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2013高考数学试题汇编-三角函数与解三角形


三角函数与解三角形 一、选择题 1.浙江 4.已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 ,? ? R) ,则“ f ( x) 是奇函数” 是“ ? ?

?
2

”的(

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

2.浙江 6.已知 ? ? R , sin ? ? 2 cos ? ? A.

10 ,则 tan 2? ? ( 2

)

4 3

B.

3 4
?
4

C. ?

3 4

D. ?

4 3
) (D)
5 5

3.天津(6) 在△ABC 中, ?ABC ? (A)
10 10

, AB ? 2, BC ? 3, 则 sin?BAC = (

(B)

10 5

(C)

4.四川 5、函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ? 值分别是( (A) 2, ? ) (B) 2, ?

?
2

3 10 10

?? ?

?

2

) 的部分图象如图所示,则 ? , ? 的

y

?
3

?
6

(C) 4, ?

?
6

(D) 4,

? 3
?

? 5.湖北 4.将函数 y ? 3 cos x ? sin x( x ? R) 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后,所 3

_ O

5? 12

x

得到的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A.

) D.

? 12

B.

? 6

C. )

? 3

5? 6

6.重庆(9) 4cos500 ? tan 400 ? ( (A) 2

(B)

2? 3 2

(C) 3

(D) 2 2 ? 1

7.辽宁 6、 在 ? ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c。 若 an s i B c o s 且 a>b,则角 B 为( A. )

Cn s i c? c o s B

A

?

b , 2

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


8.北京 3.“φ=π”是“曲线 y=sin(2x+φ)过坐标原点的” ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9.山东(5)将函数 y=sin(2x +φ )的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的 图像,则φ 的一个可能取值为( )

(A)

(B)

(C)0

(D)

10.陕西 7. 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ ABC 的形状为( ) (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定

11.湖南 3.在锐角中 ?ABC ,角 A, B 所对的边长分别为 a, b .若

2a sin B ? 3b, 则角A等于 (



A.

? 12

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

二、解答题 12.江西 11.函数 y=sin2x+2

sin2x 的最小正周期 T 为_______.

13. 安 徽 ( 12 ) 设 ?ABC 的 内 角 A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a, b, c 。 若 b ? c ? 2 a , 则

3 sinA ? 5 sin B 则角 , C ? _________.
14.福建 13. 如图,在 ?ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,

AD ? AC , sin ?BAC ?

2 2 , AB ? 3 2 , AD ? 3 , 则 BD 的长为 3

15.江苏 1、函数

的最小正周期是_________。

16.全国(15)设??为第二象限角,若 tan(? +

?
4

)=

1 2

,则 sin? +cos??=

.

浙 江 16 . 在 ?ABC 中 , ?C ? 90? , M 是 BC 的 中 点 . 若 sin ?BAM ?

sin ?BAC ?

1 ,则 3



17. 四 川 13 、 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( ___________ 三、解答题 18、 已知向量 (1)若 , 求证: (2)已知 ;

?
2

,? ) , 则 t a n ? 2 的值是

, 且满足 , 若 , 求

19.北京 15. (本小题共 13 分)在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. (I)求 cosA 的值,(II)求 c 的值

20.江西 16. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 cosC+(conA(1) 求角 B 的大小; (2) 若 a+c=1,求 b 的取值范围 sinA) cosB=0.

21.安徽(16) (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 4 cos? x ? sin ?? x ? 正周期为 ? 。 (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 在区间 ? 0, 2 ? 上的单调性。

? ?

??

? (? ? 0) 的最小 4?

22.湖南 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

?

? x ) ? cos( x ? ).g ( x) ? 2sin 2 。 6 3 2
3 3 。求 g (? ) 的值; 5

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

(II)求使 f ( x) ? g ( x) 成立的 x 的取值集合。

23.山东 (17) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a+c=6, b=2, cosB= (Ⅰ)求 a,c 的值; (Ⅱ)求 sin(A-B)的值。



24.陕西 16. (本小题满分 12 分)
1 已知向量 a ? (cos x, ? ), b ? ( 3 sin x,cos 2 x), x ? R , 设函数 f ( x) ? a· b. 2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. ? ?? (Ⅱ) 求 f (x) 在 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

25.全国(17) (本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a = bcosC + csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b =2,求△ABC 面积的最大值.

26.四川 17、(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中 , 角

A, B, C













a, b, c





A? B 3 c2 o s B ? c A? o B s B ?s i A ? n C ( ? ? 。) 2 5 (Ⅰ)求 cos A 的值; ? ??? ? ??? (Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 BA 在 BC 方向上的投影 2
? ?

s i n

c o s (

)

' 27.辽宁 17、( 12 )设向量 a ? ( 3 sin x,sin x), b ? (cos x,sin x), x ? ?0,

? ?? . ? 2? ?

(1)若 a ? b ,求 x ; (2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x) 的最大值。

?

?

? ?

28.江苏 18、甲乙两人从点 A 处下山,有两种走法,一点是从点 A 出发,步行直接回到点 C 处,另一种方法是由 A 坐缆车到 B,然后步行到 C。现在甲以 50m/min 的速度沿 AC 步行, 出发 2 分钟后乙从 A 坐缆车到 B,停留 1min 后步行到 C,已知缆车的速度是 130m/min, AC=1260m,经测定 。

(1)求 AB 的长; (2)乙出发多少分钟后,在缆车上与甲的距离最短? (3)为使甲乙两人在 C 处相互等待不超过 3min, 乙步行的速度应控制在什么范围内?

29.广东 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 求 f ? ?

? ? ? 2 cos ? x ? ? , x ? R . 12 ? ?
(Ⅱ) 若 cos ? ?

? ?? ? 的值; ? 6?

3 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,求 5 ? 2 ?

?? ? f ? 2? ? ? . 3? ?

【解析】(Ⅰ) f ? ? (Ⅱ) f ? 2? ? 因为 cos ? ?

? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 2 cos ? ? ? ? 2 cos ? 1 ; 4 ? 6? ? 6 12 ? ? 4?
?? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? ? 2 cos ? 2? ? ? ? cos 2? ? sin 2? 3? 3 12 ? 4? ? ?

? ?

3 4 ? 3? ? ,? ? ? , 2? ? ,所以 sin ? ? ? , 5 5 ? 2 ?
24 7 , cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 25 25

所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? 所以 f ? 2? ?

? ?

??

7 ? 24 ? 17 . ? ? cos 2? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? 3? 25 ? 25 ? 25

30.湖北 17.在△ ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c .已知

cos 2 A ? 3cos( B ? C) ? 1 .
(1)求角 A 的大小; (2)若△ ABC 的面积 S ? 5 3, b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

31.天津(15) (本小题满分 13 分) ?? ? 已知函数 f ( x) ? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 6sin x cos x ? 2cos 2 x ? 1, x ? R . 4? ? (Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; ? ?? (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ?0, ? 上的最大值和最小值. ? 2?

32.重庆(20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分) 在△ ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且 a ? b ? 2ab ? c .
2 2 2

(Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)设 cos A cos B ?

3 2 cos(? ? A) cos(? ? B) 2 , ,求 tan ? 的值. ? 2 5 cos ? 5

33.福建 20.(本小题满分 14 分)

?? ? 已知函数 f ( x) ? sin( wx ? ? )( w ? 0,0 ? ? ? ? ) 的周期为 ? ,图象的一个对称中心为 ? ,0 ? , ?4 ?
将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将得到的图象向右

平移个

?
2

单位长度后得到函数 g ( x) 的图象。

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式

?? ? ? (2)是否存在 x0 ? ? , ? ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存 ?6 4?
在,请确定 x0 的个数,若不存在,说明理由; (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x) 在 ?0, n? ? 内恰有 2013 个零点


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