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上海北郊高级中学高考数学考前训练(一)


2009-2010 年度北郊高级中学高考数学考前训练(一)
班级 ________ 姓名 ____________ 学号 _____ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是 2.计算 (1 ? i ) ?
2



( i 为虚数单位) 。 。 。

3.函数 y ? cos 3 x 的最小正周期 T ?

4.若集合 A ? ? x | x |? 2 ? ,集合 B ? ? x 0 ? x ? 4 ? ,则 A ? B ? 5.抛物线 y ? 2 x 的准线方程是
2


y
2

6.过点 A ( 0, ? 5) 和双曲线

x

2

9
? 1 x

?
?1

16

? 1 右焦点的直线方程为



7.若 x1、 x 2 为方程 2

x

?1? ?? ? ?2?

的两个实数解,则 x1 ? x 2 ?



?? 1 ? x ?? ? ? 7 8.设函数 f ? x ? ? ? ? 2 ? ? x ?

? x ? 0? ? x ? 0?

, 若 f ? a ? ? 1 ,则实数 a 的取值范围是 ________ 。

二、选择题(本大题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 9.在空间, “两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 (A)充分不必要条件. (C)充要条件. 10.函数 f ( x ) ? (A) y 轴对称 (C)坐标原点对称
1 x ? x 的图像关于

(

)

(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件 ( ) (B)直线 y ? ? x 对称 (D)直线 y ? x 对称

11.已知等差数列 ? a n ? 满足 a 2 ? a 4 ? 4 , a 3 ? a 5 ? 10 ,则它的前 10 项的和 S10 ? ( ) (A)138 (B)135 (C)95 (D)23

12.函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 ( ? 1 ? x ? 0 ) 的反函数图像是

(

)

y
1

y
1

y

y

1 ?1

?1

O

O x

1

x O
?1

x
(C) (D)

O x
?1

(A)

(B)

三、解答题(本大题共 4 题,每小题满分 10 分。 ) 13.已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别是 BB1 和 BC 的中点, AB ? 4, AD ? 2 ,
B1 D 与平面 ABCD 所成角的大小为 60? , 求异面直线 B1 D 与 M N 所成

角的大小。 (结果用反三角函数值表示)

14.已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P ( ? 3, 3 ) 。
sin ? 1 tan ? cos ?

(1)求行列式

的值;

(2)若函数 f ( x ) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ( x ? R ) ,

求函数 y ?

3f(

?
2

? 2 x ) ? cos 2 x ? 1 的最大值,并指出取到最大值时 x 的值。

15.已知函数 f ( x ) ? kx ? b 的图象与 x, y 轴分别相交于点 A、B, AB ? 2 i ? 2 j ( i, j 分别是 与 x, y 轴正半轴同方向的单位向量) ,函数 g ( x ) ? x ? x ? 6 。
2

(1)求 k , b 的值; (2)当 x 满足 f ( x ) ? g ( x ) 时,求函数

g ( x) ? 1 f ( x)

的最小值。

16. (1)求右焦点坐标是 ( 2 , 0 ) ,且经过点 ( ? 2 , ?
x a
2 2

2 ) 的椭圆的标准方程;

(2) 已知椭圆 C 的方程是

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) . 设斜率为 k 的直线 l , B 交椭圆 C 于 A 、 两

点, AB 的中点为 M 。证明:当直线 l 平行移动时,动点 M 在一条过原点的定直线上。

参考答案: 一、填空题:
(1, 1. ?? )

2. 2i

2? 3. 3

4. 4) (2,

5.x ? ?

1 2

6.y ? x ? 5

? 7. 1

8. ( ? 3,1) 二、选择题: 9.B 10.C 11.C 12.C

三、解答题: 13.解: arccos
2 5 5

14.解:(1)因为角 ? 终边经过点 P ( ? 3, 3 ) , 所以 sin ? ?
sin ? 1
1 2 , cos ? ? ? 3 2 , tan ? ? ? 3 3

tan ? cos ?

? sin ? cos ? ? tan ? ? ?

3 4

?

3 3

?

3 12



(2) f ( x ) ? cos( x ? ? ) cos ? ? sin( x ? ? ) sin ? ? cos x ( x ? R )

函数y ?

3 cos(

?
2

? 2 x ) ? 1 ? cos 2 x ?

3 sin 2 x ? 1 ? cos 2 x

? 2 sin(2 x ?

?
6

)?1

y m ax ? 3, 此时 x ? k ? ?

?
6

(k ? Z )

15.解: (1)由已知 A ( ?

b

??? ? b? ? , 0), B (0, b ), AB ? i ? b j ,又 AB ? 2 i ? 2 j ,所以 b ? 2, k ? 1 ; k k
2

(2)由(1) f ( x ) ? x ? 2 , f ( x ) ? g ( x ) ? x ? 2 ? x ? x ? 6 ? ? 2 ? x ? 4 , 设 t ? x ? 2 ,则

u?

g ( x) ? 1 f ( x)

?

( t ? 2) ? ( t ? 2) ? 6 ? 1
2

t

?t?

1 t

? 5(0 ? t ? 6)

所以 u ? 2 ? 5 ? ? 3 ,当 t ? 1, 即 x ? -1 时,等号成立。

16.解: (1)设椭圆的标准方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1, a ? b ? 0 ,

所以 a 2 ? b 2 ? 4 ,即椭圆的方程为 又点( ? 2 , ? 2 )在椭圆上,所以 解得 b 2 ? 4 或 b 2 ? ? 2 (舍) ,

x
2

2

b ?4

?

y b

2 2

?1,

4 b ?4
2

?

2 b
2

?1,

由此得 a 2 ? 8 ,即椭圆的标准方程为

x

2

8

?

y

2

4

? 1。 、
y 1 )、 B ( x 2 , y 2 ),

(2)设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,与椭圆 C 的交点 A ( x 1 , 则有 ? x 2
? y ? kx ? m ? 2 , y ? 2 ?1 ?a2 b ?

解得 (b 2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2 a 2 kmx ? a 2 m 2 ? a 2 b 2 ? 0 ,
? ? 0 ,所以 m ? b ? a k ,即 ?
2 2 2 2

b ?a k
2 2

2

?m?

b ?a k
2 2

2

.

则 x1 ? x 2 ? ?

2 a km b ?a k
2 2 2

2

,

y 1 ? y 2 ? kx 1 ? m ? kx 2 ? m ?

2b m b ?a k
2 2 2

2



, 所以 AB 中点 M 的坐标为 ? ? 2 ? b ? a 2k 2 ?

?

a km

2

? ?. b ?a k ? ? b m
2 2 2 2

所以线段 AB 的中点 M 在过原点的直线 b 2 x ? a 2 k y ? 0 上。


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