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宁夏银川一中2013-2014学年高一下学期期中考试 数学


银川一中 2013/2014 学年度(下)高一期中考试
A.

5 2

B.

-

5 2

C. ?

5 2

D. ?

3 2
) 丙的成绩 10 6 环数 频数 7 4 8 6 9 6 10 4

8.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表分别表示 一、选择题(每小题 4 分,共 12 小题 48 分) 1. sin 420°的值是( A. - 1 2 B. ) 1 2 C.- 3 2 ) D. 3 π 2 D. 3 2 环数 频数 甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差 s1,s2,s3 ,则有( 甲的成绩 7 5 8 5 9 5 10 5 环数 频数 B. s2 ? s1 ? s3 乙的成绩 7 6 8 4 9 4

3 2. 圆的半径为 r,该圆上长为 r 的弧所对的圆心角是( 2 A. 2 rad 3 3 B. rad 2 ) 2 C. π 3

A. s3 ? s1 ? s2

C. s1 ? s2 ? s3

D. s2 ? s3 ? s1

9.在 Δ ABC 中,点 M 是AB的中点,N点分AC的比为AN:NC=1:2 BN与CM相 交于E,设 AB ? a, AC ? b ,则向量 AE ? ( ) C.

3. 下列关系式中正确的是(

? ? ? A. sin 11 ? cos10 ? sin 168
? ? ? C. sin 11 ? sin 168 ? cos10

? ? ? B. sin 168 ? sin 11 ? cos10
? ? ? D. sin 168 ? cos10 ? sin 11

A.

1 1 a? b 3 2

B.

1 2 a? b 2 3

2 1 a? b 5 5

D.

3 4 a? b 5 5

4. 已知两点 A(4,1),B(7,-3),则与向量 AB 同向的单位向量是( A.(



10.函数 y ? ? cos( A. ?2k? ? ) C. ?2k? ?

?

x ? ) 的单调递增区间是( 3 2

) B. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? ? D. ?4k? ? ? ,4k? ? ? ? (k ? Z ) 3 3 ? ?

3 4 ,- ) 5 5

B.(-

3 4 , ) 5 5

C.(-

4 3 , ) 5 5

D .(

4 3 ,- ) 5 5

? ? ? ?

4 2 ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ? 2 8 ? ? ,2k? ? ? ?(k ? Z ) 3 3 ?

?

4

2 ?

5. 已知 a ? 6 , b ? 3 , a ? b ? ?12 则向量 a 在向量 b 方向上的投影是 ( A.2 B.-2 C.4
频率 组距

?

2

8 ?

D.-4 11.记 a,b 分别是投掷两次骰子所得的数字,则方程 根的概率为( A. ) B.

6.如图所示是一样本的频率分布直方图, 则由图形中的数据,可以估计众数与 中位数分别是( A.12.5 B.12.5 C.13 D.13 12.5 13 12.5 13 )

x 2 ? ax ? 2b ? 0 有两个不同实
9 10

5 18

1 4

C.

3 10

D.

12.给出下列结论:①若 a ? 0 , a ? b ? 0 ,则 b ? 0 ; ②若 a ? b ? b ? c ,则 a ? c ; ③ (a ? b)c ? a(b ? c) ; ④ a, b 为非零不共线,若 a ? b ? a ? b , 则a ? b ;

⑤ a, b, c 非零不共线,则 (b ? c) ? a ? (c ? a) ? b 与 c 垂直 其中正确的为( ) B. ①②④ C. ④⑤ D. ③④ 1 ,则 sin θ -cos θ 的值为( 8

7.若 θ 是△ABC 的一个内角,且 sin θ cos θ =-

)

A. ②③

二、填空题:(每小题 4 分,共 16 分)

13.已知向量 a , b 满足 a ? b ? 0 , a ? 1 , b ? 2 ,则 2a ? b ? _________。
2 14.若向量 a ? ? x ? 3, x ? 3 x ? 4 与 AB 相等,其中 A ?1, 2? , B ? 3, 2? ,则 x =_________。

如图:已知,在 ? OAB 中,点 A 是 BC 的中点,点 D 是将向量 OB 分为 2:1 的一个分点, DC 和 OA 交于点 E.设 OA ? a , OB ? b (1)用向量 a, b 表示 OC, DC ; (2)若 OE ? ?OA ,求实数 ? 的值。 21.(本小题满分 9 分) O E D B

?

15.某学校有教师 200 人,男学生 1200 人,女生 1000 人,用分层抽样的方法从全体学生中 抽取一个容量为 n 的样本,若女生抽取 80 人,则 n=_____________ 16.一只蚂蚁在三边长分别为 3、4、5 的三角形面内爬行,某时间该蚂蚁距离三角形的三个 顶点的距离均超过 1 的概率为 三、解答题: 17.(本小题满分 8 分) (1)化简: ;

A

C 对实验中学高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作样本,得到

这 M 名学生参加社区服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图 如图: (1)求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求两人来 自同一小组的概率.

sin(5400 ? ? ) ? cos(?? ) tan(? ? 1800 )
2

(2)已知 tan α =3,计算 sin ? ? sin ? cos ? 的值. 18.(本小题满分 9 分) 以下茎叶图记录了甲,乙两组各三名同学在期末考试中的数学 成绩(满分为 100 分)。乙组记录中有一个数字模糊,无法确认, 假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示。 (1)若甲,乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值。 (2)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率。 (3)当 a=2 时,分别从甲,乙两组同学中各随机选取一名同学,求这两名同学的数学 成绩之差的绝对值为 2 分的概率。 19. (本小题满分 9 分)

22.(本小题满分 12 分) 已知:函数 f ( x ) ?

? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 已知函数 f ( x ) ? A sin(
的部分图象,如图所示. (1)求函数解析式; (2)若方程 f ( x) ? m 在 [? 求 m 的取值范围.

1 (sinx ? sin x ), x ? R 2

(1)求函数 f ( x ) 的周期 T,与单调增区间。 (2)函数 y ? f ( x )与y ? lg x 的图象有几个公共交点。

, ] 有两个不同的实根, 12 12

? 13?

(3)设关于 x 的函数 g( x) ? ?2 sin x ? 2a cos x ? 2a ? 1 的最小值为 h(a ) ,试确定
2

满足 h( a ) ?

1 的 a 的值,并对此时的 a 值求 g ( x) 的最小值。 2

20. (本小题满分 9 分)

银川一中 2013/2014 学年度(下)高一期中数学试卷答案
一、选择题: (本题每小题 4 分,共 48 分. ) 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 A 8 B 9 C 10 D 11 B 12 C

(3)解:当 有 , 种 P=

时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结果 , , , , , ,

种, 它们是: ,

,这两名同学的数学成绩之差的绝对值为 2 分的有三 所以这两名同学的数学成绩之差的绝对值为 2 分的概率

二、填空题: (本题每小题 4 分,共 16 分. ) 13. 2 2 14. -1 15. 176 16. 1 ?

?
12

三、解答(本题共 70 分. ) 17.(8 分)1)原式=

3 1 ? 。 。 。9 分 9 3

sin(180 ? ? ) cos? ? sin ? cos? 。 。 。 。 。 。 。4 分 ? ? ? cos2 ? 。 tan? tan?
0

19.(9 分) 解: (1) ?(x)=sin(2x+ (2) m ? (?1,0) ? ( 20.(9 分)

5? )…………5 分 6

2)由 tan ? ? 3 原式=

sin ? ? sin ? cos? tan ? ? tan? 6 = 。 。 。8 分 ? 。 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1
2 2

3 ,1) …………9 分 2

18. (9 分)

解(1)依题意,得



解得

.。 。 。 。 。3 分

(2)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件



依题意

,共有 10 种可能.

1 (OB ? OC ) ? OC ? 2OA ? OB = 2a ? b ............................2 分 2 2 5 DC ? OC ? OD ? OC ? OB ? 2a ? b ..................................................4 分 3 3 5 2)? D,E,C 三点共线? DE ? mDC ? 2m a ? mb .......(1) 3 2 2 在 ? ODE 中 DE ? OE ? OD ? ? OA ? OB ? ? a ? b 。 。 。 。 。 。 (2) 3 3 ? 5 2 4 2 ? 2m ? ? 2 ? ? ? ,m ? 。 由(1) (2)得 2m a ? mb = ? a ? b ? ? 5 。 。 。 。 。9 分 ? m ? ? 3 3 5 5 ? 3 ? 3
1) OA = 21. (9 分) 1)由分组知 ?10,15? 内的频数为 10,频率为 0.25,所以 P=1-0.25-0.6-0.05=0.1.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分

由(Ⅰ )可知,当

时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,

10 ? 0.25 ,M=40.。 。 。 。 。 。 。 。1 分 M

a?

所以当

时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可能.

0.6 ? 0.12 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 5

2)m=40-10-24-2=4,社区服务的次数不少于 20 次的学生共有 m+2=6.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

?20,25?小组有4人 ,设为 ?A, B, C, D?, ?25,30? 小组有 2 人,设为 ?m, n?,则任选 2 人,
所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 . 。 。 。 。 。 。6 分 共有 15 种:

??A, B?, ( AC), ( AD), ( Am), ( An), (BC), (BD), (Bm), (Bn), (CD), (Cm), (Cn), (Dm), (Dn), (mn)?
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分

来自于同一组的有 7 种: ?( AB), ( AC), ( AD), ( BC), ( BD), (CD), (mn)? .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求两人来自同一小 组的概率.P= 22.(12 分) 1)T= ? 。 。 。 。 。 。 。1 分 增区间: ?2k? ,2k? ?

? a ? ?1 ,此时 g min ? ( 2t 2 ? 2t ? 1) min ?

1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 2

7 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分 15

? ?

??
2? ?

。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分

?sinx 2k? ? x ? 2k? ? ? f ( x) ? ? 2k? ? x ? 2k? ? 2? ?0
1

0

?

2?

3?

4?

5?

2) 作函数 y ? f ( x)与y ? lg x 的图象, 从图象可以看出函数 y ? f ( x)与y ? lg x 的图象有三 个交点。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 3)解:整理得: g ( x) ? 2 cos2 x ? 2a cos x ? (2a ? 1) 令 cos x ? t , t ? [?1,1] , 则 g ( x) ? 2t 2 ? 2at ? (2a ? 1) ,对称轴 t ?

a , 2



1 a ? ?1 ,即 a ? ?2 时, [?1,1] 是函数 g(x)的递增区间, g min ? 1 ? ; 2 2



1 a ? 1 ,即 a ? 2 时, [?1,1] 是函数 y 的递减区间, g min ? ?4a ? 1 ? 2 2
1 ,与 a ? 2 矛盾; 8

得a ? 当 ?1 ?

a2 1 a ? 1, ? 2a ? 1 ? ? a 2 ? 4a ? 3 ? 0 , 即 ?2 ? a ? 2 时,g min ? ? 得 a ? ?1, 2 2 2

或 a ? ?3 , a ? ?3 舍


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