3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

上海重点中学2011-2012学年高二数学下学期期末考试试题 理


亿库教育网

http://www.eku.cc

上海重点中学 2011-2012 学年度第二学期 高二数学期终试卷(理科卷)
本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 抛物线 x 2
2 2. 方程 C 24x

? y

的准线方程是
2

. .
a b

? C 24
x

的解为

3. 在 (3 x ? 1) 5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则

=

. .

4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、圆心角为 90?的扇形,则这个圆锥的全面积是

5. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种.

6. 将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个球的概率 为 7. 已知 F1
?? ?

. (结果用最简分数表示)
? ? ? ? i ? 2 j ? 3k

, F2

?? ?

? ? ? ? ? 2i ? 3 j ? k

, F3

?? ?

? ? ? ? 3i ? 4 j ? 5 k

,若 F1 、 F 2 、 F 3 共同作用于一个 .

?? ?

?? ?

?? ?

物体上,使物体从点 M 1 (1,-2,1)移到点 M 2 (3,1,-2) ,则合力所做的功为
2

8. 抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴的交点为 K,抛物线的焦点为 F,M 是抛物线上的一点,且
| F M |? 2 | F K | ,则△MFK

的面积为



9. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选 择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 10. 如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中, 第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 . .
第0行 第1行 第2 行 第3行 第4行 第5行 ?? 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

5 10 10 5 1 ?? ??

11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后, 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好拼接 成该正四棱锥的 4 个侧面,则
b a
亿库教育网 http://www.eku.cc

的取值范围是



亿库教育网

http://www.eku.cc
?r
2

12. 已知平面 α 截一球 O 得圆 M,圆 M 的半径为 r,圆 M 上两点 A、B 间的弧长为 心 O 到平面 α 的距离为 r,则 A、B 两点间的球面距离为
2

,又球


3 4

13. 若对于任意实数 x , 都有 x 4 ? a 0 ? a 1 ? x ? 2 ? ? a 2 ? x ? 2 ? ? a 3 ? x ? 2 ? ? a 4 ? x ? 2 ? , a 3 的 则 值为 .

14. 给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色. 当
n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不

相邻的着色方案如图所示: 由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方 案共有 方案共有 种, 至少有两个黑色正方形相邻的着色 种. (直接用数字作答)

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 经过原点且与抛物线 y A. 0
? ( x ? 1) ?
2

3 4

只有一个公共点的直线有多少条? ( C. 2 D. 3

)

B.

1

16. 正四面体 A B C D 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、 G 、 H .设四面体
E F G H 的表面积为 T ,则

T S

等于
1 9

( C.
1 4

)

A.

4 9

B.

D.

1 3

17. 甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览,每 个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A.
1 36

( D.
1 6

)

B.

1 9

C.

5 36

18. 给出下列四个命题: (1) 若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (2) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (3) 两条异面直线中的一条平行于平面?,则另一条必定不平行于平面?; (4) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个. 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个
亿库教育网

( C. 2 个
http://www.eku.cc



D. 3 个

亿库教育网

http://www.eku.cc

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) 已知矩形 A B C D 内接于圆柱下底面的圆 O , P A 是圆柱的母线,若
AB ? 6
P

, A D ? 8 ,异面直线 P B 与 C D 所成的角为 arctan 2 ,求此圆柱的
B

A

D
O C

体积.

20. (本题满分 14 分)本题共有 4 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小 题满分 4 分,第 4 小题满分 4 分.

m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列,称为环状排列.已知 m 个不同元素的环状排列的
所有种数为 ( m
? 1) ! .请利用此结论来解决下列问题,要求列式并给出计算结果.

(1)从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少? (2)某班 8 个班干部中有 1 个班长,2 个副班长,现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事务, 则分别满足下列条件的此 8 人的坐法有多少种? (i)班长坐在两个副班长中间; (ii)两个副班长不能相邻而坐; (iii)班长有自己的固定座位.

P
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分 . 如图,在四棱锥 P ? A B C D 中,底面 A B C D 是矩形,P A ? 平面 A B C D ,A P ? A B ? 2 ,A D 中点. (1)求直线 E C 与平面 P A D 所成的角(结果用反三角函数值表示); (2)求三棱锥 P ? A F D 的体积.
? 4

E A

F D C

,E 、 F 依次是 P B 、 P C 的 B

亿库教育网

http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的侧棱 BB 1 上一 点, PM ? BB 1 交 AA 1 于点 M , PN ? BB 1 交 CC 1 于点 N . (1)求证: CC 1 ? MN ;
B1 A1 C1 N B P M A C

(2)在任意 ? DEF 中有余弦定理:
DE
2

? DF

2

? EF

2

? 2 DF ? EF cos ? DFE

.拓展到空间,类比三角形的余弦定理,写出斜三

棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明. (3)在(2)中,我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子,这样的例子还有不 少.下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征,试着将勾股定理推广到空间去. 勾股定理的 类比 条件 结论 三角形 ABC 四面体 O-ABC

AB⊥AC AB2+AC2=BC2

OA、OB、OC 两两垂直


请在答题纸上完成上表中的类比结论,并给出证明.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点. 已知曲线 C 上任意一点 P ( x , y ) (其中 x ? 0 ) 到定点 F (1 , 0 ) 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)若过点 F (1 , 0 ) 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 不同的两点,求 O A ? O B 的值; (3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 O M ? M N ? 0 ,求 O N 的取值范围.
???? ???? ? ?
????
??? ??? ? ?

亿库教育网

http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

上海重点中学 2011-2012 学年度第二学期 高二数学期终试卷(文理卷答案) 2012-06-18

一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 抛物线 x 2 【答案】 y 2. 方程 C 24
2x

? y
1 4

的准线方程是

.

? ?

? C 24
x

2

的解为

.
a b

【答案】0,2,4 3. 在 (3 x ? 1) 5 的展开式中,设各项的系数和为 a,各项的二项式系数和为 b,则 = .

【答案】1 4. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2、 圆心角为 90?的扇形, 则这个圆锥的全面积是 【答案】 ?
4 5

.

5. (理) (11 全国大纲理 7)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本 赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有 种. 【答案】10 5.(文)某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,赠送给 5 位朋友,每位朋友 1 本, 则不同的赠送方法共有 种. 【答案】10 6.(理)将 4 个不同的球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个球的概率 为 .(结果用最简分数表示) 【答案】
C 4 P3 3
4 2 3

?

4 9

6.(文)一只口袋里有 5 个红球,3 个绿球,从中任意取出 2 个球,则其中有绿球的概率 为 .(结果用最简分数表示) 【答案】 1 ? 7.
C5 C8
2 2

?

9

14 ?? ? ? ? ? (理)已知 F1 ? i ? 2 j ? 3 k

, F2

?? ?

? ? ? ? ? 2i ? 3 j ? k

, F3

?? ?

? ? ? ? 3i ? 4 j ? 5 k

,若 F1 、 F 2 、 F 3 共同作用 .

?? ?

?? ?

?? ?

于一个物体上, 使物体从点 M 1(1, 1) -2, 移到点 M 2(3, -2) 则合力所做的功为 1, , 【答案】4

7.(文)已知正四棱柱的一条对角线长为 2 2 ,底面边长为 1,则此正四棱柱的表面积为 _________. 【答案】 2 ? 4 6 8. 抛物线 y ? 4 x 的准线与 x 轴的交点为 K,抛物线的焦点为 F,M 是抛物线上的一点,且
2

| F M |? 2 | F K | ,则△MFK

的面积为

.

【答案】 2 3 9. 在圆周上有 10 个等分点,以这些点为顶点,每 3 个点可以构成一个三角形,如果随机选 择了 3 个点,刚好构成直角三角形的概率是 .

亿库教育网

http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

【答案】

1 3
第0行 第1行 第2 行 第3行 第4行 第5行 ?? 1 1 1 1 1 1 4 3 6 2 3 4 1 1 1 1

10. (04 春考)如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中, 第_____行中从左至右第 14 与第 15 个数的比为 2 : 3 . 【答案】34 11. 边长分别为 a 、 b 的矩形,按图中所示虚线剪裁后, 可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,其余恰好拼接 成该正四棱锥的 4 个侧面,则 【答案】 (
1 2 , ?? )

5 10 10 5 1 ?? ??

b a

的取值范围是

.

12.(理)已知平面 α 截一球 O 得圆 M,圆 M 的半径为 r,圆 M 上两点 A、B 间的弧长为 又球心 O 到平面 α 的距离为 r,则 A、B 两点间的球面距离为 【答案】
2? r 3

?r
2



.

12.(文) 9 19 2 除以 100 的余数是 【答案】81

.
2 3 4

13. 若对于任意实数 x , 都有 x 4 ? a 0 ? a 1 ? x ? 2 ? ? a 2 ? x ? 2 ? ? a 3 ? x ? 2 ? ? a 4 ? x ? 2 ? , a 3 的 则 值为 【答案】-8 .

14.(理) (11 湖北理 15)给 n 个自上而下相连的正方形着 黑色或白色. 当 n ? 4 时,在所有不同的着色方案中,黑色 正方形互不相邻的着色方案如图所示: 由此推断,当 n ? 6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共 有 种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共 有 种. (直接用数字作答) 【答案】21;43 14. ( 文 ) 如 果 一 个 正 四 位 数 的 千 位 数 a 、 百 位 数 b 、 十 位 数 c 和 个 位 数 d 满 足 关 系 ( a - b )( c - d ) < 0 ,则称其为“彩虹四位数”,例如 2012 就是一个“彩虹四位数”. 那么, 正四位数中“彩虹四位数”的个数为 .(直接用数字作答) 【答案】3645 二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 经过原点且与抛物线 y A. 0 【答案】D
? ( x ? 1) ?
2

3 4

只有一个公共点的直线有多少条? C. 2 D. 3

(

)

B.

1

16.(理)正四面体 A B C D 的表面积为 S ,其中四个面的中心分别是 E 、 F 、 G 、 H .设四 面体 E F G H 的表面积为 T ,则 A.
4 9

T S

等于 C.
1 4

( D.
1 3

)

B.

1 9

亿库教育网

http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

【答案】B 16.(文)教室内有一把直尺,无论这把直尺怎样放置,在教室的地面上总能画出一条直线, 使这条直线与直尺 ( ) A. 平行 B. 垂直 C. 异面 D. 相交 【答案】B 17.(理) (11 陕西理 10)甲乙两人一起去游园,他们约定,各自独立地从 1 到 6 号景点中任 选 4 个进行游览,每个景点参观 1 小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是( ) A.
1 36

B.

1 9

C.

5 36

D.

1 6

【答案】D 17.(文) (11 全国新课标理 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组, 每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.
3 4

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 3

【答案】D 18.(理)给出下列四个命题: (5) 若平面 ? 上有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? // ? ; (6) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; (7) 两条异面直线中的一条平行于平面?,则另一条必定不平行于平面?; (8) a、b 为异面直线,则过 a 且与 b 平行的平面有且仅有一个. 其中正确命题的个数是 A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 18.(文)给出下列四个命题: (1) 异面直线是指空间两条既不平行也不相交的直线; (2) 若直线 l 上有两点到平面 ? 的距离相等,则 l // ? ; (3) 若直线 m 与平面 ? 内无穷多条直线都垂直,则 m ? ? ; (4) 两条异面直线中的一条垂直于平面?,则另一条必定不垂直于平面?. 其中正确命题的个数是 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 【答案】C 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定 区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 12 分) P 已知矩形 A B C D 内接于圆柱下底面的圆 O , P A 是圆柱的母线,若 A B ? 6 , A D ? 8 ,异面直线 P B 与 C D 所成的角为 arctan 2 ,求此圆 柱的体积. 解:设圆柱下底面圆 O 的半径为 r ,连 A C , 由矩形 A B C D 内接于圆 O ,可知 A C 是圆 O 的直径,??2 分
A





于是 2 r ? A C ?

6 ?8
2

2

? 10

,得 r ? 5 ,?????4 分
B

D
O C

由 A B ∥ C D ,可知 ? P B A 就是异面直线 P B 与 C D 所成的角, 即 ? P B A ? arctan 2 ,故 tan ? P B A ? 2 .??????7 分 在直角三角形 P A B 中, P A ? A B tan ? P B A ? 1 2 ,????9 分 故圆柱的体积 V ? ? r 2 ? P A ? ? ? 5 2 ? 1 2 ? 3 0 0 ? .?????12 分
亿库教育网 http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

20. (本题满分 14 分)本题共有 4 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小 题满分 4 分,第 4 小题满分 4 分. (理)m 个元素环绕在一条封闭曲线上的排列,称为环状排列.已知 m 个不同元素的环状排列 的所有种数为 ( m ? 1) ! .请利用此结论来解决下列问题,要求列式并给出计算结果. (1)从 10 个不同的元素中选出 8 个元素的环状排列的所有种数为多少? (2)某班 8 个班干部中有 1 个班长,2 个副班长,现在 8 个干部围坐一张圆桌讨论班级事务, 则分别满足下列条件的此 8 人的坐法有多少种? (i)班长坐在两个副班长中间; (ii)两个副班长不能相邻而坐; (iii)班长有自己的固定座位. 解: (1) (2-i) (2-iii)
C10 ? 7 ! ? 2 2 6 8 0 0
8

----------------------3 分 ----------------------6 分
? 3600

5 !? P2 ? 2 4 0
2

(2-ii) 间接法: 7 !? 6 !? P22
7 ! ? 5040

;插空法: 5 !? P62

? 3600

----------------------10 分

----------------------14 分

20.(文)有 8 名学生排成一排,求分别满足下列条件的排法种数. 要求列式并给出计算结果. (1)甲不在两端; (2)甲、乙相邻; (3)甲、乙、丙三人两两不得相邻; (4)甲不在排头,乙不在排尾.
1 解: (1) C 6 ? 7 ! ?

30240

----------------------3 分 ----------------------6 分 ----------------------10 分 ----------------------14 分

(2) 7 !? P2 (3) 5 !? P6 (4)

2

? 10080

3

? 14400
1 1

7 !? C 6 ? C 6 ? 6 ! ? 3 0 9 6 0

P
21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分, 第 2 小题满分 7 分 . (理)12 闵行三模理) ( 如图, 在四棱锥 P ? A B C D 中, 底面 A B C D 是矩形, P A ? 平面 A B C D , A P ? A B ? 2 , A D 次是 P B 、 P C 的中点. (1)求直线 E C 与平面 P A D 所成的角(结果用反三角函数值表 示); (2)求三棱锥 P ? A F D 的体积. (1)解法一:分别以 A B、 A D 、 A P 为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,各点坐标分别 是
A (0,0,0) , B (2,0,0) , C (2,4,0) , D (0,4,0) , P (0,0,2) ,∴ E (1,0,1) , F (1,2,1) , ???? E C ? (1,4, ? 1) , (2 分)
? 4

E A B

F D C

, E、 F 依

P E A

z

F D y C

又∵ A B ? 平面 P A D ,

? ??? ? ∴平面 P A D 的法向量为 n ? A B ? ( 2, 0, 0 ) ,

(4 分) B

设直线 E C 与平面 P A D 所成的角为 ? ,则
亿库教育网 http://www.eku.cc

x

亿库教育网

http://www.eku.cc

???? ? E C ? n? s in ? ? ???? ? | EC | ? | n |

2 2 ? , 6 18 ? 2

(6 分)
2 . 6

∴直线 E C 与平面 P A D 所成的角为 a rc s in

(7 分)

解法二:∵ P A ? 平面 A B C D ,∴ C D ? P A ,又 CD ? AD ,∴ C D ? 平面 P A D ,取 P A 中
、 点 G , C D 中 点 H , 联 结 E G、 G H G D, 则 E G / / A B / / C D且
EG ? 1 2 A B =1 ,? E G H C 是平行四边形,

P G A F H D

∴ ? H G D 即为直线 E C 与平面 P A D 所成的角. 在 R t ? G A D 中, G D ? 1 2 +4 2 = 1 7 ,
HD ? 在 R t ? G H D 中, ta n ? H G D ? GD 1 17 ? , 17 17

(3 分)

E

(6 分) (7 分)
????
???? ? ???? ?

B

C

∴直线 E C 与平面 P A D 所成的角为 a rc ta n
????
?

17 . 17

(2)解法一:由(1)解法一的建系得, A F ? (1,2,1) , A D ? (0,4,0) ,设平面 A F D 的法向
? 量为 n ? ( x , y , z ) , P 到平面 A F D 的距离为 d , AF n ? 0 ,A D ? n ? 0 得 x ? 2 y ? z ? 0 点 由

且 4 y ? 0 ,取 x ? 1 得 n ? (1, 0, ? 1) , ∴d ?
? n ???? ???? 又 AF ? FD ? ??? ? ? AP ? n ? 2 ? 2 2 ,

?

(9 分) (11 分)
6?4 ? 2 2 ,

6 ,∴ S △ A F D ? 2 ?

(13 分) (14 分)
2,

∴V P ? AFD ?

1 4 ?2 2? 2 ? . 3 3

解法二:易证 P E 即为三棱锥 P ? A F D 底面上的高,且 P E ? 底面 △ A F D 边 A D 上的高等于 A E ,且 A E ?
V P ? AFD ? 1 1 4 ? ? 4? 2? 2 ? . 3 2 3

(11 分)

2 ,∴ S △ A F D ? 2 2 (13 分)

(14 分) (11 分) (14 分)

解法三:依题意, E F // 平面 P A D ,∴ V P ? A F D ? V F ? P A D ? V E ? P A D ? V D ? P A E
V D ? PAE ? 1 1 1 1 4 ? ? ? PA ? AB ? AD ? ? 2? 2? 4 ? . 3 2 2 12 3

21.(文) (本题满分 14 分) 如图,在北纬 60°线上,有 A、B 两地,它们分别在东经 20° 和 140°线上,设地球半径为 R,求 A、B 两地的球面距离. 0 0 0 解:设纬线圈半径为 r,据题意,∠AO1B=140 -50 =90 .(2 分)
? r ? R co s ? O A O 1 ? R co s 6 0 ?
0

1 2

R (? ? O A O 1 ? ? A O C ? 6 0 )
0



(5 分) 在 Rt△AO1B 中, A B 2 又在 Δ AOB 中, sin
1 2 ? r ? r ? 2 r ? co s 1 2 0 ? 3 r ? A B ?
2 2 2 0 3

3r ?

3 2

R

(8 分) (11 分)

?AOB ?

3 4

? ? A O B ? 2 a rc sin

3 4

亿库教育网

http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

∴A、B 两地的球面距离 A B

?

? 2 R a rc s in

3 4

(14 分)

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. (理)(本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第一小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分。 (本题取前 2 小题作为文 22 题,满分 16 分, A 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 10 分) 如图,点 P 为斜三棱柱 ABC ? A1 B 1 C 1 的侧棱 BB 1 上一点,
PM ? BB 1 交 AA 1 于点 M

B P M N

, PN ? BB 1 交 CC 1 于点 N .

C

(1)求证: CC 1 ? MN ; (2)在任意 ? DEF 中有余弦定理:
DE
2

. 拓展到空间, 类比三角形的余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其 B1 C1 中两个侧面所成的二面角之间的关系式,并予以证明。 (3)在(2)中,我们看到了平面图形中的性质类比到空间图形的例子,这样的例子还有不 少。下面请观察平面勾股定理的条件和结论特征,试着将勾股定理推广到空间去。
? DF
2

? EF

2

? 2 DF ? EF cos ? DFE

A1

勾股定理的 类比 条件 结论

三角形 ABC

四面体 O-ABC

AB⊥AC AB2+AC2=BC2

OA、OB、OC 两两垂直

? CC 1 ? MN
2
1 A1

请在答题纸上完成上表中的类比结论,并给出证明. (1)证: ? CC 1 // BB 1 ? CC 1 ? PM , CC 1 ? PN , ? CC 1 ? 平面 PMN (2)解: 在斜三棱柱 ABC
? A1 B 1 C 1

; 分) (4
1 B1

中, S ABB 1 A1 有 2

? S BCC

2

1 B1

? S ACC

? 2 S BCC

? S ACC

1 A1

cos ?

, 其中 ? 为

平面 CC 1 B1 B 与平面 CC 1 A1 A 所组成的二面角.
? CC 1 ? 平面 PMN , ? 上述的二面角为 ? MNP

(7 分) , ,

在 ? PMN 中, P M ? PM
2

2

? PN
2

2

? MN
2

2

? 2 P N ? M N co s ? M N P
2
1

CC

2
1

? PN CC

2
1

? MN CC

? 2 ( PN ? CC
1

) ? ( MN ? CC
1

) cos ? MNP

由于 S BCC 1 B 1
? 有 S ABB
2
1 A1

? PN ? CC
1

, S ACC
2

1 A1

? MN ? CC
1

, S ABB

1 A1

? PM ? BB 1

, (10 分)

? S BCC

2

1 B1

? S ACC

1 A1

? 2 S BCC

1 B1

? S ACC

1 A1

cos ?

.

(3)空间勾股定理的猜想:
2 已知四面体 O-ABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直,则有 S ? O A B

? S ?OAC ? S ?OBC ? S ?ABC
2 2 2

.

(13 分) 证法一:作 OD⊥AB,垂足为 D,连结 CD
S ?ABC ?
2

1 4
2

? AB ? CD
2
2

2

?
2

1 4

? A B ? (O C
2
2

2

? OD ) ?
2
2 2

1 4

? AB ? OC
2

2

?
2

1 4

? AB ? OD
2
2 2

2

?

1 4

? (O A ? O B ) ? O C

? S ?AOB ?

1 4

?OA ?OC

?

1 4

?OB ?OC
2

? S ?AOB ? S ?AOC ? S ?COB ? S ?AOB
2 2

(16

分) 证法二:作 OH⊥平面 ABC,垂足为 H,易得 H 为△ABC 的垂心。连结 CH 并延长交 AB 于 E,连 结 OE,则有 OE⊥AB。
亿库教育网 http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

在△OAB 中, S ? O A B

?

1 2

A B ? O E ? S ?OAB ?
2

1 4

AB ? OE
2

2

在 Rt△EOC 中, O E 2
? S ?OAB ?
2

? EH ? EC
1 2 AB ? EH ) ? ( 1 2 A B ? E C ) ? S ?HAB ? S ?CAB

1 4

AB ? (EH ? EC ) ? (
2

2 同理,? S ? O A C

? S ?HAC ? S ?BAC
2

2 ,? S ? O B C

? S ?HBC ? S ?ABC
2

于是 S ? O A B
2

? S ?OAC ? S ?OBC ? ( S ?HAB ? S ?HAC ? S ?HBC ) ? S ?ABC ? S ?ABC
2

(16 分)

证法三:建立空间直角坐标系,设 A ( a , 0, 0 ) , B (0, b , 0 ) , C (0, 0, c ) 作 OD⊥AB,垂足为 D,则 平方相加: x 2 y 2
S ?ABC ?
2

???? ??? ? ?O D ? AB ? 0 ? ax ? by ? 0 ? D ( x , y , 0 ) 满足 ? ???? ???? ? A B // A D ? b x ? y ( x ? a ) ? b x ? a y ? x y ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

? a x ? b y ? a y ? b x ? ( a ? b )( x ? y )
2 2
2

1 4
1 4

AB ? CD
2

?
2

1 4

( x ? y ) ? (a ? b ? z ) ?
2 2 2 2 2

1 4

( x ? y ) ? (a ? b ) ?
2 2 2 2
2

1 4

(x ? y ) ? z
2 2

2

?

x y ?
2 2

1 4

x z ?
2

1 4

y z ? S ?OAB ? S ?OAC ? S ?OBC
2 2 2 2

(16 分)

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 在平面直角坐标系中, O 为坐标原点. 已知曲线 C 上任意一点 P ( x , y ) (其中 x ? 0 ) 到定点 F (1 , 0 ) 的距离比它到 y 轴的距离大 1. (1)求曲线 C 的轨迹方程;
???? ???? ? ?

(2)若过点 F (1 , 0 ) 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的 A , B 两点,求 O A ? O B 的值; (3)若曲线 C 上不同的两点 M 、 N 满足 O M ? M N ? 0, 求 O N 的取值范围. 解: (1)依题意知,动点 P 到定点 F (1 , 0 ) 的距离等于 P 到直线 x ? ? 1 的距离,曲线 C 是 以原点为顶点, F (1 , 0 ) 为焦点的抛物线 ∵
p 2 ? 1∴ p ? 2

??? ??? ? ?

????

∴ 曲线 C 方程是 y ? 4 x
2

(4 分) 解得 A (1, 2 ) 、 B (1, ? 2 ) (6 分)

(2)当 l 平行于 y 轴时,其方程为 x ? 1 ,由 ? 此时 O A ? O B =1 ? 4 = ? 3 当 l 不平行于 y 轴时,设其斜率为 k , 则由 ?
? ? y ? k ( x ? 1) y ? 4x
2

? ?y

x ?1
2

? 4x

??? ??? ? ?

得 k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0
2 2 2 2

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,则有 x1 x 2 ? 1 , x1 + x 2 ?
??? ??? ? ?

2k ? 4
2

k

2
2 2

(8 分)
2

∴ O A ? O B = x1 x 2 ? y1 y 2 = x1 x 2 ? k ( x1 ? 1) k ( x 2 ? 1) ? (1 ? k ) x1 x 2 ? k ( x1 ? x 2 ) ? k
=1+k ? k ?
2 2

2k ? 4
2

k

2

?k

2

? 1 ? 4 ? ?3

(10 分)

亿库教育网

http://www.eku.cc

亿库教育网

http://www.eku.cc

(3)设 M (

y1 4

2

, y 1 ), N (

y2 4

2

, y2 )

2 2 2 ???? ? ???? ? y y ? y1 O M ? ( 1 , y 1 ), M N ? ( 2 , y 2 ? y1 ) ∴ 4 4 ???? ???? ? ? ∵OM ? MN ? 0



y1 ( y 2 ? y1 )
2 2 2

16

? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 0
16 y1 )

∵ y 1 ? y 2 , y 1 ? 0 ,化简得 y 2 ? ? ( y 1 ? ∴ y 2 ? y1 ?
2 2

(12 分) (14 分)

256 y1
2

? 32 ? 2

256 ? 32 ? 64

当且仅当 y 1 ?
2

256 y1
2 2

2

, y 1 ? 16 , y 1 ? ? 4 时等号成立
2

∵ | O N |?

????

(

y2 4

4 ???? ???? 2 | ∴当 y 2 ? 6 4 , y 2 ? ? 8, O N | m in ? 8 5, 故 | O N | 的取值范围是 [ 8 5 , ?? )

) ? y2 ?
2

1

( y 2 ? 8 ) ? 6 4, 又 ? y 2 ? 6 4
2 2 2

(16 分) (18 分)

亿库教育网

http://www.eku.cc


推荐相关:

上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 理科数学试题

上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 理科数学试题上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 理科数学试题隐藏>> 上海重点中学 2011-2012 学年度第二学...


上海重点中学2011-2012学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科)

上海重点中学 2011-2012 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题(本大题满分 56 分)...


2011-2012学年高二数学下学期期末考试试题 理

上海重点中学2011-2012学年... 12页 免费 四川省资阳市2011-2012学年... 11...2011-2012 学年高二下学期期末考试数学()试题 一.选择题(14 ? 5 分=70 ...


上海重点中学2011-2012学年下学期高二年级

上海重点中学2011-2012学年下学期高二年级。上海重点中学 2011-2012 学年下学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120...


上海市重点中学2011-2012学年高二下学期期中考试 数学试题

上海市重点中学2011-2012学年高二下学期期中考试 数学试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。上海市重点中学2011-2012学年高二下学期期中考试 数学试题上海...


2011-2012学年高二数学下学期期末考试试题 文

上海重点中学2011-2012学... 12页 免费 2011-2012学年高二数学下... 暂无评价...2011-2012 学年高二下学期期末考试数学(文)试题一.选择题(14 ? 5 分=70 ...


上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 语文试题

上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 语文试题_高二语文_语文_高中教育...25. 《劝学》在说方法上与本文第②段画线处有明显相似处,请对此加以分析...


上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 物理试题

上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 物理试题_高二理化生_理化生_高中教育_教育专区。上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 物理试题上海...


上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 政治试题

上海重点中学2011-2012学年高二下学期期末考试 政治试题_高二政史地_政史地_高中...有、有礼、有 节地应对和处理,这充分体现了事物的发展是___和___的统一...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com