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重庆市杨家坪中学2014届高三数学下学期第一次月考试题 文 新人教A版


杨家坪中学 2014 届高三下学期第一次月考数学(文)试题
一、单项选择(每小题 5 分) 1. 若 a ? R ,则“ a ? 3 ”是“ (a ? 1)(a ? 3) ? 0 ”的( 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 2. 已知等差数列{ A.44 )条件

D. 既不充分也不必要 )

an },满足 a3 ? a9 ? 8 ,数列的前 11 项的和 S11 ? (
B.33 C.22 D.11

2 2 3. 设点 A(1, ? 1) , B (0,1) ,若直线 ax ? by ? 1 与线段 AB (包括端点)有公共点,则 a ? b 的最小值为

(

)

1 A. 4

1 B. 3

1 C. 2

D.1 ,在其上为增函数的是( )

4. 下列区间中,函数

f ( x) ? lg(2 ? x) +3 x
4? ? ?1, ? ? 3? ?

(??,1]
A. B.

C.

3 [0, ) 2

[1, 2)
D.

5.

log m

1 1 ? log n ? 0 2 2 则(
B. m ? n ? 1

) C. 1 ? m ? n D. 1 ? n ? m

A. n ? m ? 1

6、已知 m,n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,给出四个命题: ①若 ?

? ? m, n ? ? , n ? m ,则 ? ? ?

②若 m ? ? , m ? ? ,则 ? / / ?

③若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? 其中正确的命题是( ) A.①② B.②③

④若 m / /? , n / / ? m / / n ,则 ? / / ? D.②④
2 ? 1 2

C.①④

g ( x) ? f ( x ?1)[ ?log 2 ( x ?1)] 若 f ( x) 的定义域为 [0, 2] ,则函数
A. (1, 3] B. [0, 2] C. [1, 2] D. (1,3]

的定义域为(



?1,x为有理数 D( x) ? ? ?0,x为无理数 ,则下列结论错误的是( 8. 设函数
A.D(x)的值域为{0,1} C.D(x)不是周期函数 B.D(x)是偶函数 D.D(x)不是单调函数



x2 y 2 ? 2 ?1 2 n 9. 在直角坐标系 xoy 中,“方程 m 表示椭圆”是“ m ? n ? 0 ”的(
条件



1

A 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 10. 如图,在透明的长方体

D. 既不充分也不必要 容器内灌进一些水,将底面一边

ABCD ? A1 B1C1 D1

BC

固定于地面上,再将

容器倾斜,有下列四个说法: ①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形 ③棱

EFGH

的面积不改变; 时,

A1 D1

EFGH
始终与水面 平行;④当

E ? AA1

AE ? BF

是定值.

其中所有正确的命题的序号是( A.①②③ B.①③ C. ②④ 二、填空题(每小题 5 分)
x

) D.①③④

9 ? 1 ? 3x 11. 方程 3 ? 1 的实数解为______.
12. 若在区间
( ? 1,1)

内任取实数 a ,在区间

(0,1)

2 2 内任取实数 b , 则直线 ax ? by ? 0 与圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 1

相交的概率为__________. 13. 如果执行下面的程序框图,那么输出的 n= 14. 函数

f ( x) ? sin x ( x ? R)

的最小正周期是

15. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2? 的半圆面,则该圆锥的体积为__________. 解答题(16、17、18 每题 13 分;19、20、21 每题 12 分) 16. 为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药, B 药)的疗效,随机地选取 20 位患者服用 A 药, 20 位患者服用 B 药,这 40 位患者服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位: h ) ,试验的观 测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 2.5 1.2 2.6 2.7 1.2 1.5 2.7 2.8 1.5 1.8 2.9 2.2 3.0 2.3 3.1 3.2 2.3 3.5 2.4

服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.6 0.5 1.8 0.6 2. 1 1.1 2.5 1.2 2. 7 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (3)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? 1.4 0.5

2

17. (本题满分)已知函数

π f ( x) ? tan(3x ? ) 4

(Ⅰ)求

π f( ) 9

的值;

? ? ? ( π, 2 π ), 且f ( ) ? 2
(Ⅱ)若

3

,求

π cos(? ? ) 4

的值.

18.已知函数 f ( x) ? e (ax ? b) ? x ? 4 x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 。
x 2

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值。

19. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,底面△ABC 为等边三角形,∠APC=90°,PB=AC=2PA=4,O 为 AC 的中 点。 (Ⅰ)求证:BO⊥PA; (Ⅱ) 判断在线段 AC 上是否存在点 Q (与 O 不重合) , 使得△PQB 为直角三角形?若存在, 试找出一个点 Q,

并求

AQ QC

的值;若不存在,说明理由。
3

5 2 2 a ? a a ? a2 ? 1 1 1 2 ?a ? a ? a2 ? a3 ? ? ? a15 的最大正整数。 4 20.若等差数列 n 满足: ,求 1

4

参考答案(文) 一、单项选择

二、填空题

三、解答题 16. (1)设 A 药观测数据的平均数为 ,B 药观测数据的平均数为 ,又观测结果可得

x

?

1 20 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3,

1 (0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.8 ? 0.9 ? 1.1 ? 1.2 ? 1.2 ? 1.3 ? 1.4 ? 1.6 ? 1.7 ? 1.8 ? 1.9 ? 2.1 y 20 ?2.4 ? 2.5 ? 2.6 ? 2.7 ? 3.2 ? 1.6 ?

5

由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好

. 18.【答案】(1)

A ? B ? {x x ? 4}

(2) [4, ??) ,所以

(1)当 a ? 3 时,集合

B ? {x x ? 3}

A ? B ? {x x ? 4}



(I)f ?( x) ? e2 (ax ? a ? b) ? 2 x ? 4.由已知得f (0) ? 4, f ?(0) ? 4, 故b ? 4, a ? b ? 8,
(2) 由题意知, 集合 从而a ? b ? 4;

f x) ? 4e ( x ? 1) ? x ? 4x, (II) 由(I)知, (
x 2

1 f ?( x) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ). 2
令 f ( x) ? 0得,x=-1n2或x=-2.
1

从而当 x ? (??, ?2)

(?1n2, ??)时,f ?( x) ? 0;当x ? (?2, ?1n2)时,( f ? x) <0.

-?,),( -2 -1n2, +?)单调递增,在(-2, -1n2)单调递减 . 故 f ( x)在(

f x)取得极大值,极大值为( f -2)( =4 1-e ) . 当 x=-2时,函数(

?2

6

(Ⅱ)答:线段 AC 上存在点 Q,使得△PQB 为直角三角形。 具体过程如下: 如图,过 P 作 PM⊥AC 于点 M,连结 BM, 因为 BO⊥平面 PAC, 所以 BO⊥PM。 又因为 BO∩AC=O,BO ? 平面 ABC,AC ? 平面 ABC, 所以 PM⊥平面 ABC, 所以 PM⊥BM,即△PMB 为直角三角形。 故当点 Q 与点 M 重合时,△PQB 为直角三角形。 在直角△PAC 中,由∠APC=90°,AC=2PA=4, 得 AM=1, (即 AQ=1) ,MC=3(即 QC=3) ,

AQ 1 AM 1 ? (即 ? ) MC 3 时,△PQB 为直角三角形。 所以当 QC 3

7

21.【答案】 (1) (?5, 0) ,

e?

4 5 ? y?? x 3 ; 3, (2) 2

x2 y2 c ? ?1 e? ( ? c , 0) a ? 3, b ? 4, c ? 5 a, (1)将双曲线方程化为标准方程 9 16 ,所以 ,焦点 ,离心率为
y??
渐近线方程为

b x FF PF1 PF2 ?PF1 F2 a ; (2)在 中 , 1 =10 , 又 知 道 另 外 两 边 、 的关系:

PF1 PF2 ? 32

,求

?F1 PF2

,可想到余弦定理,利用余弦定理

PF1 ? PF2 ? 100 cos ?F1 PF2 ? 2 PF1 ? PF2

2

2



( PF1 ? PF2 )2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 100 PF1 ? PF2 ? 6 64 又想到双曲线的定义 ,所以继续变形为 =0 ,所以

? ?F1 PF2 2 = .
x2 y2 ? ?1 试题解析: (1)双曲线方程化为标准方程 9 16 ,所以 a ? 3, b ? 4, c ? 5 ,∴焦点为 (?5, 0) ,离心

e?
率为

4 5 y?? x 3 ; 3 ,渐近线方程为
8

(2)因为点 P 在双曲线上,所以

PF1 ? PF2 ? 6

,在

?PF1 F2 中,

PF1 ? PF2 ? 100 cos ?F1 PF2 ? 2 PF1 ? PF2

2

2

=

( PF1 ? PF2 )2 ? 2 PF1 ? PF2 ? 100 ? ?F1 PF2 = 2 64 =0,∴

9


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