列成等比数列;
0 5 1 5 2 5 n ?1 5

,?? ,

1 (2)这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 ;
(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中.
n ?1

an 10 5 ? ? 10 5 n?2 a n ?1 5 10 证: (1) (常数)∴该数列成等比数列.
n ?1

1

an 10 5 1 ? n ? 4 ? 10?1 ? 1 a n ? a n ?5 a n ?5 10 5 10 10 (2) ,即: .

(3)

a p aq ? 10 10

p ?1 5

q ?1 5

? 10

p ? q ?2 5

,∵ p, q ? N ,∴ p ? q ? 2 .

∴ p ? q ? 1 ? 1 且 ? p ? q ? 1? ? N ,

10


p ?q ?2 5

? n ?1 ? ? ?10 5 ? ? ?, (第 p ? q ? 1项) .

变式训练三:教材第 53 页第 3、4 题. 六、课堂小结: 1.等比数列的定义; 2.等比数列的通项公式及变形式 七、板书设计 八、课后作业 阅读教材第 48~50 页;

2.4 等比数列教案(二)

知识与技能目标 进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式; 过程与能力目标 利用等比数列通项公式寻找出等比数列的一些性质 方法与价值观 培养学生应用意识. 教学重点,难点 (1)等比数列定义及通项公式的应用; (2)灵活应用等比数列定义及通项公式解决一些相关问题. 教学过程 二.问题情境 1.情境:在等比数列 (2)
2 {an } 中, a2 ? a1a9 是否成立? a5 ? a3a7 是否成立? (1) 5

2 an ? an?2an?2 (n ? 2) 是否成立?

2.问题:由情境你能得到等比数列更一般的结论吗? 三.学生活动 对于(1)∵ 同理 :
2 a5 ? a1q 4 , a9 ? a1q8 ,∴ a1a9 ? a12q8 ? (a1q4 )2 ? a5 a2 ? a1a9 成立. , 5

2 a5 ? a3a7 成立.

对于(2) ∴

an ? a1qn?1 , an?2 ? a1qn?3 , an?2 ? a1qn?1 ,

2 an?2an?2 ? a1qn?3 ? a1qn?1 ? a12q2n?2 ? (a1qn?1 )2 ? an a2 ? an?2an?2 (n ? 2) 成立. , n

一般地:若

m ? n ? p ? q (m, n, q, p ? N? ) ,则 am ? an ? a p ? aq .

四.建构数学 1.若

{an } 为等比数列, m ? n ? p ? q (m, n, q, p ? N? ) ,则 am ? an ? a p ? aq .
p ?1

m?1 n?1 a ? a1q 由等比数列通项公式得: am ? a1q , an ? a1q , p

,aq ? a1 ? qq?1





2 p ? q ?2 am ? an ? a1 qm?n?2 且 a p ? aq ? a1 q ,
2



m ? n ? p ? q ,∴ am ? an ? a p ? aq .

am ? q m?n {a } a 2.若 n 为等比数列,则 n .

am ? q m?n a 由等比数列的通项公式知: ,则 n .
五.数学运用

1.例题: 例 1. (1)在等比数列 (2)在数列 那么数列
2 {an } 中,是否有 an ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 )?

{an } 中,对于任意的正整数 n ( n ? 2 ) a2 ? an?1 ? an?1 , ,都有 n

{an } 一定是等比数列.

an?1 an ? { a } a an?1 , n n 解: (1)∵等比数列的定义和等比数列的通项公式数列 是等比数列,∴

2 an ? an?1 ? an?1 ( n ? 2 )成立. 2 an ? an?1 ? an?1 ,但这个数列不是等比数列.

(2)不一定.例如对于数列 0, 0, 0, 例 2. 已知

,总有

{an } 为 GP ,且 a5 ? 8, a7 ? 2 ,该数列的各项都为正数,求 {an } 的通项公式。

a7 1 ? q 7 ?5 q 2 ? 2 ? 1 q? a q 8 4 ,又数列的各项都是正数,故 2, 解:设该数列的公比为 ,由 5 得
1 1 an ? 8 ? ( ) n ?5 ? ( ) n ?8 2 2 则 .
例 3.已知三个数成等比数列,它们的积为 27,它们的平方和为 91,求这三个数。

a , a, aq q 解:由题意可以设这三个数分别为 ,得:

? a ? q ? a ? aq ? 27 a?3 ? ? ? ? 2 ? a ? a 2 ? a 2 q 2 ? 91 ?a 2 ( 1 ? 1 ? q 2 ) ? 91 2 2 ? ? ?q ?? q
4 2 2 ∴ 9q ? 82q ? 9 ? 0 ,即得 q ? 9 或

q2 ?

1 9,

∴ q ? ?3 或

q??

1 3,

故该三数为:1,3,9 或 ?1 ,3, ?9 或 9,3,1 或 ?9 ,3, ?1 .

a , a, aq 说明:已知三数成等比数列,一般情况下设该三数为 q .
例 4. 如图是一个边长为 1 的正三角形, 将每边三等分, 以中间一段为边向形外作正三角形,

并擦去中间一段,得图形(2) ,如此继续下去,得图形(3)??求第 n 个图形的边长和周 长. 解:设第 n 个图形的边长为

an ,周长为 cn .

1 {a } 由题知,从第二个图形起,每一个图形的边长均为上一个图形的边长的 3 ,∴数列 n 是 1 等比数列,首项为 1 ,公比为 3 . 1 an ? ( ) n ?1 3 . ∴
要计算第 n 个图形的周长,只要计算第 n 个图形的边数. 第一个图形的边数为 3 , 从第二个图形起, 每一个图形的边数均为上一个图形的边数的 4 倍, ∴第 n 个图形的边数为 3 ? 4
n ?1



1 4 cn ? ( ) n ?1 ? (3 ? 4n ?1 ) ? 3 ? ( ) n ?1 3 3 .
2.练习: 1.已知 则

{an } 是等比数列且 an ? 0 , a5a6 ? 9 ,
? log3 a10 ?


log3 a1 ? log3 a2 ?

2.已知

{an } 是 等 比 数 列 , a4 ? a7 ? ?512 , a3 ? a8 ? 124 , 且 公 比 为 整 数 , 则


a10 ?

3.已知在等比数列中,

a3 ? ?4 , a6 ? 54 ,则 a9 ?



五.回顾小结: 1.等比数列的性质(要和等差数列的性质进行类比记忆) . 六.课外作业:书练习第 1,2 题,习题第 6,8,9,10 题. 七板书设计

课内探究学案 (一 )学习目标 1.明确等比数列的定义; 2.掌握等比数列的通项公式,会解决知道

an , a1 , q ,n 中的三个,求另一个的问题.

教学重点 1.等比数列概念的理解与掌握; 2.等比数列的通项公式的推导及应用. 教学难点 等差数列"等比"的理解、把握和应用. (二)学习过程 1、自主学习、合作探究 1.等差数列的证明:①

an ? ABn ( B ? 0 ) S ? a ? bqn ( q ? 0 、 q ? 1 ) ;② n ,a ? b ? 0;

an ?1 a ? 0 适用) a 2 ? an ? an?2 。 a ③证明 n 为常数(对于 n ;④证明 n?1
2.当引入公比 q 辅助解题或 q 作为参数时,注意考虑是否需要对 q ? 1 和 q ? 1 进行分类讨 论。

3.证明数列是等比数列、不是等比数列,讨论数列是否等比数列,求解含参等比数列中的参 数这四类问题同源。 4. 注意巧用等比数列的主要性质,特别是 ( m? n ? 2p ) 。

aman ? a p aq



2 m ? n ? p ? q )和 am an ? a p

a a a 3 5. 三数成等比数列,一般可设为 q 、a 、aq ;四数成等比数列,一般可设为 q 、 q 、aq 、 a a 2 aq ;五数成等比数列,一般可设为 q 、 q 、 a 、 aq 、 aq 2 。
3

2、精讲点拨 三、典型例题 例 1 数列

?an ? 为各项均为正数的等比数列,它的前 n 项和为 80,且前 n 项中数值最大的
a1 和公比 q 。
S2n ? 2Sn ,与题意不符合,故 q ? 1 。依题意有:

项为 54,它的前 2 n 项和为 6560,求首项 解:若 q ? 1 ,则应有

? a1 ?1 ? q n ? ? ? 80 ??????????????????????(1) ? 1? q ? 2n ? a1 ?1 ? q ? ? 6560 ??????????????????? (2) ? ? 1? q
(2) 1 ? q 2 n ? 82 2n n (1) 得 1 ? q n 即 q ? 82q ? 81 ? 0
得 q ? 81 或 q ? 1 (舍去) ,?q ? 81 。
n n n n ?a ? a a ? 54 。 由 q ? 81 知 q ? 1 ,? 数列 n 的前 n 项中 n 最大,得 n n a ? q ?1 将 q ? 81 代入(1)得 1

(3) , (4) ,



an ? a1qn?1 ? 54 得 a1q n ? 54q ,即 81a1 ? 54q

? a1 ? 2 ? q?3 联立(3) (4)解方程组得 ? 。
a ? a4 ? ?a ? a ? 2, 2 (1)已知 n 为等比数列, 3 20 3 ,求 ?an ? 的通项公式。

例2

(2)记等比数列

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? an ? 66 , a4an?3 ? 128 , Sn ? 126 ,求

n 和公比 q 的值。

解: (1)设等比数列

?an ? 的公比为 q ( q ? 0 ) ,

a2 ? a4 ?

a3 20 20 ? a3q ? 3 , 3 ,则 q

2 20 1 10 1 ? 2q ? ?q ? q? q q 3 q 3 3 或 q ? 3。 即 也即 ,解此关于 的一元方程得

?1? ? an ? 2 ? ? ? n ?3 an ? a3q , ? 3?
(2)在等比数列

n ?3

? 2 ? 33?n



?an ? 2 ? 3n?3 。

?an ? 中,有 a4an?3 ? a1an ? 128 ,又 a1 ? an ? 66 ,联立解得

? a1 ? 2 ? a1 ? 64 ? ? ? an ? 64 或 ? an ? 2 ,
由此知 q ? 1 ,而

Sn ?

a1 ? an q ? 126 1? q ,从而解得

1 ? ?q ? ?q ? 2 ? 2 ? ? ?n ? 6 或 ? n ? 6 。
例 3 已知数列 求常数 ? 。

?an ? ,其中 an ? 2n ? 3n ,且数列 ?an?1 ? ?an ? ( ? 为常数)为等比数列,
? ? an ? 2 ? ? an ?1 ?? an ? ? an ?1 ?

?a ? ?an ? 为 等 比 数 列 , 那 么 ? an?1 ? ? an ? 解 : n?1

2

,将

1 (2 ? ? )(3 ? ? ) ? 2n ? 3n ? 0 an ? 2n ? 3n 代入并整理得 6 ,解之得 ? ? ?2 或 ? ? ?3 。
例4 设 数列。 解:设

?an ? 、?bn ? 是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明数列 ?cn ? 不是等比

?an ? 、 ?bn ? 分别是公比为 p 、 q ( p ? q )的两个等比数列,要证明 ?cn ? 不是等比
c22 ? c1c3 即可。事实上

数列,我们只需证
2

2 2 2 2 c2 2 ? ? a1 p ? b1q ? ? a12 p 2 ? 2a1b1 pq ? b12 q 2 c1c3 ? ? a1 ? b1 ? ? a1 p ? b1q ? ? a1 p ?

b12 q 2 ? a1b1 ? p 2 ? q 2 ?




p ? q ,? p 2 ? q 2 ? 2 pq ,又 a1 、 b1 ? 0 ,?c22 ? c1c3 ,? 数

?cn ? 不是等比数列。

3、反思总结

4 当堂检测 1.已知等比数列

?an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是(
B. ? ??,0? D. ? ??, ?1?
a 2 ? 2,a5 ?

)

A. ? ??, ?1? C. ?3, ?? ?

?1, ???

?3, ???
? anan?1 ?

2.已知

?an ? 是等比数列,

1 4 ,则 a1a2 ? a2a3 ?
?n B. 16 ?1 ? 2 ?

?n A. 16 ?1 ? 4 ?

32 ?1 ? 4? n ? C. 3

32 ?1 ? 2? n ? D. 3
2

3.若实数 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的交点的个数为(



A. 0
4. 在数列

B. 1

C. 2

D. 无法确定

?an ? 中, an ? 0 ,且 ?anan?1? 是公比为 q ( q ? 0 )的等比数列,该数列满足


an an?1 ? an?1an?2 ? an?2an?3 ( n ? N * ) ,则公比 q 的取值范围是(
0?q? 1? 2 2 ?1 ? 2 2 0?q? 1? 5 2 ?1 ? 5 2

A.

B.

C.

0?q?

D.

0?q?

5.设数列

?xn ? 满足 loga xn?1 ? loga xn ?1 ( a ? 0 , a ? 1 , n ? N * ) ,且

x1 ? x2 ? ??? ? x100 ? 100 ,则 x101 ? x102 ???? ? x200 ? __________。
6. 设

?an ? 为公比 q ? 1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4 x2 ? 8x ? 3? 0的两根,则

a2006 ? a2007 ? __________。

7. 设

?an ? 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比

30 q ? 2 , 且 a1a2a3 ??? a30 ? 2 , 则

a3 a6 a9 ? ? ? a3 0__________ ? 。
2 2 8. 设两个方程 x ? ax ? 1 ? 0 、 x ? bx ? 1 ? 0 的四个根组成以 2 为公比的等比数列,则

ab ? ________。
9.设数列

{an } 为等比数列, Tn ? na1 ? ? n ?1? a2 ????? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1, T2 ? 4 。 {an } 的首项和公比;

(1)求等比数列 (2)求数列 10.设数列

{Tn } 的通项公式。

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2n ? ?b ?1? Sn

(1)证明:当 b ? 2 时, (2)求

?a

n

? n ? 2n ?1?

是等比数列;

?an ? 的通项公式。
an ?1 ? 2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) 3 ,其中

a ?? , {a } {b } 11.已知数列 n 和 n 满足: 1

? 为实数, n 为正整数。
(1)对任意实数 ? ,证明数列 (2)试判断数列

{an } 不是等比数列;

{bn } 是否为等比数列,并证明你的结论;

(3)设 0 ? a ? b , 有

Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和。是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由。
a2 1 ? a2 ? a2 q ? ? q ? 1 q q ,函

【当堂检测】 解析:设数列的公比为 q ,那么

1. D

S3 ? a1 ? a2 ? a3 ?

f (q) ?


1 ? q ?1 ? ??, ?1? q ( q ? 0 )的值域为

?3, ??? ,从而求得 S3 的取值范围。
,显然数列

2. C

解析:等比数列

?an ? 的公比

q?

3

a5 3 1 1 ? ? a2 8 2

?anan?1? 也是等比数列,

aa a a 2 22 ?1? 1 a1a2 ? 2 ? ?8 q? ? n n ?1 ? n ?1 ? q 2 ? ? ? ? q 12 an ?1an an ?1 ?2? 4 , 其 首 项 为 , 公 比
? ? 1 ?n ? 8 ?1 ? ? ? ? ? ?4? ? ? 32 ? an an?1 ? ? ? ?1 ? 4? n ? 1 3 1? 4 。
2

2

a1a2 ? a2 a3 ?
?
3. A

2 解析: a 、 b 、 c 成等比数列,?b ? ac ,? 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的判别式

? ? b2 ? 4ac ? ?3b2 ? 0 ,从而函数与 x 轴无交点。
4.

an an?1 ? an?1an?2 ? an?2an?3 ,?an an?1 ? an an?1q ? an an?1q2 ,而 an ? 0 ,
1? 5 1? 5 ?q? 2 2 ,而 q ? 0 ,故公比

? an an?1 ? 0 ,?1 ? q ? q2 即 q2 ? q ?1 ? 0 ,解得
0?q? 1? 5 2 。

q 的取值范围为
5. 100a
100

解析:

loga xn?1 ? loga xn ? 1 ,即

log a

xn ?1 xn ?1 ?1 ?a ?x ? xn x n ,也即 ,从而数列 n 是公比为 a


的等比数列。 6. 18

? x101 ? x102 ????? x200 ? ? x1 ? x2 ????? x100 ? ? a100 ? 100a100

1 3 1 3 a2004 ? a2005 ? 2、 2, 解 析 : 4 x ? 8x ? 3 ? 0 的 两 根 分 别 为 2 和 2 , q ? 1 , 从 而
2

?q ?
7. 2
20

a2005 ?3 a ? a2007 ? ? a2004 ? a2005 ? ? q2 ? 2 ? 32 ? 18 a2004 。 2006 。

解析:

a1a2 a3 ??? a30 ? ? a1a30 ? ? 230
15



?a1a30 ? 22 ? 4 ,
5 5

2 10 5 10 20 ? a3a6 a9 ??? a30 ? ? a3a30 ? ? ? a1a32 ? ? ? ?? a1a30 ? q ? ? ? ? a1a30 ? ? q ? 4 ? 2 ? 2 。 5 5

27 8. 4

解析:设该等比数列为

x1 、 x2 、 x3 、 x4 , ? x1x4 ? x2 x3 ? x12q3 ? 8x12 ? 1 ,

? x1 ?

1 1 1 x2 ? ? 8 2 2 ,从而 2 、 x3 ? 2 、 x4 ? 2 2 ,

1 ?? 1 ? 27 ? ? ab ? ? 2 2 ? ?? 2 ? ?? 2 2 ?? 2? 4 。 ?
9.解: (1)对于等式

Tn ? na1 ? ? n ?1? a2 ????? 2an?1 ? an
?q ?

,令 n ? 1 得

T1 ? a1 ? 1 ;令 n ? 2



T2 ? 2a1 ? a2 ? 2 ? a2 ? 4 ,? a2 ? 2 ,

a2 ?2 a1 。
① ②

(2)

an ? 2n?1 ,则 Tn ? n ? 2(n ?1) ? 22 (n ? 2) ? ??? ? 2 ? 2n?2 ? 2n?1

① ?2 得 ② ? ①得:

2Tn ?

2n

?

22 (n ?1) ? 23 (n ? 2) ????? 2 ? 2n?1 ? 2n
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

Tn ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2 3

n ?1

??2

n

? n ? (? 2 ) ? n ?
n i ?1

n

? n ? 2n ?1 ? n ? 2


10.解: (1)证明:由题意知 两式相减得

n n?1 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn , ban?1 ? 2 ? ?b ?1? Sn?1

b ? an?1 ? an ? ? 2n ? ?b ?1? an?1

,即

an?1 ? ban ? 2n



当 b ? 2 时,由①知

an?1 ? 2an ? 2n ,于是

n ?1 an?1 ? ? n ?1? ? 2n ? 2an ? 2n ? ? n ?1? ? 2n ? 2 ? an ? n ? 2 ?



a1 ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 ?an ? n ? 2

n ?1

? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

(2)当 b ? 2 时,由(1)知 当 b ? 2 时,由①得

n?1 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 ;

an ?1 ?

1 1 b ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2n 2?b 2?b 2?b

1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ? ? an?1 ? 1 1 ? ? 2 1? b? n ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? ? ?b 2?b 2?b ? ? 2?b

n ?1 ? 2 ? ? an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? bn?1 ? n?2 ? ? ? ?2 ? b
11.解: (1)证明:假设存在一个实数 ? ,使

{an } 是等比数列,则有 a22 ? a1a3 ,即

2 4 4 4 ( ? ? 3) 2 ? ? ( ? ? 4) ? ? 2 ? 4? ? 9 ? ? 2 ? 4? ? 9 ? 0 3 9 9 9 ,矛盾。
所以

{an } 不是等比数列.
bn?1 ? ? ?1?
n ?1

(2)解:

? ? an?1 ? 3 ? n ? 1? ? 21? ? ? ? ?1?

n ?1

?2 ? ? ? an ? 2n ? 14 ? ?3 ?

?

2 2 n ? ? ?1? ? ? an ? 3n ? 21? ? ? bn 3 3 。又 b1 ? ?(? ? 18) ,所以
*

b ? 0(n ? N ) ,这时 ?bn ? 不是等比数列; 当 ? ? ?18 时, n
bn ?1 2 ? ? (n ? N * ) b ? ?(? ? 18) ? 0 由上可知 bn ? 0 , bn 3 当 ? ? ?18 时, 1 。 ?
? ?b ? 故当 ? ? ?18 时,数列 n 是以 ?(? ? 18) 为首项, 3 为公比的等比数列。 2

b ? 0 , Sn ? 0 ,不满足题目要求。 (3)由(2)知,当 ? ? ?18 时, n
? 2? bn ? ? ? ? ? 18? ? ? ? ? ? ? ? ?18 ,故知 ? 3?
? ? 2 ?n ? 3 S n ? ? ? ? ? 18 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 5 ? ? 3? ? ? ?
要使
n ?1

,可得



a ? Sn ? b 对任意正整数 n 成立,即
n ? 3 2? ? ? ? ? ? 18? ? ?1 ? ? ? ? ??b 5 3 ? ? ? ? ? ?

a??



a ? 2? 1? ? ? ? ? 3? 得
n

??

3 ? ? ? 18? ? 5

b ? 2? 1? ? ? ? ? 3?
n



? 2? f (n) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? ,则 令
当 n 为正奇数时,

n

1 ? f ( n) ?

5 5 ? f ( n) ? 1 3 ;当 n 为正偶数时, 9 。 5 5 f (2) ? 3 ,最小值为 9。

所以 f ( n) 的最大值为

f (1) ?

a 3 b ? ? ? ? ? 18? ? ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 59 5 35 于是,由①式得 。
当 a ? b ? 3a 时,由 ?b ? 18 ? ?3a ? 18 知,不存在实数 ? 满足题目要求; 当 b ? 3a 时,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

a ? Sn ? b ,且 ? 的取值范围是

(?b ? 18, ?3a ? 18) 。

等比数列学案 一、课前预习 (一)预习目标 1.理解等比数列的定义; 2.了解等比数列的通项公式 (二)自我探究 下面我们来看这样几个数列,看其又有何共同特点?(教材上的 P48 面)

1,2,4,8,16,?,263;



1 1 1 1, 2 , 4 , 8 ,?;



20, 202 , 203
1, ,?; ③

1.0198 ,1.10982 , 1.10983......


对于数列①,

an = 2 n ?1 an = 20
n ?1

an an 1 1 ? n ?1 a a 2 (n≥2) a ; n ?1 =2(n≥2) .对于数列②, n = 2 ; n ?1 . an a n ?1 =20(n≥2) .

对于数列③, 共同特点:

;

a n ?1 ? a a (1)“从第二项起”与“前一项”之比为常数 q; { n }成等比数列 ? n =q( n ? N ,
q≠0. ) (2) 隐含:任一项

an ? 0且q ? 0

(3) q=1 时,{an}为常数数列. (4) .既是等差又是等比数列的数列:非零常数列. (四)提出疑惑

(五)预习内容 1、等比数列的定义 2、等比数列的通项公式

1. 如果一个数列

?an ? 从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数 ?an ? ,如果满足 an ? qan?1( n ? 2 、n ? N * ,q 为常数,q ? 0 ) ,

列就叫做等比数列。这个常数叫做该等比数列的公比,我们通常用字母 q ( q ? 0 )表示。 数学语言描述:对于数列 那么

?an ? 为等比数列。

2.当等比数列的公比 q ? 1 时。该等比数列为常数列。 3.等比数列的通项公式:

an ? a1qn?1 ,对于等比数列的通项公式,我们有以下结论:
an am
n?m



an ? amq

n ?m

q ? n?m
;②

( m ? n ,此结论对于

an am

有意义时适用) 。

4. 等比数列的增减性:若 等比数列

a1 ? 0 ,当 q ? 1 时,等比数列 ?an ? 为递增数列;当 0 ? q ? 1 时,

?an ? 为递减数列;当 q ? 0 时,等比数列 ?an ? 的增减性无法确定(摆动数列) 。若 ?an ? 的增减性无法确定(摆动数列) 。

a1 ? 0 ,当 q ? 1 时,等比数列 ?an ? 为递减数列;当 0 ? q ? 1 时,等比数列 ?an ? 为递增数
列;当 q ? 0 时,等比数列

5. 如果在数 a 和 b 中间插入一个数 G , 使得 a 、G 、b 三数成等比数列, 那么我们就称数 A 为数 a 和 b 的等比中项,且 G ? ab 。
2

6.等比数列的前 n 项和公式 设数列

?an ? 是公比为 q 的等比数列,那么该数列的前 n 项和

?na1 ,q ?1 ?na1 ? ? n Sn ? ? a1 ?1 ? q ? ? ? a1 ? an q ,q ?1 ? ? ? 1? q ? 1? q 。
7.等比数列的主要性质: (1)在等比数列

?an ? 中,若 m ? n ? p ? q ,则 aman ? ap aq ;

aman ? a p 2 an ? ? m ? n ? 2 p (2)在等比数列 中,若 ,则 ;
(3)对于等比数列 (4)若数列

?an ? ,若数列 ?nk ? 是等差数列,则数列 ?an ? 也是等比数列;
k

?an ? 是等比数列,则对于任意实数 ? ,数列 ??an? 、 ?an ? ? 也是等比数列;

?1? ? ? a ? 0 ,则数列 ? a n ? 也是等比数列; ?a ? (5)若数列 n 是等比数列且 n
(6)若数列 (7)若数列 (8)若

?an ? 是等比数列且 an ? 0 ,则数列 ?loga an ?为等差数列; ?an ? 和 ?bn ? 都是等比数列,则数列 ?anbn ? 也是等比数列;

Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和,则 Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 、?成等比数列,其
n

公比为 q ; 四、课堂同步训练 1.已知等比数列

?an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是(
B. ? ??,0? D. ? ??, ?1?

)

A. ? ??, ?1? C. ?3, ?? ?

?1, ???

?3, ???
? anan?1 ?

a 2 ? 2,a5 ? ?a ? 4 ,则 a1a2 ? a2a3 ? 2.已知 n 是等比数列,
?n A. 16 ?1 ? 4 ? ?n B. 16 ?1 ? 2 ?

1

32 1 ? 4? n ? ? C. 3

32 1 ? 2? n ? ? D. 3
2

3.若实数 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax ? bx ? c 与 x 轴的交点的个数为(



A. 0

B. 1

C. 2

D. 无法确定

4. 在数列

?an ? 中, an ? 0 ,且 ?anan?1? 是公比为 q ( q ? 0 )的等比数列,该数列满足


an an?1 ? an?1an?2 ? an?2an?3 ( n ? N * ) ,则公比 q 的取值范围是(
0?q? 1? 2 2 ?1 ? 2 2 0?q? 1? 5 2 ?1 ? 5 2

A.

B.

C.

0?q?

D.

0?q?

5.设数列

?xn ? 满足 loga xn?1 ? loga xn ?1 ( a ? 0 , a ? 1 , n ? N * ) ,且

x1 ? x2 ? ??? ? x100 ? 100 ,则 x101 ? x102 ???? ? x200 ? __________。
6. 设

?an ? 为公比 q ? 1 的等比数列,若 a2004 和 a2005 是方程 4 x2 ? 8x ? 3? 0的两根,则 ?an ? 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 , 公 比

a2006 ? a2007 ? __________。
7. 设
30 q ? 2 , 且 a1a2a3 ??? a30 ? 2 , 则

a3 a6 a9 ? ? ? a3 0__________ ? 。
8. 设两个方程 x ? ax ? 1 ? 0 、 x ? bx ? 1 ? 0 的四个根组成以 2 为公比的等比数列,则
2 2

ab ? ________。
9.设数列

{an } 为等比数列, Tn ? na1 ? ? n ?1? a2 ????? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1, T2 ? 4 。 {an } 的首项和公比;

(1)求等比数列 (2)求数列 10.设数列

{Tn } 的通项公式。

?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ban ? 2n ? ?b ?1? Sn

(1)证明:当 b ? 2 时, (2)求

?a

n

? n ? 2n ?1?

是等比数列;

?an ? 的通项公式。
{an } 和 {bn } 满足: a1 ? ? ,
an ?1 ? 2 an ? n ? 4, bn ? (?1) n (an ? 3n ? 21) 3 ,其中

11.已知数列

? 为实数, n 为正整数。
(1)对任意实数 ? ,证明数列

{an } 不是等比数列;

(2)试判断数列

{bn } 是否为等比数列,并证明你的结论;

(3)设 0 ? a ? b , 有

Sn 为数列 {bn } 的前 n 项和。是否存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都

a ? Sn ? b ?若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由。
a2 1 ? a2 ? a2 q ? ? q ? 1 q q ,函

【同步训练参考答案】 解析:设数列的公比为 q ,那么

1. D

S3 ? a1 ? a2 ? a3 ?

f (q) ?


1 ? q ?1 ? ??, ?1? q ( q ? 0 )的值域为

?3, ??? ,从而求得 S3 的取值范围。
,显然数列

2. C

解析:等比数列

?an ? 的公比

q?

3

a5 3 1 1 ? ? a2 8 2

?anan?1? 也是等比数列,
2

a1a2 ?
其 首 项 为

a2 2 22 aa a ?1? 1 ? ?8 q? ? n n ?1 ? n ?1 ? q 2 ? ? ? ? q 12 an ?1an an ?1 ?2? 4 , , 公 比

a1a2 ? a2 a3 ?

?
3. A

? ? 1 ?n ? 8 ?1 ? ? ? ? ? ?4? ? ? ? 32 1 ? 4? n ? an an?1 ? ? ? ? 1 3 1? 4 。
2

2 解析: a 、 b 、 c 成等比数列,?b ? ac ,? 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的判别式

? ? b2 ? 4ac ? ?3b2 ? 0 ,从而函数与 x 轴无交点。
4.

an an?1 ? an?1an?2 ? an?2an?3 ,?an an?1 ? an an?1q ? an an?1q2 ,而 an ? 0 ,
2 2

1? 5 1? 5 ?q? ? an an?1 ? 0 ,?1 ? q ? q 即 q ? q ?1 ? 0 ,解得 2 2 ,而 q ? 0 ,故公比 0?q? 1? 5 2 。

q 的取值范围为
5. 100a
100

解析:

loga xn?1 ? loga xn ? 1 ,即

log a

xn ?1 xn ?1 ?1 ?a ?x ? xn x ,也即 n ,从而数列 n 是公比为 a


的等比数列。 6. 18

? x101 ? x102 ????? x200 ? ? x1 ? x2 ????? x100 ? ? a100 ? 100a100

1 3 1 3 a2004 ? a2005 ? 2、 2, 解 析 : 4 x ? 8x ? 3? 0的 两 根 分 别 为 2 和 2 , q ? 1 , 从 而
2

?q ?
7. 2
20

a2005 ?3 a ? a2007 ? ? a2004 ? a2005 ? ? q2 ? 2 ? 32 ? 18 a2004 。 2006 。

解析:

a1a2 a3 ??? a30 ? ? a1a30 ? ? 230
15



?a1a30 ? 22 ? 4 ,
5 5

2 10 5 10 20 ? a3a6 a9 ??? a30 ? ? a3a30 ? ? ? a1a32 ? ? ? ?? a1a30 ? q ? ? ? ? a1a30 ? ? q ? 4 ? 2 ? 2 。 5 5

27 8. 4
解析:设该等比数列为

x1 、 x2 、 x3 、 x4 , ? x1x4 ? x2 x3 ? x12q3 ? 8x12 ? 1 ,

? x1 ?

1 1 1 x2 ? ? 8 2 2 ,从而 2 、 x3 ? 2 、 x4 ? 2 2 ,

1 ?? 1 ? 27 ? ? ab ? ? 2 2 ? ?? 2 ? ?? 2 2 ?? 2? 4 。 ?
9.解: (1)对于等式

Tn ? na1 ? ? n ?1? a2 ????? 2an?1 ? an
?q ?

,令 n ? 1 得

T1 ? a1 ? 1 ;令 n ? 2



T2 ? 2a1 ? a2 ? 2 ? a2 ? 4 ,? a2 ? 2 ,

a2 ?2 a1 。
① ②

(2)

an ? 2n?1 ,则 Tn ? n ? 2(n ?1) ? 22 (n ? 2) ? ??? ? 2 ? 2n?2 ? 2n?1

① ?2 得 ② ? ①得:

2Tn ?

2n

?

22 (n ?1) ? 23 (n ? 2) ????? 2 ? 2n?1 ? 2n
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

Tn ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2
2 3

n ?1

??2

n

? n ? (? 2 ) ? n ?
n i ?1

n

? n ? 2n ?1 ? n ? 2


10.解: (1)证明:由题意知 两式相减得

n n?1 a1 ? 2 ,且 ban ? 2 ? ?b ?1? Sn , ban?1 ? 2 ? ?b ?1? Sn?1

b ? an?1 ? an ? ? 2n ? ?b ?1? an?1

,即

an?1 ? ban ? 2n



当 b ? 2 时,由①知

an?1 ? 2an ? 2n ,于是

n ?1 an?1 ? ? n ?1? ? 2n ? 2an ? 2n ? ? n ?1? ? 2n ? 2 ? an ? n ? 2 ?

a ?1? 2n?1 ? 1 ? 0 ,所以 ?an ? n ? 2 又 1
(2)当 b ? 2 时,由(1)知 当 b ? 2 时,由①得

n ?1

? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列。

n?1 an ? n ? 2n?1 ? 2n?1 ,即 an ? ? n ?1? 2 ;

an ?1 ?

1 1 b ? 2n ?1 ? ban ? 2n ? ? 2n ?1 ? ban ? ? 2n 2?b 2?b 2?b

1 ? ? ? b ? an ? ? 2n ? 2?b ? ?
? an?1 ? 1 1 ? ? 2 1? b? n ? 2n?1 ?? b ? an ? ? 2n ? ? ? ?b 2?b 2?b ? ? 2?b

n ?1 ? 2 ? ? an ? ? 1 ? 2n ? ? 2 ? 2b ? bn?1 ? n?2 ? ? ?2 ? b ?

? ?b ? 故当 ? ? ?18 时,数列 n 是以 ?(? ? 18) 为首项, 3 为公比的等比数列。

2

b ? 0 , Sn ? 0 ,不满足题目要求。 (3)由(2)知,当 ? ? ?18 时, n

? 2? bn ? ? ? ? ? 18? ? ? ? ? ? ? ? ?18 ,故知 ? 3?

n ?1

,可得

? ? 2 ?n ? 3 S n ? ? ? ? ? 18 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 5 ? ? 3? ? ? ?
要使



a ? Sn ? b 对任意正整数 n 成立,即
n ? 3 2? ? ? ? ? ? 18? ? ?1 ? ? ? ? ??b 5 3 ? ? ? ? ? ?

a??



a ? 2? 1? ? ? ? ? 3? 得
n

??

3 ? ? ? 18? ? 5

b ? 2? 1? ? ? ? ? 3?
n



? 2? f (n) ? 1 ? ? ? ? ? 3 ? ,则 令
当 n 为正奇数时,

n

1 ? f ( n) ?

5 5 ? f ( n) ? 1 3 ;当 n 为正偶数时, 9 。 5 5 f (2) ? 3 ,最小值为 9。

所以 f ( n) 的最大值为

f (1) ?

a 3 b ? ? ? ? ? 18? ? ? ?b ? 18 ? ? ? ?3a ? 18 5 9 5 3 5 于是,由①式得 。
当 a ? b ? 3a 时,由 ?b ? 18 ? ?3a ? 18 知,不存在实数 ? 满足题目要求; 当 b ? 3a 时,存在实数 ? ,使得对任意正整数 n ,都有

a ? Sn ? b ,且 ? 的取值范围是

(?b ? 18, ?3a ? 18) 。


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