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一元二次不等式的解法(含参不等式)


一元二次不等式的解法
(第三课时)

含参数的不等式

1、分式不等式
1 、

f ( x) ?0 g ( x)

f ( x) ?0 g ( x)

2、指数、对数不等式
①当 a

a f ( x)
②当

? 1时 ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)
0 ? a ?1时

loga f ( x) ? loga g (x) ? f (x) ? g (x) ? 0

a f ( x) ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

loga f ( x) ? loga g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x)

题型与解法
(一)含参数的一元二次不等式的解法

例1

解关于x不等式:

(x-1)(x+a)> 0

题型与解法
含参数的一元二次不等式的解法 练习1: 解关于x不等式: x2 – ax – 6a2 < 0. 解:原不等式可化为:(x – 3a)(x +2a) < 0. ①当a=0时,x2 < 0,无解; ②当a>0时,3a > -2a,则有-2a<x<3a; ③当a<0时, 3a < -2a,则有3a<x<-2a. 综上, 当a=0时,原不等式的解集为空集; 当a>0时,原不等式的解集为{x|-2a<x<3a}; 当a<0时,原不等式的解集为{x|3a<x<-2a}.

题型与解法
(一)含参数的一元二次不等式的解法

例2

解关于x不等式:

x2_2ax+1< 0

题型与解法
(一)含参数的二次不等式

例3:关于x不等式: ax2 – (a+1)x +1 >0.

(一)含参数的二次不等式 解含参的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a∈R), 把讨论对象逐级讨论,逐步解决。

归纳小结

第一级讨论: 二次项系数a,分为a=0,a≠0进行讨论;目的判断次数 第二级讨论: 判别式△,分为△>0,△=0, △<0进行讨论;目的画图求根。 第三级讨论: 按方程根的大小,若x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,分 为x1>x2, x1=x2 , x1<x2 进行讨论,目的画图写解集.
注意:1、一定画函数的图像(数形结合).

2、一定考虑二次项系数正负(开口方向)

题型与解法
二:不等式和方程的关系

若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解 集是{x|-2<x<3},求不等式
2

cx ? bx ? a ? 0 的解集.
2

题型与解法
(三)二次不等式的恒成立 例4: 已知关于x下列不等式: (a-2)x2 + (a-2)x +1 ≥0对任意x∈R都成立 试求a的取值范围. 解:令y=(a-2)x2 + (a-2)x +1,

△=(a-2)2-4(a-2) =(a-2)(a-6) ①当a=2时,不等式1 ≥0符合题意;
②当a>2时,则△≤0,有2<a≤6;

③当a<2时,不符合题意舍去; 综上,所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.

题型与解法
(二)不等式的恒成立

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

?a ? b ? 0 ?a ? 0 或? ax ? bx ? c ? 0恒成立 ? ? ?c ? 0 ?? ? 0
2

题型与解法
(三)逆向问题

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

[思路分析 ] 由不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 对应的方程

1 1 ax ? bx ? 2 ? 0 的两根为 ? , , 可利用二次方程 2 3
2

求出 a, b.

题型与解法
(三)逆向问题

1 1 解法一:∵不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0的解集为 ( ? , ), 2 3
2

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

1 1 ∴方程 ax ? bx ? 2 ? 0 的两根为 ? , , 2 3 1 ?1 a ? b ? 2 ? 0, ? ?4 ?a ? ?12, 2 ?? ? a ? b ? ?10. 得? ? a ? 1 b ? 2 ? 0. ?b ? ?2. ? ?9 3

题型与解法
(三)逆向问题

1 1 解法二:∵不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0的解集为 ( ? , ), 2 3
1 1 ∴方程 ax ? bx ? 2 ? 0 的两根为 ? , , 2 3 b ? 1 1 ? ? ?? , a ? ?12, ? ? a 由韦达定理得 ? 2 3 得? ? b ? ?2. ? 1 1 2 ?( ? ) ? ( ) ? , ? a ? b ? ?10. ? 3 a ? 2
2

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

题型与解法
(三)逆向问题

1 1 解法三:∵不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0的解集为 ( ? , ), 2 3 1 1 a a 2 2 ? (ax ? bx ? 2) ? a( x ? )( x ? ) ? ax ? x ? , 2 3 6 6
? a ? ? 2, ? 6 ?a ? ?12, 由待定系数法得 ? ? ? a ? b ? ?10. ?? a ? ? b, ?b ? ?2. ? ?6

1 1 ( ? , ), 求a-b 的值. 2 3

例2.已知不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为
2

题型与解法
(三)逆向问题
2

变式训练2

若不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解

1 集是 {x | ? ? x ? 2} ,求不等式 3 2 cx ? bx ? a ? 0 的解集.

1 {x | ?3 ? x ? } 2

课堂练习
1.下列不等式中,解集为实数集R的是( D ) (A) ( x ? 1) ? 0
2

(B) | x3 ? 8 |? 0

(C) | x |? 0

(D)
2

x ? 2x ? 3 ? 0
2
2

2.当 a ? 0时, 不等式x ? ax ? 12a ? 0 的解是(C)
(A) x ? ?3a或x ? 4a (B) ? 3a ? x ? ?4a (C) 4a ? x ? ?3a (D) ? 3a ? x ? 4a

课堂练习
3.(1)不等式ax2+bx+2>0的解集是
{x|-1/2<x<1/3},则a+b= -14 (a=-12,b=-2) . (2)关于x不等式ax2+bx+c>0的解集是 {x|x<-2或x>1/2},则关于x的不等式 ax2-bx+c<0的解集为 {x|-1/2<x<2} . ⑶ 对于任意实数x,ax2+4x-1≥-2x2-a,对 于任意实数恒成立,则实数a的取值范围 为 a≤-3或a≥2 . 4.当m为何值时,方程x2-2mx+2m+3=0 (1)有两个负实数根? -3/2<m≤-1 (2)有一个正根,一个负根. m<-3/2 (3)两根大于2. 3≤m< 7/2

课堂小结
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下,但必须注意前后的等价; 2.一元二次方程根的分布问题; 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a

x1

x2

课后作业

1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题; 2.课时作业.

本节课到此结束,请同学们 课后再做好复习。谢谢!

再见!


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