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函数的单调性与最值


第一讲:函数的性质(一)
----函数的单调性与最值

高思教育高中数学 张春曼

目录
要点解析

例题精讲

函数的单调性
如果函数 f ? x ? 对区间 D 内的仸意 x1 , x2 ,当 x1 ? x2 时都有 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,则称 当 x ? x 时都有 f ? x ? ? f ? x ? , 则 f ? x ? 在 D 内时减函数. f ? x ? 在 D 内是增函数;
1 2

1

2

单调性的等价形式
a,b ? 设 x1, x2 ? ? ,那么 ? ?
1 2

f ? x ? ? f ? x ? ? 0 ? f x 在 ? a,b ? 是增函数; ? ? ? ? x ?x
1 2 1 2

f ? x ? ? f ? x ? ? 0 ? f x 在 ? a,b ? 是减函数; ? ? ? ? x ?x
1 2

a,b ? 是减函数. f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 0 ? f (x) 在 ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? ?

判断函数单调性的方法

判断函数单调性的方法
定义法 利用已知函数 利用奇偶性 图像法 反函数 特殊函数 利用导数 ①取值;②作差;③定号;④下结论 复合函数的单调性问题:同增异减 奇函数对称区间内相同的单调性;偶函数相反 画出已知函数的图像,证明其单调性 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 常见特殊函数的单调性,记住结论:对勾函数 高一暂时没有学习

函数的最值

前提

设函数 y ?

f ( x) 的定义域为 I

,如果存在实数 M 满足 ①对于仸意 x ? I ,都有
f ( x) ? M

①对于仸意 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; 条件 ②存在 x0 ? I ,使得 f ? x0 ? ? M 结论
M 为最大值



②存在 x0 ? I ,使得
f ? x0 ? ? M

M 为最小值

考点精讲:具体函数的单调性
【答案】设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,

【例1】

f ( x) ? a
ax (a ? 0) 在 (- 1,1) 上的 x ?1

讨论函数 f ( x) ? 单调性.

x ?1?1 1 ? a (1 ? ) x ?1 x ?1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a (1 ? ) ? a(1 ? ) x1 ? 1 x2 ? 1

?a

x2 ? x1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 函数 f ( x) 在 (- 1,1) 上递减;
当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 函数 f ( x) 在 (- 1,1) 上递增.

【例2】 试讨论函数 f ( x) ? 1 ? x 2 在区间[-1,1]上的单调性.
【答案】设 x1、x2 ? [-1,1] 且 x1<x2 ,即-1 ? x1<x2 ? 1 .

f ? x1 ?-f ? x2 ? ? 1 ? x12 - 1 ? x22
=

(1 ? x12 ) ? (1 ? x2 2 ) 1 ? x12 ? 1 ? x2 2

=

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 1 ? x12 ? 1 ? x2 2
? x2>0 ,那么 f ? x1 ?>f ? x2 ? .

∵ x2-x1>0 ,

1 ? x12 ? 1 ? x22 ? 0 ,∴当 x1>0,x2>0 时, x1

当 x1<0,x2<0 时, x1 ? x2<0 ,那么 f ? x1 ?<f ? x2 ? . 故 f ? x ? ? 1 ? x 2 在区间 [-1,0]上是增函数, f ? x ? ? 1 ? x 2 在区间 上是减函数. [0,1 ]

考点精讲:抽象函数的单调性
【例3】
已知函数 f ? x ? 对于仸意 x,y ? R ,总有 f ? x ? ? f ? y ? ? f ( x ? y) ,且当 x>0 时, f ? x ?<0 , f (1) ? ? (1)求证: f ? x ? 在 R 上是减函数;
3,3] 上的最大值和最小值. (2)求 f ? x ? 在 [-

2 3

【答案】(1)证明: , 在 R 上仸取 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? d ? 0 , x1 ? x2 ? d

f (x ) ? f (x ) ? f (x ? d) ? f (x ) ? f (d) .又∵ x ? 0 时, f ? x ? ? 0,
1 2 2 2

而 x1 ? x2 ? d ? 0 ,∴ f (x1-x2 ) ? 0,即 f (x1) ? f (x2 ) 因此 f ? x ? 在 R 上是减函数.

(2)解∵ f ? x ? 在 R 上是减函数, ∴ f ? x ? 在 [-3,3] 上也是减函数, ∴ f ? x ? 在 [-3,3] 上的最大值和最小值分别为 f (?3) 与 f ? 3? . 而 f ?3? ? 3 f ?1? ? -2 , f (-3) ? - f ?3? ? 2 ∴ f ? x ? 在 [-3,3] 上的最大值为 2,最小值为-2.

【例4】

+?) 上的函数 f ( x) 满足 f ( 已知定义在区间 [0,

x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,且当 x ? 1 时, f ? x ?< 0. x2

(1)求 f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的单调性; (3)若 f (3) ? ?1 ,求 f ( x) 在 ? 2,9? 上的最小值.

【答案】(1)令 x1 ? x2 ? 0 ,代入得 f (1) ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,故 f ?1? ? 0 .
(2)仸取 x 1 , x2 ? (0, +?) , x 1 ? x2 ,则 x1 >1 ,由于当 x ? 1 时, f ? x ?<0 ,所以 f ( x1 ) ? 0 ,即
x2 x2

+?) 上是单调递减函数. f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,因此 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) 在区间 [0,
+?) 上是单调递减函数.∴ f ( x) 在 ? 2,9? 上的最小值为 f (9) . (3)∵ f ( x) 在 [0,

由 f ( x1 ) ?
x2

9 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )得, f ( ) ? f (9) ? f (3) 而 f (3) ? ?1 ,所以 f (9) ? ?2 3

∴ f ( x) 在 ? 2,9? 上的最小值为-2.

考点精讲:函数单调性的应用
【例5】 已知函数 f (x) ?
x2 ? a (a ? 0) 在 (2, ??) 上递增,求实数 a 的取值范围. x

【解析】已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间, 反乊已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围,可通 过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解
【答案】设 2 ? x1 ? x2 由已知条件

f (x ) ? f (x ) ? x ? a ? x ? a x x ? (x ? x ) ? a x ? x ? (x ? x ) x x ? a ? 0 xx xx
2 1 2 2 1 2 1 2
2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

恒成立.

即当 2 ? x1 ? x2 时, x1 x2 ? a 恒成立.又 x1 x2 ? 4 ,则 0 ? a ? 4

【例6】

已知 f ? x ? 是定义在 (-2, 2) 上的减函数,并且 f (m ? 1) ? f (1 ? 2m) ? 0 ,求实数 m 的取值范围.

【答案】∵ f ? x ? 在 (-2, 2) 上是减函数 ∴由 f (m ? 1) ? f (1 ? 2m) ? 0 ,得 f (m ? 1) ? f (1 ? 2m)

? ??1 ? m ? 3 ??2 ? m ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 1 ∴ ??2 ? 1 ? 2m ? 2, 即 ?? ? m ? 2 ? m ? 1 ? 1 ? 2m ? 2 ? 2 ? m? ? 3 ?

解得 ?

1 2 ? m ? ,∴ m 的取值范围是 (? 1 , 2 ) 。 2 3 2 3

拓展

当 x ? ?1,2? 时,不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是________.

4 【解析】方法一:当 x ? ?1,2? 时,不等式 x 2 ? mx ? 4 ? 0 可化为: m ? ?( x ? ) , x 4 又函数 f ( x) ? ?( x ? ) 在 (1, 2) 上递增,则 f ( x) ? ?5 ,则 m ? ?5 x
g ( x) ? x 2 ? mx ? 4

方法二:设

当?

m 3 m 3 ? ,即 m ? ?3 时, g ( x) ? g (2) ? 8 ? 2m ,当 ? ? ,即 m ? ?3 时, 2 2 2 2

?m ? 3 g ( x) ? g (1) ? 5 ? m 由已知条件可得: ? 解得 m ? ?5 ?8 ? 2m ? 0

【答案】 (??,5]

考点精讲:复合函数的单调性

复合函数的概念
如果 y 是 u 的函数,记作 y ? f (u ) , u 是 x 的函数,记为 u ? g ( x) ,且 g ( x) 的值域与 f (u ) 的定义域的 交集非空,则通过 u 确定了 y 是 x 的函数 y ? f [ g ( x)] ,这时 y 叫做 x 的复合函数,其中 u 叫做中间变量,
u ? f (u ) 叫做外层函数, u ? g ( x) 叫做内层函数.

注意:只有当外层函数 f (u ) 的定义域与内层函数 g ( x) 的值域的交集非空时才能构成复合函数
f [ g ( x)] .

考点精讲:复合函数的单调性

复合函数单调性的判定
定理:设函数 u ? g ( x) 在区间 M 上有意义,函数 y ? f (u ) 在区间 N 上有意义,且当 X ? M 时,
u ? N .有以下四种情况:

(1)若 u ? g ( x) 在 M 上是增函数, y ? f (u ) 在 N 上是增函数,则 y ? f [ g ( x)] 在 M 上也是增函数; (2)若 u ? g ( x) 在 M 上是增函数, y ? f (u ) 在 N 上是减函数,则 y ? f [ g ( x)] 在 M 上也是减函数; (3)若 u ? g ( x) 在 M 上是减函数, y ? f (u ) 在 N 上是增函数,则 y ? f [ g ( x)] 在 M 上也是减函数; (4)若 u ? g ( x) 在 M 上是减函数, y ? f (u ) 在 N 上是减函数,则 y ? f [ g ( x)] 在 M 上也是增函数. 即:同增异减. 注意:内层函数 u ? g ( x) 的值域是外层函数 y ? f (u ) 的定义域的子集.

考点精讲:复合函数的单调性
【例7】(1) f ? x ? ? 8 ? 2x ? x ,如果 g ? x ? ? f ( 2 ? x ) ,那么函数 g ? x ? (A)
2

2

A.在区间 (?1,0) 上是减函数 C.在区间 (?2,0) 上是增函数

B.在区间 (0,1) 上是减函数 D.在区间 (0, 2) 上是增函数
x ?1 ) 的单调递减区间是( ) x ?1

(2) f ( x)( x ? R ) 的图象如图所示,则函数 g ( x) ? f ( A. (??,0], (1, ??) B. (?1,1),(1, 2)

A

C. (??,1], (1, ??)

D. [?1,1)

考点精讲:复合函数的单调性
【例8】
已知 f ? x ? 是定义在 R 上的增函数,对 x ? R 有 f ? x ? ? 0 ,且 f ? 5? ? 1 ,设 F ? x ? ? f ? x ? ? 讨论 F ? x ? 的单调性,并证明你的结论.
1 , f ? x?

在 R 上任取 x1、x2 ,设 x1<x2 ,∴ f ( x2 )>f ( x1 ) , F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? [ f ( x2 ) ?

1 1 1 ] ? [ f ( x1 ) ? ] ? [ f ( x2 ) ? f ( x1 )][1 ? ] f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 )

∵ f ? x ? 是 R 上的增函数,且 f ? 5? ? 1 ,∴当 x ? 5 时 0 ? f ( x) ? 1 ,而当 x ? 5 时 f ( x) ? 1 ; ① x1 ? x2 ? 5 ,则 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ,∴ 1 ? ② 若 x2 ? x1 ? 5 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 1 , ∴ f ( x2 ) f ( x1 ) ? 1 ∴ 1 ?
1 ? 0 ∴ F ( x2 ) ? F ( x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 1 ? 0 ∴ F ( x2 ) ? F ( x1 ) ; f ( x1 ) f ( x2 )

综上, F ( x) 在 (??,5) 为减函数,在 (5, ??) 为增函数


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