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四川省成都经开区实验高级中学高2016年高考仿真训练(二)数学文试题


成都经开区实验高级中学高 2016 年高考仿真训练(二)
数学(文史类) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.已知集合 A ? {x ? Z | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则 A ? B ? ( A. {x | ?1 ? x ? 2} B. {?1,1} C. {?1, 0,1} D. {0,1, 2} 2、复数 z ? )

1 ? 2i 的共轭复数为( ) i A. 2 ? i B. 2 ? i C. ?2 ? i

D. ?2 ? i )

3、抛物线 y 2 ? ?4x 上的点 P(?3, m) 到焦点的距离等于( A.1 B.2 C.3 D.4

4、下列函数为偶函数且在区间 (0, ??) 上单调递增的是( A. y ?

) D. y ? 3
x

1 x

B. y ? ? x ? 1
2

C. y ? lg | x |


5 、已知向量 a ? ? m, 2 ? , b ? ? ?1, n ?? n ? 0 ? ,且 a ? b ? 0 ,点 P ? m, n? 在圆 x2 ? y 2 ? 5 上,则 2a ? b ? ( ) A. 3 2 B.6 C. 4 2 ) D. 0.3 ? 0.3
a b

?

?

? ?

?

?

D. 34

6、若 a ? b ? 0 ,则 下列不等式成立的是( A.

1 1 1 ? ?2 a b ab

B. a

?

1 2

?b

?

1 2

C. ln(a ? b) ? 0

7、 将奇函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? 点对称,则 ? 的值可以为( A. 2 B. 3 8、如图给出的是计算 ) C. 4

?
2

?? ?

?
2

) 的图象向左平移

? 个单位得到的图象关于原 6

D. 6

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值的一个框图, 2 4 6 20


其中菱形判断框内应填入的条件是( A. i ? 8? B. i ? 9? C. i ? 10 ? D. i ? 11? 9、过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线 a 2 b2 与双曲线交于 A 、 B 两点,与双曲线的渐近线交于 C 、 D 两点,若 3 AB ? CD ,则双曲线的离心率为( ) 5 5 5 4 A. B. C. D.2 4 3 3
10、已知函数 f ( x) ? ( x ? x1 )( x ? x2 )( x ? x3 ) (其中 x1 ? x2 ? x3 ), g ( x) ? e ? e
x ?x

,且函数 f ( x) 的两

个极值点为 ? , ? (? ? ? ) ,设 ? ?

x ? x3 x1 ? x 2 ,? ? 2 ,则( ) 2 2 A. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) B. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) C. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? ) D. g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g ( ? )

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、从某小区抽取 100 户居民进行月用电量 调查,发现其用电量都在 50 到 350 度之间 频率分布直方图所示,在这些用户中,用电 量落在区间 [100, 250) 内的户数为 .

?x ? 2 ? 0 y ? 12、若 x, y 满足条件 ? x ? y ? 6 ,则 的 x ?2 x ? y ? 6 ?
最大值等于

13、某几何体的三视图如右图所示,其中正视图是腰长 为 2 cm 的等腰三角形,俯视图是半径为 1 cm 的半 圆,则该几何体的体积是

cm3 .

正视图

侧视图

14、若曲线 C : y ? e x ? ax ? 1 存在与直线 3x ? y ? 0 平行 的切线,则函数 f ( x) ? x2 ? ax ? 2 的零点个数为 为自倒函数. ① f ( x) ? sin x ? 2 ( x ? [ ? .
俯视图

15、若函数 y ? f ( x) 对定义域 D 的每一个 x1 ,都存在唯一的 x2 ? D ,使 f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 成立,则称 f ( x )

? ?

, ]) 是自倒函数; 2 2

②自倒函数的值域可以是 R ; ③自倒函数可以是奇函数; ④若 y ? f ( x) 、 y ? g ( x) 都是自倒函数,且定义域相同,则 y ? f ( x) g ( x) 是自倒函数. 上述命题正确的有 (填上你认为正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 满足 an?2 ? an ? 2an?1 ,且 a1 ? 1 , a2 ? 4 . (1)求数列 {an } 的通项公式;(2)若数列 {

3 } 的前 n 项和为 Sn ,求证: Sn ? 1 . an an ?1

3? ? x) sin(? ? x) .(1)求 f ( x) 的最小正周期和单调递增区 2 间;(2)已知锐角 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 f ( A) ? ? 3 , a ? 3 ,求 BC 边上的高 h 的最大值.
17、(12 分)已知 f ( x) ? 3 cos 2 x ? 2sin(

18、(12 分)我省深入贯彻中央“精准扶贫”的统一部署,在某地因地制宜,发展土豆出口产业.土豆种植已 经形成初步规模,出口商设置了大量的代收点.已知土豆收购按质量标准可分为四个等级,某代收点对等级 的统计结果如下表所示: 等级 频率 特级 0.30 一级 二级 三级 0.10

2m

m

现从该代售点随机抽取了 n 袋土豆,其中二级品为恰有 40 袋.(Ⅰ)求 m 、 n 的值; (Ⅱ)利用分层抽样的 方法从这 n 袋土豆中抽取 10 袋,剔除特级品后,再从剩余土豆中任意抽取两袋,求抽取的两袋都是一等品 的概率.

19、(12 分)如图,多面体 ABCDPE 的底面 ABCD 是平行四边形, AB ? AD , PD ? 平面 ABCD , EC / / PD ,且 PD ? 2 EC .(1)求证:平面 PAC ? 平面 PBD ; (2)若棱 AP 的中点为 H ,证明:HE / / 平面 ABCD .

20、(13 分)已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长等于圆 C2 : x2 ? y2 ? 8 的直径,左顶点到直线 a 2 b2

x y 4 6 ? ? 1 的距离为 ,点 N 为原点关于椭圆 C1 的上顶点的对称点.(1)求椭圆 C1 的标准方程; (2) a b 3 过点 M (0, m) 任作一条直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆 C1 相交于 A 、 B 两点,连接 AN , BN ,试问:是 ??? ? ??? ? ???? ? NA NB 否存在实数 m ,使得 NM ? ? ( ??? ? ? ??? ? ) 成立,若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由. NA NB l:

2 21 、 ( 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax(a ? R), g ( x) ? ln x . ( 1 ) 求 证 : g ( x ) ?

x ;(2)设 2

h( x) ? f ( x)? b g( x) ( ? b . R )①若 a 2 ? b ? 0 ,且当 x ? 0 时 h( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围; ②若 h( x) 在 (0, ??) 上存在零点,且 a ? b ? ?2 ,求 b 的取值范围.

成都经开区实验高级中学高 2016 年高考仿真训练(二)
数学(文史类) 一、选择题 题号 答案 9、 10、解:? f ?( x) ? ( x ? x1 )(x ? x2 ) ? ( x ? x2 )(x ? x3 ) ? ( x ? x1 )(x ? x3 ) 1 C 2 B 3 D 4 C 5 D 6 A 7 D 8 C 9 A 10 B

x ? x3 2 x1 ? x 2 2 ) ? 0 , f ?( ? ) ? ?( 2 ) ?0 2 2 ?? ? ? ? ? ? ? ,又 g ( x) 在 R 上递增 ? g (? ) ? g (? ) ? g ( ? ) ? g (? ) ,故选 B。 ? f ?(? ) ? ?(
二、填空题 11、70 12、2 13、

3 ? 6

14、2

15、①③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16、解:(1)∵ an?2 ? an ? 2an?1 ,∴数列 {an } 是等差数列------------------2 分 ∵ a2 ? 4 ,∴ a1 ? d ? 4 ,∴ d ? 3 ∴ an ? 1 ? 3(n ?1) ? 3n ? 2 ----------------------6 分 (2)

3 3 1 1 ------------8 分 ? ? ? an an ?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3n ? 2 3n ? 1
1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? ---------10 分 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 3n ? 1

∴ Sn ? 1 ? ∵

1 ? 0 ,∴ Sn ? 1 ----------------------12 分 3n ? 1

17、解:(1) f ( x) ? 3 cos 2x ? 2cos x sin x ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

? ?2sin(2 x ? ) -----------------------3 分【也可化成 2 cos(2 x ? ) 】 6 3
∴ f ( x ) 的最小正周期为 ? -------------------------4 分

?

?

3? 5? 11? ? 2 k? 得 ? k? ? x ? ? k? 2 3 2 12 12 5? 11? ? k? , ? k? ], k ? Z --------------------6 分 ∴单调递增区间为 [ 12 12


?

? 2 k? ? 2 x ?

?

?

(2)∵ f ( A) ? ? 3 ,∴ sin(2 A ? ∵0 ? A ?

?
3

)?

3 2

?
2

,∴ ?
2 2

?
3

? 2A ?
2

?
3

?

2? ? ? ? ,∴ 2 A ? ? ,∴ A ? --------8 分 3 3 3 3
2 2

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 b ? c ? 9 ? bc ∵ b ? c ? 2bc ,∴ 9 ? bc ? 2bc ,∴ bc ? 9 (当且仅当 b ? c 时取等号)----10 分
2 2

∵ S ?ABC ?

1 1 3 3 3 bc sin A ? ah ,∴ h ? bc ? 2 2 6 2

∴ BC 边上的高 h 的最大值为

3 3 ------------------------------12 分 2
?0 . , 1 0 1 m ? 0 . 2 . 0所 以 解 得

? 0m ?2 m? 18 、 解 : 解 : ( Ⅰ ) 由 已 知 可 得 0 . 3

n?

40 40 ? ? 200 . m 0.20

………………………………. (5 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,利用分层抽样的方法从这 n 袋土豆中抽取 10 袋土豆,则特级品有 3 袋,一等品有 4 袋, 二等品有 2 袋,三等品有 1 袋.记一等品的四袋为分别为 A, B, C , D ,二等品的两袋为 a , b ,三等品的一袋 为 c .则从中抽取两袋,不同的结果有:

{ A, B} ,{ A, C} ,{ A, D} ,{ A, a} ,{ A, b} ,{A, c} ,{B, C} ,{B, D} ,{B, a} ,{B, b} ,{B, c} ,{C , D} , {C, a} , {C, b} , {C, c} , {D, a} , {D, c} , {a, b} , {D, b} , {a, c} , {b, c} .共 21 种. ………………………….
(9 分) 其 中 抽 取 的 两 袋 都 是 一 等 品 的 有 : { A, B} , { A, C} , { A, D} , {B, C} , {B, D} , {C , D} , 共 6 种. …………………………. (10 分) 所以抽取的两袋都是一等品的概率为 P ? 6 ? 2 .(12 分) 21 7 19、证明:(1)∵ ABCD 是平行四边形, AB ? AD ∴ ABCD 是菱形,∴ AC ? BD --------------1 分 ∵ PD ? 平面 ABCD ,∴ PD ? AC --------------2 分 又 BD ? PD ? D ,∴ AC ? 平面 PBD -----------------4 分 ∵ AC ? 平面 PAC ,∴平面 PAC ? 平面 PBD -------------6 分 (2)取 AD 的中点 F ,连接 FH、FC ∵棱 AP 的中点为 H ,∴ FH / / ∵ EC / /

1 PD 2

1 PD ,∴ FH / /EC ,∴四边形 HFCE 为平行四边形-------9 分 2 ∴ HE / / CF ,又 HE ? 平面 ABCD , CF ? 平面 ABCD ∴ HE / / 平面 ABCD .------------------------------12 分 20、解:(1)由题意得 2a ? 4 2 ,∴ a ? 2 2 --------------1 分 左顶点为 (?2 2,0) ,直线 l 的方程为 bx ? 2 2 y ? 2 2b ? 0


?2 2b ? 2 2b b2 ? 8

?

4 6 ,∴ b ? 2 ------------------3 分 3

x2 y 2 ? ? 1 ----------------4 分 8 4 (2)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 )
∴椭圆 C1 的标准方程为

? y ? kx ? m ? 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,消 y : (1 ? 2k ) x ? 4kmx ? 2m ? 8 ? 0 ?1 ? ? 4 ?8 ?4km 2m 2 ? 8 x x ? ∴ x1 ? x2 ? , --------------6 分 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2 2 2 2 2 又 ? ? (4km) ? 4(1 ? 2k )(2m ? 8) ? 0 ,∴ 8k ? m ? 4 ? 0 ------7 分

??? ? ??? ? ???? ? NA NB ∵ NM ? ? ( ??? ? ? ??? ? ) , N (0, 4) , NA NB
∴ NM 平分 ?ANB ,∴ AN 、 BN 的倾斜角互补,∴ kNA ? kNB ? 0 -----------9 分 ∴ k NA ? k NB ?

y1 ? 4 y2 ? 4 kx1 ? m ? 4 kx2 ? m ? 4 m?4 m?4 ? ? ? ? 2k ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

(m ? 4)( x1 ? x2 ) (m ? 4)(?4km) 1 ? 2k 2 ?4km(m ? 4) ? 2k ? ? 2 ? 2k ? ?0 2 x1 x2 1 ? 2k 2m ? 8 2m2 ? 8 ∵ k ? 0 ,∴ m ? 1 ----------------12 分 ∵满足 ? ? 0 ,∴存在满足条件的实数 m ? 1 ----------------13 分 x x 1 1 2? x ( x ? 0) ---1 分 21、解:(1)设 ? ( x) ? g ( x) ? ? ln x ? ,则 ? ?( x) ? ? ? 2 2 x 2 2x ∴ ? ( x) 在 (0, 2) 上单调递增,在 (2, ??) 上单调递减,--------2 分 x ∴ ? ( x)max ? ? (2) ? ln 2 ?1 ? 0 ,∴ ? ( x) ? 0 ,即 g ( x ) ? ---------------3 分 2 2 (2) h( x) ? x ? ax ? b ln x 2 ①∵ a ? b ? 0 ,∴ h( x) ? x2 ? ax ? a 2 ln x ? 2k ?
a 2 2 x 2 ? ax ? a 2 (2 x ? a)( x ? a) ? ? ( x ? 0) ---------4 分 x x x (ⅰ)当 a ? 0 时, h( x) ? x2 ? 0 恒成立;------------5 分 a a (ⅱ)当 a ? 0 时, h( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调递增, 2 2 3 a 3 a ∴ h( x) min ? h( ) ? a 2 ? a 2 ln ? 0 ,解得 0 ? a ? 2e 4 ---------------6 分 2 4 2 (ⅲ)当 a ? 0 时, h( x) 在 (0, ?a) 上单调递减,在 (?a, ??) 上单调递增, ∴ h( x)min ? h(?a) ? ?a2 ln(?a) ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 0 --------------7 分
则 h?( x) ? 2 x ? a ? 综上所述, a 的取值范围为 ?1 ? a ? 2e 4 ---------------------8 分 ②∵ h( x) 在 (0, ??) 上存在零点,∴ x ? ax ? b ln x ? 0 在 (0, ??) 上有解
2

3

b ln x 在 (0, ??) 上有解 x b ln x ? b ? ?2 在 (0, ??) 上有解 ∵ a ? b ? ?2 ,∴ ? x ? x x x2 ? 2 x 由(1)可得 ln x ? ? x ,∴ b ? 在 (0, ??) 上有解 2 x ? ln x x2 ? 2 x ( x ? 1)( x ? 2 ln x ? 2) 设 F ( x) ? ,则 F ?( x) ? x ? ln x ( x ? ln x) 2 x ∵ ln x ? ,∴ x ? 2 ln x ? 2 ? 0 , 2 ∴ F ( x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1, ??) 上单调递增, ∴ F ( x)min ? F (1) ? ?1,故 b ? ?1 ----------------------------------14 分
即 a ? ?x ?



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