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2012中考数学思想方法专题讲座——整体思想解题策略


初中数学思想之——整体思想 初中数学思想之——整体思想 数学思想之——
整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题 进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易,同时又能培养学生思维 的灵活性、敏捷性.整体思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改 造等等.在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面,整体思想都有很好的应用,因 此,每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题,尤其在考查高层次思维能力和创新意识 方面具有独特的作用. 一.数与式中的整体思想 数与式中的整体思想

4 x2 ? x + 6 3 【例 1】 已知代数式 3x2-4x+6 的值为 9,则 的值为 (
A.18 【例 2】 .已知 B.12 C.9 D.7

)

1 1 a ? 2ab ? b ? = 4, 则 的值等于 ( a b 2a ? 2b + 7 ab
=

) A. 6

B. ?6

C.

12 5

D. ?

2 7

. a ? 2ab ? b a ? b ? 2ab = = 2a ? 2b + 7 ab 2(a ? b) + 7 ab

【例 3】已知 a = 200 x + 2007 ,b = 200 x + 2008 ,c = 200 x + 2009 ,求多项式 a 2 + b 2 + c 2 ? ab ? bc ? ac 的值. 二.方程(组)与不等式(组)中的整体思想 【例 4】已知 ?

【例

? x + 2 y = 4k + 1 ,且 0 < x + y < 3 ,则 k 的取值范围是 ?2 x + y = k + 2 ?3 x ? ay = 5 ?x = 5 5】已知关于 x , y 的二元一次方程组 ? 的解为 ? ,那么关于 x , y 的二元一次方程组 ? x + by = 11 ?y = 6

?3( x + y ) ? a ( x ? y ) = 5 的解为为 ? ? x + y + b( x ? y ) = 11
【例 6】 .解方程

2 x 2 + 3x ? 4 =

5 2 x + 3x
2

三.函数与图象中的整体思想 【例 7】已知 y + m 和 x ? n 成正比例(其中 m 、 n 是常数) (1)求证: y 是

x 的一次函数; (2)如果 y = ?15 时, x = ?1 ; x = 7 时, y = 1 ,求这个
函数的解析式 四.几何与图形中的整体思想 【例 8】 .如图, 【例 9】 .如图,菱形

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = ABCD 的对角线长分别为 3 和 4 , P 是对角线 AC 上 任一点(点 P 不与 A , C 重合) ,且 PE ∥ BC 交 AB 于 E , PF ∥ CD 交 AD 于 F ,则图中阴影部分的面 AF
与 BC + CF 的大小

积为 . . 【例 10】 .如图,在正方形 ABCD 中, E 为 BC 边的中点, AE 平分 ∠BAF ,试判断 关系,并说明理由.

1

【巩固练习】 : 1.当代数式 a -b 的值为 3 时,代数式 2 a -2b+1 的值是 A.5 B.6 C.7 D.8 ( ) ( )

2.用换元法解方程(x2+x) 2+2(x2+x)-1=0,若设 y=x2+x,则原方程可变形为 A.y2+2y+1=0 B.y2-2y+1=0 C.y2+2y-1=0

D.y2-2y-1=0

3.当 x=1 时,代数式 a x3+bx+7 的值为 4,则当 x=-l 时,代数式 a x3+bx+7 的值为 A.7 B.10 C.11 D.12 ( )

4.若方程组 ?

?3x + y = k + 1, 的解 x,y 满足 0<x+y<1,则 k 的取值范围是 ? x + 3y = 3
B.-1<k<0 C.0<k<8 D.k>-4

(

)

A.-4<k<0

5.(08 芜湖)已知

1 1 2 x ? 14 xy ? 2 y ? = 3 ,则代数式 x y x ? 2 xy ? y

的值为_________.

6.已知 x2-2x-1=0,且 x<0,则 x ?

1 =__________. x 7.如果( a 2+b2) 2-2( a 2+b2)-3=0,那么 a 2+b2=_________.

8.如图,在高 2 米,坡角为 30°的楼梯表面铺地毯,则地毯长 度至少需________米. 9.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三 角形,其中最大的正方形的边长为 7 cm,则正方形 A,B,C,D 的面积之和为__________cm2.

10.(07 泰州)先化简,再求值:

? a2 ? 4 1 ? 2 ,其中 a 是方程 x2+3x+1=0 的根. ? ? 2 ?÷ a ? 4a + 4 2 ? a ? a 2 ? 2a ?

2 ( x + 1) x +1 + ?6 = 0 x2 x 11.(08 苏州)解方程: .
2

2


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