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江西师范大学附属中学2017届高三10月月考(文数)


江西师范大学附属中学 2017 届高三 10 月月考 数学(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | y ?
x x ?1 A. x 4 ? 2

?

?
?

是( x ?1}, A ? B ? ? , 则集合 B 不可能 ... B. ( x, y) y ? x ?1

)

?

?

C. { y | y ? sin x, ?

?x? } 3 6

?

2 D. y y ? log 2 ( ? x ? 2 x ? 1)

?

?

2.若等差数列 ?an ? 的前 7 项和 S7 ? 21,且 a2 ? ?1,则 a6 ? ( A.5 3.已知 ? ? ? ? , B.6 C.7 ) D.8

)

? ?

? 3 ? 4 ? ?, cos? ? ? , 则 tan( ? ? ) 等于( 4 2 ? 5
B.

A.7

1 7

C. ?

1 7

D. ? 7 )

4.已知如图所示的向量中, AP ? A. OA ? C. ?

4 AB ,用 OA 、 OB 表示 OP ,则 OP 等于( 3
B. OA ? D. ?

1 3

4 OB 3

1 3

4 OB 3

1 4 OA ? OB 3 3

1 4 OA ? OB 3 3

5.已知函数 f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? (2 x ? 1) ln x ,则曲线 y ? f ( x) 在点

(? 1 ,f ? ( 1处的切线斜率为 )) (
A. ? 2 B. ? 1

)

6.已知向量 a与b 满足 | a |?| b |? 2 ,且 b ? 2a ? b ,则向量 a与b 的夹角为( A.

?

C. 1

?

D. 2 )

? 6
?ABC

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
, 若

7 . 在

中 , 内 角

A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c
)

1 c ? 2 a, b s i nB ? a s i nA ? 2
A.

a s ,则 iC n cos B 等于( 2 3
C.

3 4

B.

1 3

D.

1 2

8.已知数列 a1 ,

a a2 a3 , ,?, n ,? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则下列数中是数 a1 a2 an ?1
1

列 ?an ? 中的项的是( A.16

) B.128 C.32 D.64

9 . 已 知 函 数 f ? x ? ? 2sin x sin( x ?

?
3

? ? ) 是 奇 函 数 , 其 中 ? ? (0, ? ) , 则 函 数

g ? x ? ? cos(2x ? ?) 的图象(
A.关于点 (

)

?
12

, 0) 对称

B.可由函数 f ? x ? 的图象向右平移 C.可由函数 f ? x ? 的图象向左平移 D.可由函数 f ? x ? 的图象向左平移

? 个单位得到 3 ? 个单位得到 6
? 个单位得到 12
1 a1 x ? m 与圆 2

10.已知等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,前 n 项和为 S n .若直线 y ?

?1? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 的两个交点关于直线 x ? y ? d ? 0 对称,则数列 ? ? 的前 10 项和为 ? Sn ?
( A. )

9 10

B.

10 11

C.

8 9

D. 2

11. 已知菱形 ABCD 边长为 2,?B ? 则 ? 的值为( A. ) B. ?

? , 点 P 满足 AP ? ? AB ,? ? R . 若 BD ? CP ? ?3 , 3

1 2

1 2

C.

1 3

D. ?

1 3

12.已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x ,若 k ? Z ,且 k ? x ? 2? ? f ? x ? 对任意的 x ? 2 恒成立,则 k 的最大值为( A. 3 ) B. 4 C. 5 D. 6

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

2 sin 46? ? 3 cos74? ? __________ 13. cos16?

? x, x ? 1 ? 2 14.设函数 f ( x) ? ? 3 1 ,则不等式 f (6 ? x ) ? f ? x ? 的解集为__________ x ? ? 1, x ? 1 ? x ?

2

15.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? ( )n (n ? 2) , Sn ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ? ? ? an ? 2n ,类 比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 3Sn ? an ? 2n?1 =__________ 16.等腰 ?ABC 的顶角 A ?

1 2

2? , BC ? 2 3 ,以 A 为圆心,1 为半径作圆, PQ 为该圆的 3

一条直径,则 BP ? CQ 的最大值为__________

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题 10 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? ?cos A ? 2 sin A,?3sin A?,

n ? ?sin A, cos A ? 2 sin A?,
(1)若 m // n 且角 A 为锐角,求角 A 的大小; (2)在(1)的条件下,若 cos B ?

4 , c ? 7 ,求 a 的值. 5

18. (本小题 12 分)如图,已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离

AB ? 50km , B, C 间的距离为 50 3km ,从 A 到 C 必须先坐
D A ?? 船到 BC 上的某一点 D , 航速为 25km / h , 再乘汽车到 C , 车速为 50km / h , 记 ?B
(1)试将由 A 到 C 所用的时间 t 表示为 ? 的函数 t (? ) ; (2)求由 A 到 C 所用的时间 t 的最小值.

19. (本小题 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,
AA =2 ,且 BC1 ? A1C . 1 ? AC ? 2 AB

(1)求证:平面 ABC1 ⊥平面 A1 ACC1 ; (2)点 D 在边 A1C1 上且 C1 D ?

1 C1 A1 ,证明在线段 BB1 上存 3

在点 E ,使 DE //平面 ABC1 ,并求此时

BE 的值. BB1

3

20. (本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x (1)求函数 f ( x) 在点 ?1, f (1)? 处的切线方程; (2)若方程 f ( x) ? m x在区间 1, e 2 内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围.

? ?

21. (本小题 12 分)已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , n ? N , a3 ? 5 , S10 ? 100 .
?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2
an

? an ? sin 2

n? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2

22. (本小题 12 分)如图,已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,过焦点 F 斜率大于零的直线 l 交抛物 线于 A 、 B 两点,且与其准线交于点 D . (1)若线段 AB 的长为 5 ,求直线 l 的方程; (2)在 C 上是否存在点 M ,使得对任意直线 l ,直线 MA , MD , MB 的斜率始终成等差 数列,若存在求点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

4

数学(文科)参考答案
1.已知集合 A ? {x | y ?
x x ?1 A. x 4 ? 2

?

?
?

是( x ?1}, A ? B ? ? , 则集合 B 不可能 ... B. ( x, y) y ? x ?1

)

?

?

C. { y | y ? sin x, ? 答案:D

?x? } 3 6

?

2 D. y y ? log 2 ( ? x ? 2 x ? 1)

?

?

解析: A ? x y ?

?

知识点:集合间的关系 难度:1

x ? 1 ? ?x x ? 1?, y y ? log 2 (? x 2 ? 2 x ? 1) ? ?y y ? 1?,故选 D
) D.8

?

?

?

2.若等差数列 ?an ? 的前 7 项和 S7 ? 21,且 a2 ? ?1,则 a6 ? ( A.5 答案:C B.6 知识点:等差数列性质 难度:1 C.7

解析: S 7 ?

7 ?a1 ? a7 ? ? 21 解得 a2 ? a6 ? a1 ? a7 ? 6 ,? a6 ? 7 2

3.已知 ? ? ? ? ,

? ?

? 3 ? 4 ? ?, cos? ? ? , 则 tan( ? ? ) 等于( 4 2 ? 5
(B)

) (D) ? 7

(A)7 答案:B

1 7

(C) ?

1 7

知识点:同角三角函数的关系 难度:1

解析: tan ? ?

3 ? 1 ? tan ? 1 ? ,则 tan( ? ? ) ? 4 4 1 ? tan ? 7

4.已知如图所示的向量中, AP ? A. OA ? C. ?

4 AB ,用 OA 、 OB 表示 OP ,则 OP 等于( 3
B. OA ? D. ?

)

1 3

4 OB 3

1 3

4 OB 3

1 4 OA ? OB 3 3

1 4 OA ? OB 3 3

答案:C

知识点:向量的线性运算与表示 难度:1

1→ 4→ → → → → 4→ → 4 → → 解析:OP=OA+AP=OA+ AB=OA+ (OB-OA)=- OA+ OB。 3 3 3 3 5 .已知函数 f ( x ) 是偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? (2x ? 1) lnx ,则曲线 y ? f ( x) 在点

(?1, f (? 1))处的切线斜率为(
A. -2 B. 答案:B

) -1 C. 1 D. 2

知识点:偶函数的性质,导数的运算 难度:1

解析:当 x ? 0 时, f ?( x) ? 2 ln x ?

2x ? 1 ,则 f ?(1) ? 1 x
5

? 函数 f ( x) 是偶函数,? f ?(?1) ? ?1
6.已知向量 a与b 满足 | a |?| b |? 2 ,且 b ? 2a ? b ,则向量 a与b 的夹角为( A.

?

?

)

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6
1 2

答案:C

知识点:向量内积的运算 难度:2

解析: b ? 2a ? b 得 b ? 2a ? b ? 0 ,即 2a ? b ? b ? 0 ,解得 cos ? ? ? 向量 a与b 的夹角为

?

?

?

?

2

2? 3 1 ?a s i n C 2


a,b s i n B ? as i n A 7. 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c , 若c ? 2
则 cos B 等于( A. ) B.

3 4

2 3 1 ac 且 c ? 2a 2

C.

1 3

D.

1 2

答案:A

知识点:正余弦定理 难度:2
2 2

解析:由正弦定理得 b ? a ?

? b 2 ? 2a 2

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? 4a 2 ? 2a 2 3 ? cos B ? ? ? 2ac 4a 2 4
8.已知数列 a1 ,

a a2 a3 , ,?, n ,? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,则下列数中是数列 a1 a2 an ?1
) B.128 C.32 D.64

?an ? 中的项的是(
A.16 答案:D

知识点:等比数列,累乘法求通项公式 难度:2
n ?n?1? 2

a a a 解析: an ? a1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 1 ? 21 ? 22 ? ??2n?1 ? 21?2???n?1 ? 2 a1 a2 an?1
6 当 n ? 4 时, a4 ? 2 ? 64

9 . 已 知 函 数 f ? x ? ? 2sin x sin( x ?

?
3

? ? ) 是 奇 函 数 , 其 中 ? ? (0, ? ) , 则 函 数

g ? x ? ? cos(2x ? ?) 的图象(
A.关于点 (

)

? , 0) 对称 12

6

B.可由函数 f ? x ? 的图象向右平移 C.可由函数 f ? x ? 的图象向左平移 D.可由函数 f ? x ? 的图象向左平移 答案:C

? 个单位得到 3 ? 个单位得到 6
? 个单位得到 12
难度:3

知识点:奇函数的性质,三角函数的变换

解析: f ? x ? ? 2sin x sin( x ? 则 y ? sin ? x ?

?
3

? ? ) 是奇函数且 y ? 2 sin x 为奇函数

? ?

?

? ? ? ? 为偶函数 3 ?

?

?
3

?? ?

?
2

,解得 ? ?

?
6

此时 f ( x) ? 2 sin x sin ? x ?

? ?

??

? ? sin 2 x 2?

?? ?? ? ? g ( x) ? cos? 2 x ? ? ? sin? 2 x ? ? 6? 3? ? ?
故函数 g ( x) 可由函数 f ? x ? 的图象向左平移

? 个单位得到 6
1 a1 x ? m 与圆 2

10.已知等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,前 n 项和为 S n .若直线 y ?

?1? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 的两个交点关于直线 x ? y ? d ? 0 对称,则数列 ? ? 的前 10 项和为 ? Sn ?
( A. C. )

9 10 8 9

B.

10 11

D. 2 知识点:直线与圆的位置关系,等差数列求和,裂项求和 难度:4

答案:B

1 解析:由题意可得直线 y= a1x+m 与直线 x+y-d=0 垂直,且圆心(2,0)在直线 x+y-d=0 2 n?n-1? 1 上,所以 a1=1,a1=2,d=2,所以数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n+ × 2=n(n+1), 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 则 = = - ,所以数列{ }的前 10 项和为 + +…+ =(1- )+( - ) Sn n?n+1? n n+1 Sn S1 S2 S10 2 2 3 1 1 1 10 +…+( - )=1- = ,故选 B. 10 11 11 11
7

?B ? 11. .已知菱形 ABCD 边长为 2,
则 ? 的值为 ( A、 ) B、 ?

? , 点 P 满足 AP ? ? AB , 若 BD ? CP ? ?3 , ??R. 3

1 2

1 2

C、

1 3

D、 ?

1 3

答案:A

知识点:向量的内积 难度:4

解析:设 BC ? a, BA ? b 则 BD ? CP ? a ? b ? ? a ? ?1 ? ? ?b ? ? a ? ?1 ? ? ?b ? ? a ? b ? ?3 ,解得 ? ?
2 2

? ??

?

1 2

12. 已知函数 f ? x ? ? x ? x ln x ,若 k ? Z ,且 k ? x ? 2? ? f ? x ? 对任意的 x ? 2 恒成立,则 k 的 最大值为( A. 3 答案:B ) B. 4 C. 5 D. 6

知识点:导数与最值,恒成立问题 难度:5

解析:由题设可得 k ?

x ? x ln x x ? x ln x x ? 4 ? 2 ln x , 令 h( x ) ? , 则 h / ( x) ? .令 x?2 x?2 ( x ? 2) 2

g ( x) ? x ? 4 ? 2 ln x . 则函数 g ( x) ? x ? 4 ? 2 ln x 的零点就是函数 y ? h( x) 的极值点 . 设

x ? 4 ? 2 ln x ? 0













x0

,



ln x0 ?

x0 ? 4 2

,





g (8) ? 4 ? 2 ln 8 ? 0, g (9) ? 5 ? 4 ln 3 ? 0 , 故 8 ? x0 ? 9 , 而 且 不 难 验 证 当 2 ? x ? x0
时 , h ( x) ? 0 , h( x) 单 调 递 减 ; 当 x ? x0 时 , h ( x) ? 0 , h( x) 单 调 递 增 , 所 以
/ /

hmin ( x) ? h( x0 ) ?

x0 ? x0 ln x0 ? x0 ? 2

x0 ? x0 (

x0 ? 4 ) x x 2 ? 0 , 因 此 k ? 0 , 由 于 k ?Z 且 2 x0 ? 2 2

8 ? x0 ? 9 ,所以 k max ? 4 ,故应选 B.
2 sin 46? ? 3 cos 74? 13. ? __________ cos16?
答案:1 解析: 知识点:三角恒等变形 难度:1

2 sin 46? ? 3 cos74? 2 sin 30? ? 16? ? 3 sin 16? cos16? ? ? ?1 cos16? cos16? cos16?

?

?

? x, x ? 1 ? 2 14.设函数 f ( x) ? ? 3 1 ,则不等式 f (6 ? x ) ? f ? x ? 的解集为__________ x ? ? 1, x ? 1 ? x ?

8

答案: ? ?3, 2?

知识点:函数的单调性,不等式的解法 难度:2
2

解析:函数 f ( x ) 在 R 上单调递增,则不等式 f (6 ? x2 ) ? f ? x? 等价于 6 ? x ? x ,解得

? ?3, 2?
15.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? an?1 ? ( )n (n ? 2) , Sn ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ? ? ? an ? 2n ,类 比课本中推导等比数列前 n 项和公式的方法,可求得 3Sn ? an ? 2n?1 =__________ 答案: n ? 1 知识点:数列求和 难度:3

1 2

解析:通过“错位相加法” S n ? a1 ? 2 ? a2 ? 22 ? ? ? ? ? an ? 2n ,

2 ? S n ? a1 ? 22 ? a2 ? 23 ? ? ? ? ? an ? 2n?1
根据 (an ? an?1 ) ? 2n ? 1 , 3Sn ? an ? 2n?1 = n ? 1

16.等腰 ?ABC 的顶角 A ?

2? , BC ? 2 3 ,以 A 为圆心, 1 为半径作圆, PQ 为直径, 3

则 BP ? CQ 的最大值为__________ 答案: 2 3 ? 3 知识点:向量的内积,解三角形 难度:4

解析: BP ? CQ ? BA ? AP ? CA ? AP ? BA ? CA ? AP ? CA ? BA ? AP

?

??

?

?

?

2

? ?2 ? 2 3 cos? ?1 ? 2 3 ? 3
17. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边, m ? ?cos A ? 2 sin A,?3sin A?,

n ? ?sin A, cos A ? 2 sin A?,
(1)若 m // n 且角 A 为锐角,求角 A 的大小; (2)在(1)的条件下,若 cos B ? 答案:(1) ? m // n

4 , c ? 7 ,求 a 的值. 5

??cos A ? 2 sin A??cos A ? 2 sin A? ? ?3 sin 2 A
解得 sin A ?

2 2

又角 A 为锐角,? A ?

?
4 4 3 则 sin B ? 5 5

(2) 在 ?ABC 中, cos B ?

9

? cosC ? ? cos? A ? B ? ? ? cos A cos B ? sin A sin B ? ? ? sin C ? 7 2 10
7 7 2 10 ? a ,解得 a ? 5 2 2
难度:2

2 10

由正弦定理得

知识点:向量的平行,正余弦定理 解析:(1)由 m // n 可得 sin A ?

? 2 ,角 A 为锐角, A ? 4 2

(2)在 ?ABC 中,已知 A,B 的三角函数值,可求得 sin C 的值,再由正弦定理可得 a 的值

18.如图, 已知海岛 A 到海岸公路 BC 的距离 AB ? 50km ,B, C 间的距离为 50 3km , 从A 到 C 必须先坐船到 BC 上的某一点 D ,航速为 25km / h ,再乘汽车到 C ,车速为 50km / h , 记 ?BDA ? ? (1)试将由 A 到 C 所用的时间 t 表示为 ? 的函数 t (? ) ; (2)求由 A 到 C 所用的时间 t 的最小值. 答案:(1)在 Rt ?ABD 中, AB ? 50 , ?BDA ? ? , 则 BD ?

AB 50 AB 50 ? ? , AD ? tan ? tan ? sin ? sin ?

? t (? ) ?

AD CD 2 1 2 ? cos? ? ? ?? ? ? ? 3? ? 3? ? ?? ? ? 25 50 sin ? tan? sin ? ? 6 2?
1 ? 2 cos ? 1 ? , 令 t ?(? ) ? 0, 得 cos ? ? ,0 ? ? ? 2 sin ? 2 2

(2) t ?(? ) ?

?? ?

?
3

当 ? ? ? 0, 当? ? ? 当? ?

? ?? ? ?? ? 时, t ?(? ) ? 0, 函数 t (? ) 在 ? 0, ? 上单调递减 ? 3? ? 3?

?? ? ? ?? ? ? , ? 时, t ?(? ) ? 0, 函数 t (? ) 在 ? , ? 上单调递增 ?3 2? ?3 2?

?
3

时, t (? ) 取得最小值 2 3

知识点:解三角形的实际应用,导数与最值 难度:2

10

解析:(1)用 θ 表示出 AD 与 BD,从而可以表示出 DC,由路程除以速度得时间,建立起 时间关于 θ 函数即可; (2)对函数求导,研究出函数的单调性确定出 θ=

? 时,由 A 到 C 所用的时间 t 最少. 3

19.如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? AC ? 2 AB=2 ,且 BC1 ? A1C . (Ⅰ)求证:平面 ABC1 ⊥平面 A1 ACC1 ; (Ⅱ)点 D 在边 A1C1 上且 C1 D ?

1 C1 A1 , 证明在线段 BB1 上存在点 3

E , DE //平面 ABC1 ,并求此时

BE 的值. BB1

答案: (I)证明:在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,有 A1 A ? 平面 ABC . ∴ A1 A ? AC , 又 A1 A ? AC , ∴ A1C ? AC1 . 又 BC1⊥A1C,∴A1C⊥平面 ABC1 , 则平面 ABC1⊥平面 A1C . B1
F E

A1

D

C1

BE 1 (II)当 ? 时, DE //平面 ABC1 BB1 3
在 A1 A 上取点 F,使

AF 1 ? , AA1 3

A B 第 19 题图

C

连 EF,FD, EF∥AB, DF ∥ AC1 , 即平面 EFD ∥平面 ABC1 ,则有 ED ∥平面 ABC1 . 知识点:立体几何中的平行于垂直 难度:2 解析: (Ⅰ)发掘线面垂直关系证明面面垂直

(Ⅱ) 在 ?AA 1C1 中利用相似得 DF // AC1 ,平行四边形 AA 1 B1 B 中 EF // AB ,两组相交直 线分别平行可得平面 EFD ∥平面 ABC1 ,则有 ED ∥平面 ABC1 20.已知函数 f ( x) ? ln x ? x (1)求函数 f ( x) 在点 ?1, f (1)? 处的切线方程;
2 (2)若方程 f ( x) ? m x在区间 1, e 内有唯一实数解,求实数 m 的取值范围.

? ?

答案:(1)? f ?( x ) ?

1 x ?1 ?1 ? x x
11

k ? f ?(1) ? 2

? 切线方程为 y ? 1 ? 2( x ? 1) ,即 y ? 2 x ? 1
ln x ? x 在区间 1, e 2 内有唯一实数解 x ln x ? x 令 g ( x) ? , x ? 1, e 2 x 1 ? ln x ? g ?( x) ? ? 0 解得 x ? e x2 ? 函数 g ( x) 在区间 ?1, e? 上单调递增,在区间 e, e 2 上单调递减
(2)由题意 m ?

? ?

? ?

? ?

又 g (1) ? 1 , g (e ) ?
2

e2 ? 2 ? g (1) e2

? e2 ? 2 ? ? m ? ?1, 2 ? ? ? e ?
知识点:导数与切线,导数与零点 难度:3 解析:(1)导数值即为该点处的斜率,点斜式可得切线方程 (2)分离变量,将原方程解的个数转化为直线 y ? m 与函数 g ( x) ? 求导得函数 g ( x) 的单调性与草图,即可求得实数 m 的取值范围 21.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , n ? N , a3 ? 5 , S10 ? 100 .
?

ln x ? x 的交点个数,再 x

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 2
an

? an ? sin 2

n? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 2

答案:(1)设等差数列{an}的公差为 d, a +2d=5, ? ? ? 1 ?a1=1, 由题意,得? 解得? 所以 an=2n-1. 10× 9 ?d=2, ? ?10a1+ 2 d=100, ? (2)因为 bn ? 2
an

? an ? sin 2
2

n? n? ? 2 2 n?1 ? (2n ? 1) ? sin 2 2 2

当 n 为奇数时, sin 当 n 为偶数时, sin

n? ?1 2 n? ?0 2

2

当 n 为偶数时, Tn ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 5

?

2 n?1

? ? ?1 ? 5 ? 9 ? ?? 2n ? 3?

12

n (1 ? 2n ? 3) 2(4 ? 1) 2 2 n2 n 2 ? ? ? ? 4n ? ? ? 4 ?1 2 3 2 2 3
n

当 n 为奇数时, Tn ? Tn?1 ? bn

?
?

2 n?1 ?n ? 1? ?n ? 1? 2 ?4 ? ? ? ? 22 n?1 ? (2n ? 1) 3 2 2 3
2

2 n n2 n 2 ?4 ? ? ? 3 2 2 3

? 2 n n2 n 2 ?4 ? ? ? ,n为偶数 ? ?3 2 2 3 综上: Tn ? ? 2 ? 2 ? 4 n ? n ? n ? 2 ,n为奇数 ?3 2 2 3 ?
知识点:等差数列,数列求和,分类讨论思想 难度:4 解析:(1)设出等差数列的首项及公差,解方程组可得 ?an ? 的通项公式 (2) 从 sin
2

n? 的取值发现数列 ?bn ? 需分奇偶讨论,再结合分组求和可得 ?bn ? 的前 n 项和 2

Tn .
22.如图,已知抛物线 C : y 2 ? 4x ,过焦点 F 斜率大于零的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点, 且与其准线交于点 D . (Ⅰ)若线段 AB 的长为 5 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)在 C 上是否存在点 M ,使得对任意直线 l , 直线 MA , MD , MB 的斜率始终成等差数列, 若存在求点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. 答案: (Ⅰ) 焦点 F (1,0) ∵直线 l 的斜率不为 0 , 所以设 l : x ? my ? 1 ,
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
O
F
x

y

A

B
D

由?

? x ? my ? 1 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , 2 y ? 4 x ?

y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 ,
x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? 4m2 ? 2 , x1 x2 ?

y12 y22 (?4)2 ? ? ?1, 4 4 16
1 . 4

∴ | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 4m2 ? 4 ? 5 , ∴ m2 ?

∴直线 l 的斜率 k 2 ? 4 ,

∵ k ? 0 ,∴ k ? 2 , ∴直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .

13

(Ⅱ)设 M (a 2 , 2a) , kMA ?

y1 ? 2a y1 ? 2a 4 ? 2 ? , 2 y1 ? 2a x1 ? a y1 ? a2 4

同理 k MB

2 2a ? 4 m ? , k MD ? 2 , y2 ? 2 a a ?1

∵直线 MA , MD , MB 的斜率始终成等差数列, ∴ 2kMD ? kMA ? k MB 恒成立,
4 4 4 m ? ? 即 2 恒成立. y1 ? 2a y2 ? 2a a ?1 4a ? 1 1 a? y1 ? y2 ? 4a 1 1 m m ? ? ? 2 ? ∴ 2 , a ? 1 y1 ? 2a y2 ? 2a a ? 1 y1 y2 ? 2a ( y1 ? y2 ) ? 4a 2 a?

把 y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 代入上式,得 (a2 ? 1)(m ? ∴存在点 M (1, 2) 或 M (1, ?2) ,使得对任意直线 l , 直线 MA , MD , MB 的斜率始终成等差数列.

1 ) ? 0 恒成立,?a ? ?1. m

知识点:直线与圆锥曲线的综合应用,等差数列 难度:5 解析:(1)设出直线方程与抛物线联立,利用弦长公式进行求解 (2)假设存在点 M (a 2 , 2a) ,利用等差中项和恒成立判定是否有解

14


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