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2.1函数及其表示


第二章 函数、导数及其应用 第一节 函数及其表示

【知识梳理】

1.必会知识

教材回扣

填一填

(1)函数与映射的概念: 类别 集合 A,B 条 件 对应 关系 f 函数 映射 集合 A,B是两个非空的_____ 对于集合A中的每一个 唯一 的 元素x,B中总有_____ 一个元素y与它对应

数集 A,B是两个非空的_____
任意 一个 对于集合A中的_____ 唯 数x,在集合B中都存在___ 一确定 的数f(x)与之对应 _______

类别
结论

函数
把对应关系f叫作定义在集合A 上的函数 y=f(x),x∈A 函数:f:A→B或____________

映射
称对应关系f为从A 到B的一个映射

记法

映射:f:A→B

(2)映射中像与原像、一一映射: 像与 原像 A中的元素x 称为原像,_______________ B中的对应元素y 称为x的 ___________ x→y 像,记作f: _____ 唯一 的像与之对应; ①A中每一个元素在B中都有_____ 一一 映射 也不同 ②A中的不同元素的像_______; 原像 ③B中的每一个元素都有_____

(3)函数的三要素:

定义域 、_________ 对应关系 和_____ 值域 三个要素构成,对函数y=f(x), 函数由_______
x∈A,其中 ①定义域:集合A; ②值域:集合{f(x)|x∈A}. (4)函数的表示法: 解析法 、_______ 列表法 、_______. 图像法 表示函数的常用方法有:_______

(5)分段函数:

对应关系 不同而分别用几个不同 若函数在定义域的不同子集上,因_________
的式子来表示,这种函数称为分段函数.

2.必备结论

教材提炼

记一记

(1)映射:①映射是函数的推广,函数是特殊的映射,A,B为非空数集的

映射就是函数;
②映射的两个特征:一是在A中取元素的任意性,二是在B中对应元素的

唯一性;
③映射问题允许多对一,但不允许一对多.

定义域 和_________ 对应关系 完全 (2)判断两个函数相等的依据是两个函数的_______ 一致.

并集 其值域等于各 (3)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_____,
并集 分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一 段函数的值域的_____,

个函数.
(4)与x轴垂直的直线和一个函数的图像至多有1个交点.

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:利用待定系数法、换元法、配凑法、消去法确定函数解
析式. (2)数学思想:数形结合、分类讨论. (3)记忆口诀:抽象函数不要怕,赋值方法解决它; 分段函数分段算,并到一起保平安.

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 ( ) ( )

(1)函数是建立在其定义域到值域的映射.

(2)若函数的定义域和值域相同,则这两个函数是相等函数. (3)函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t是同一函数. ( (4)f(x)=
x ? 3 ? 2 ? x 是一个函数.

)

(

)

【解析】(1)正确.函数是特殊的映射. (2)错误.如函数y=x与y=x+1的定义域和值域都是R,但它们的对应关 系不同,不是相等函数. (3)正确.函数f(x)=x2-x与g(t)=t2-t的定义域和对应关系相同. (4)错误.因定义域为空集. 答案:(1)√ (2)〓 (3)√ (4)〓

2.教材改编

链接教材

练一练
2x ? 1 ? 1 的定义域为( x?2

(1)(必修1P34B组T1改编)函数f(x)= A.[0,2) C.[0,2)∪(2,+∞)

)

B.(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)

?2x ? 1 ? 0, 【解析】选C.由题意得 ? 解得x≥0且x≠2. ? x ? 2 ? 0,

(2)(必修1P31练习T2改编)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}, 值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图像可能是 ( )

【解析】选B.选项A,定义域为{x|-2≤x≤0},不正确.选项C,当x在 (-2,2]取值时,y有两个值和x对应,不符合函数的概念.选项D,值域为 [0,1],不正确,选项B正确.

3.真题小试

感悟考题

试一试
2?x

(1)(2015·宝鸡模拟)函数f(x)=ln(x-1)+ 3x ? 5 的定义域为( A.[1,2] B.(1,2) C.[1,2)
x ? 1 ? 0, ? 2 ? x ? 0,

)

D.(1,2] 解得1<x<2.

【解析】选B.要使f(x)有意义,需 ? ?

? x, x ? ? ??,a ? , (2)(2014·上海高考)设f(x)= ? 若f(2)=4,则a的取值范 ? 2 ? ? x , x ? ?a, ?? ? ,

围为

.

【解析】因为f(2)=4,所以2∈[a,+∞),所以a≤2,则a的取值范围为 (-∞,2]. 答案:(-∞,2]

(3)(2015·新余模拟)已知函数f(x)= a= .

x ? 1 .若f(a)=3,则实数

【解析】因为f(a)=

a ? 1 =3,所以a-1=9,即a=10.

答案:10

考点1

求函数的定义域
1

【典例1】(1)(2014·山东高考)函数f(x)=

? log 2 x ?

2

的定义域为
?1

(

)

A.(0, 1 )

2 C.(0, 1 )∪(2,+∞) 2

B.(2,+∞)

D.(0, 1 )∪[2,+∞)
2

(2)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为 ( A.(-1,1) C.(-1,0) B.(-1,- 1 )
2

)

D.( 1 ,1)
2

【解题提示】(1)根据解析式,构建使其有意义的不等关系求解. (2)明确函数f(x)中的x与函数f(2x+1)中2x+1的关系,列不等式求解. 【规范解答】(1)选C.(log2x)2-1>0,即log2x>1或log2x<-1,解得x>2或 0<x< 1 .故所求的定义域为(0, 1 )∪(2,+≦).
2 2

【一题多解】解答本题,还有以下解法
选C.令x= 1 ,则(log2 1 )2-1=3>0,排除B.令x=4,则(log24)2-1=3>0,所
4 4

以排除选项A.令x=2,则(log22)2-1=0,排除D.故选C.
(2)选B.由函数f(x)的定义域为(-1,0),则使函数f(2x+1)有意义,需
1 满足-1<2x+1<0,解得-1<x<- 1 ,即所求函数的定义域为(-1,- ). 2 2

【互动探究】若本例(2)中条件变为:“函数f(x-1)的定义域为(-1,

0)”,则结果如何?
【解析】因为f(x-1)的定义域为(-1,0),即-1<x<0,所以-2<x-1<-1,

故f(x)的定义域为(-2,-1),则使函数f(2x+1)有意义,需满足-2<2x+1
<-1,解得- 3 <x<-1.所以f(2x+1)的定义域为(- 3 ,-1).
2 2

【规律方法】
1.求函数定义域的类型及方法

(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.
(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式 (组)求解.

(3)抽象函数:①若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的
定义域由不等式a≤g(x)≤b求出;

②若已知函数f(g(x))定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在
x∈[a,b]时的值域.

2.求函数定义域的注意点

(1)不要对解析式进行化简变形,以免定义域变化.
(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成

时,定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集.
(3)定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示,不能用 “或”连接,而应该用并集符号“∪”连接.

【变式训练】(2015·揭阳模拟)函数y= ln(1 ? 1 ) ? 1 ? x 2 的定义域
x



? x ?1 ? 1 ? 0, 1 ? ? 0, ? x ? ?1或x ? 0, ? ? 【解析】要使函数有意义,需 ? x 即? x 即? ??1 ? x ? 1, ? x 2 ? 1, ?1 ? x 2 ? 0, ? ?

.

解得0<x≤1,所以定义域为(0,1]. 答案:(0,1]

【加固训练】已知函数f(2x)的定义域为[-1,1],则f(x)的定义域 为 .

【解析】因为f(2x)的定义域为[-1,1], 所以 1 ≤2x≤2,即f(x)的定义域为[ 1 ,2].
2 2

答案:[

1 ,2] 2

考点2

求函数的解析式
x +1)=x+2 x ,则f(x)=

【典例2】(1)已知f(

.

(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则 f(x)= .

【解题提示】(1)利用换元法求解. (2)已知函数类型,用待定系数法求解.

【规范解答】(1)设t=

2(t≥1); +1, 则 x=(t-1) x

代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.

故f(x)=x2-1(x≥1).
答案:x2-1(x≥1)

【一题多解】解答本题,还有以下解法:

因为x+2 x =( x )2+2 x +1-1=( x +1)2-1,
所以f( x +1)=( x +1)2-1( x +1≥1), 即f(x)=x2-1(x≥1). 答案:x2-1(x≥1)

(2)因为f(x)是一次函数,可设f(x)=ax+b(a≠0), 所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. 即ax+(5a+b)=2x+17,
a ? 2, 因此应有 ? ? ?5a ? b ? 17,

解得 ?

?a ? 2, ?b ? 7.

故f(x)的解析式是f(x)=2x+7. 答案:2x+7

【易错警示】解答本例(1)有以下易错点

本例第(1)题利用换元法求解析式,要注意换元后t的取值范围,否则会
造成求出的函数解析式定义域扩大而致误.

【规律方法】求函数解析式的常用方法

(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表
达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表达式. (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定 系数法.

(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意

新元的取值范围.
(4)解方程组法:已知关于f(x)与f(
1 )或f(-x)的表达式,可根据已知 x

条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).

【变式训练】已知f(x)满足2f(x)+f( 1 )=3x,则f(x)=

【解析】因为2f(x)+f( 1 )=3x,①
x x x x

x

.

所以将x用 1 替换,得2f( 1 )+f(x)= 3 ,② 由①②解得f(x)=2x- 1 (x≠0),
x x

即f(x)的解析式是f(x)=2x- 1 (x≠0). 答案:2x- 1 (x≠0)
x

【加固训练】1.已知f( 2 +1)=lgx,则f(x)=

【解析】令 2 +1=t得x= 2 ,代入得f(t)=lg 2 ,
x t ?1

x

.

t ?1 又x>0,所以t>1,故f(x)的解析式是f(x)=lg 2 (x>1). x ?1 答案:lg 2 (x>1) x ?1

2.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,

则f(x)=

.

【解析】设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f′(x)=2ax+b=2x+2,所以 a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c. 又因为方程f(x)=0有两个相等实根, 所以Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+1

3.(2013·安徽高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).当0≤

x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=

.

【解析】当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),当-1≤x≤0时,0≤x+1≤1,所以 f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1),而f(x)= 1 f(x+1)=- 1 x2- 1 x. 所以当-1≤x≤0时,f(x)=- 1 x2- 1 x. 答案:- 1 x2- 1 x
2 2 2 2 2 2 2

考点3

分段函数及应用

知·考情
分段函数作为考查函数知识的最佳载体,以其考查知识容量大成 为高考命题的热点,试题常以选择题、填空题形式出现,考查求值、解 方程、解不等式、函数图像及函数性质等问题.解题过程中常渗透分 类讨论的数学思想.

明·角度

命题角度1:求分段函数的函数值
? x 2 ? 1,x ? 1, 【典例3】(2015·厦门模拟)设函数f(x)= ? ?2 ? ,x ? 1, ?x

则f(f(3))= (
1 A. 5

)

B. 3

2 C. 3

13 D. 9

【解题提示】根据自变量的值选择相应的对应关系求值,先求出f(3),

然后再求出f(f(3))的值.
【规范解答】选D.因为f(3)= 2 ,所以f(f(3))=
3 2 2 4 13 f( ) ? ( ) 2 ? 1 ? ? 1 ? . 3 3 9 9

命题角度2:求解分段函数的方程、不等式
? x 2 ? 2x ? 2, x ? 0, ? 【典例4】(2014·浙江高考)设函数f(x)= ? 若f(f(a)) 2 ? ? ? x , x ? 0,

=2,则a=

.

【解题提示】根据自变量的取值分两种情况进行讨论 ,列出方程进行 求解.

【规范解答】当a≤0时,f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,

f(f(a))<0,显然不成立;
当a>0时,f(a)=-a2<0,所以f(f(a))=a4-2a2+2=2, 解得a=〒 2 或a=0,因为a>0,所以a= 2 . 答案: 2

悟·技法

与分段函数有关问题的类型及求解思路
(1)求分段函数的函数值问题,根据所给自变量的大小选择相应段的解 析式求解,有时每段交替使用求值. (2)分段函数方程或分段不等式的求解,依据不同范围的不同段分类讨 论求解,最后将讨论结果并起来.

通·一类
? a 2 x , x ? 0, ? 1.(2014·江西高考)已知函数f(x)= ? (a∈R),若f(f(-1)) ?x ? ?2 , x ? 0

=1,则a= A. 1
4

(

)

B.

1 2

C.1

D.2

【解析】选A.因为-1<0,所以f(-1)=2-(-1)=2,又2>0,所以f(f(-1))= f(2)=a·22=1,解得a= 1 .
4

? log 2 ? x ? 1? , x ? 3, ? 2.(2015·安庆模拟)已知函数f(x)= ? 满足f(a)=3, x ?3 ? ? 2 ? 1, x ? 3

则f(a-5)的值为
A.log23

(

)

B. 17

16

C. 3
2

D.1

?a ? 3, 【解析】选C.分两种情况分析, ? a ?3 ① ?2 ? 1 ? 3, a ? 3, 或者 ? ② ? ?log 2 ? a ? 1? ? 3,

①无解, 由②得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1= 3 .
2

?e x ?1 , x ? 1, 3.(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)= ? 则使得f(x)≤2 ? 1 3 ? ? x ,x ? 1,

成立的x的取值范围是

.

【解析】当x<1时,由ex-1≤2可得x-1≤ln2.

即x≤ln2+1,故x<1;
当x≥1时,由f(x)= x ≤2可得x≤8,故1≤x≤8, 综上可得x≤8. 答案:(-≦,8]
1 3

自我纠错3

分段函数中的参数问题
?? x ? 2a, x ? 1,

2x ? a, x ? 1, 【典例】(2015·郑州模拟)已知实数a≠0,函数f(x)= ? ?

若f(1-a)=f(1+a),则a的值为
3 2 3 3 C.- 或- 2 4 A.- B.- 3 4

(

)

3 3 D. 或- 2 4

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?

提示:上述解题过程出现的错误主要有两个方面:
(1)误以为1-a<1,1+a>1,没有对a进行讨论直接代入求解. (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求致误 .

【规避策略】

(1)分类讨论思想在求函数值中的应用:对于分段函数的求值问题,若
自变量的取值范围不确定,应分情况求解. (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意:求解过程中,求出的参 数的值或范围并不一定符合题意,因此要检验结果是否符合要求.

【自我矫正】选B.当a>0时,1-a<1,1+a>1,

由f(1-a)=f(1+a)可得2-2a+a=-1-a-2a,
解得a= - 3 ,不合题意;
2

当a<0时,1-a>1,1+a<1, 由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 解得a= - 3 .
4

故a的值为 - 3 .
4


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