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浙江省宁波市2014年中考数学试卷及答案(Word解析版)


浙江省宁波市 2014 年中考数学试卷
一、选择题(每小题 4 分,共 48 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.(4 分)(2014?宁波)下列各数中,既不是正数也不是负数的是( ) A.0 B.﹣ 1 C. D.2 考点: 分析: 解答: 点评: 实数;正数和负数. 根据实数的分类,可得答案. 解:0 既不是正数也不是负数, 故选:A. 本题考查了实数,大于 0 的数是正数,小于 0 的数是负数,0 既 不是正数也不是负数.

2.(4 分)(2014?宁波)宁波轨道交通 1 号线、2 号线建设总投资 253.7 亿元,其中 253.7 亿用科学记数法表示为( ) A.253.7×108 B.25.37×109 C.2.537×1010 D.2.537×1011 考点: 分析: 科学记数法—表示较大的数. 科学记数法的表示形式为 a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整 数. 确定 n 的值时, 要看把原数变成 a 时, 小数点移动了多少位, n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 解:253.7 亿=253 7000 0000=2.537×10 , 故选:C. 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 n a×10 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数,表示时关键要正确确 定 a 的值以及 n 的值.
10 n

解答: 点评:

3.(4 分)(2014?宁波)用矩形纸片折出直角的平分线,下列折法正确的是( ) A. B. C. D.

考点: 分析: 解答:

翻折变换(折叠问题). 根据图形翻 折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一 判断. 解:A.当长方形如 A 所示对折时,其重叠部分两角的和一个顶 点处小于 90°,另一顶点处大于 90°,故本选项错误; B.当如 B 所示折叠时,其重叠部分两角的和小于 90°,故本选 项错误; C.当如 C 所示折叠时,折痕不经过长方形任何一角的顶点,所 以不可能是角的平分线,故本选项错误;

点评:

D.当如 D 所示折叠时,两角的和是 90°,由折叠的性质可知其 折痕必是其角的平分线,正确. 故选:D. 本题考查的是角平分线的定义及图形折叠的性质, 熟知图形折叠 的性质是解答此题的关键.

4.(4 分)(2014?宁波)杨梅开始采摘啦!每框杨梅以 5 千克 为基准,超过的千克数记为 正数,不足的千克数记为负数,记录如图,则这 4 框杨梅的总质量是( )

A.19.7 千克 考点: 分析: 解答: 点评:

B.19.9 千克 正数和负数

C.20.1 千克

D.20.3 千克

根据有理数的加法,可得答案. 解:(﹣0.1﹣0.3+0.2+0.3)+5×4=20.1(千克), 故选:C. 本题考查了正数和负数,有理数的加法运算是解题关键.

5.(4 分)(2014?宁波)圆锥的母线长为 4,底面半径为 2,则此圆锥的侧面积是( ) A.6π B.8π C.12π D.16π 考点: 专题: 分析: 解答: 圆锥的计算 计算题. 根据圆锥的侧面展开图为一扇形, 这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长,扇形的半径 等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解. 解:此圆锥的侧面积= ?4?2π?2=8π. 故选 B. 本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形 的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.

点评:

6.(4 分)(2014?宁波)菱形的两条对角线长分别是 6 和 8,则此菱形的边长是( ) A.10 考点: 分析: 解答: B.8 C.6 D.5

菱形的性质;勾股定理. 根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长. 解:∵四边形 ABCD 是菱形,AC=8,BD=6, ∴OB=OD=3,OA=OC=4,AC⊥BD, 在 Rt△AOB 中, 由勾股定理得:AB= = =5,

即菱形 ABCD 的边长 AB=BC=CD=AD=5, 故选 D.

点评:

本题考查了菱形的性质和勾股定理,关键是求出 OA、O B 的长, 注意:菱形的对角线互相平分且垂直.

7.(4 分)(2014?宁波)如图,在 2×2 的正方形网格中有 9 个格点,已经取定点 A 和 B, 在余下的 7 个点中任取一点 C,使△ABC 为直角三角形的概率是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析: 解答:

概率公式 网格型. 找到可以组成直角三角形的点,根据概率公式解答即可. 解:如图,C1,C2,C3,均可与点 A 和 B 组成直角三角形. P= ,故选 C.

点评:

本题考查了概率公式:如果一个事件有 n 种可能,而且这些事件 的可能性相同,其中事件 A 出现 m 种结果,那么事件 A 的概率 P(A)= .

8. (4 分) (2014?宁波) 如图, 梯形 ABCD 中, AD∥BC,∠B=∠ACD=90°, AB=2, DC=3, 则△ABC 与△DCA 的面积比为( )

A.2:3 考点: 分析:

B.2:5

C.4:9

D.



相似三角形的判定与性质. 先求出△CBA∽△ACD,求出 = ,

COS∠ACB?COS∠DAC= , 得出△ABC 与△DCA 的面积比= . 解答: 解:∵AD∥BC, ∴∠ACB=∠DAC 又∵∠B=∠ACD=90°, ∴△CBA∽△ACD = = ,

AB=2,DC=3, ∴ ∴ = = = ,

= , = , =

∴COS∠ACB= COS∠DAC= ∴ ∴ ?

= × = ,

= , ,

∵△ABC 与△DCA 的面积比=

∴△ABC 与△DCA 的面积比= , 故选:C. 本题主要考查了三角形相似的判定及性质, 解决本题的关键是明 确△ABC 与△DCA 的面积比= .

点评:

9.(4 分)(2014?宁波)已知命题“关于 x 的一元二次方程 x +bx+1=0,当 b<0 时必有实 数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( ) A.b=﹣1 B.b=2 C.b=﹣2 D.b=0

2

考点: 专题 : 分析:

命题与定理;根的判别式 常规题型. 先根据判别式得到△=b ﹣4,在满足 b<0 的前提下,取 b=﹣1 得到△<0,根据判别式的意义得到方程没有实数解,于是 b=﹣ 1 可作为说明这个命题是假命题的一个反例. 解:△=b ﹣4,由于当 b=﹣1 时,满足 b<0,而△<0,方程没 有实数解,所以当 b=﹣1 时,可说明这个命题是假命题. 故选 A. 本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多 命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由 已知事项推出的事项, 一个命题可以写成“如果…那么…”形式; 有 些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.也考 查了根的判别式.
2 2

解答:

点评:

10.(4 分)(2014?宁波)如果一个多面体的一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶 点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥.如图是一个四棱柱和一个六棱锥,它们各有 12 条 棱.下列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是( )

A.五棱柱 考点: 分析:

B.六棱柱 认识立体图形

C.七棱柱

D.八棱柱

解答:

点评:

根据棱锥的特点可得九棱锥侧面有 9 条棱,底面是九边形,也有 9 条棱,共 9+9=18 条棱,然后分析四个选项中的棱柱棱的条数 可得答案. 解: 九棱锥侧面有 9 条棱, 底面是九边形, 也有 9 条棱, 共 9+9=18 条棱, A、五棱柱共 15 条棱,故此选项错误; B、六棱柱共 18 条棱,故此选项正确; C、七棱柱共 21 条棱,故此选项错误; D、九棱柱共 27 条棱,故此选项错误; 故选:B. 此题主要考查了认识立体图形,关键是掌握棱柱和棱锥的形状.

11. (4 分) (2014?宁波)如图,正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,点 D 在 CG 上,BC=1, CE=3,H 是 AF 的中点,那么 CH 的长是( )

A.2.5

B.

C.

D.2

考点: 分析:

直角三角形斜边上的中线;勾股定理;勾股定理的逆定理. 连接 AC、 CF, 根据正方形性质求出 AC、 CF, ∠ACD=∠GCF=45°, 再求出∠ACF=90°,然后利用勾股定理列式求出 AF,再根据直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可. 解:如图,连接 AC、CF, ∵正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中,BC=1,CE=3, ∴AC= ,CF=3 , ∠ACD=∠GCF=45°, ∴∠ACF=90°, 由勾股定理得,AF= ∵H 是 AF 的中点, ∴CH= AF= × 2 故选 B. = . = =2 ,

解答:

点评:

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质, 正 方形的性质,勾股定理,熟记各性质并作辅助线构造出直角三角 形是解题的关键.
2

12.(4 分)(2014?宁波)已知点 A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线 y=x +4x+10 上,则点 A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为( ) A.(﹣3,7) B.(﹣1,7) C.(﹣4,10) D.(0,10) 考点: 分 析: 二次函数图象上点的坐标特征;坐标与图形变化-对称. 把点 A 坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理, 然后 根据非负数的性质列式求出 a、b,再求出点 A 的坐标,然后求 出抛物线的对称轴,再根据对称性求解即可.

解答:

解:∵点 A(a﹣2b,2﹣4ab)在抛物线 y=x +4x+10 上, 2 ∴(a﹣2b) +4×(a﹣2b)+10=2﹣4ab, 2 2 a ﹣4ab+4b +4a﹣8ab+10=2﹣4ab, 2 2 (a+2) +4(b﹣1) =0, ∴a+2=0,b﹣1=0, 解得 a=﹣2,b=1, ∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4, 2﹣4ab=2﹣4×(﹣2)×1=10, ∴点 A 的坐标为(﹣4,10), ∵对称轴为直线 x=﹣ =﹣2,

2

∴点 A 关于对称轴的对称点的坐标为(0,10). 故选 D. 点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的对称性, 坐标与图形的变化﹣对称, 把点的坐标代入抛物线解析式并整理 成非负数的形式是解题的关键.

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 13.(4 分)(2014?宁波)﹣4 的绝对值是 4 . 考点: 专题: 分析: 解答: 点评: 绝对值 计算题. 计算绝对值要根据绝对值的定义求解. 第一步列出绝对值的表达 式;第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号. 解:|﹣4|=4. 此题考查了绝对值的性质,要求掌握绝对值的性质及其定义,并 能熟练运用到实际运算当中. 绝对值规律总结:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对 值是它的相反数;0 的绝对值是 0.

14.(4 分)(2014?宁波)方程

=

的根 x= ﹣1 .

考点: 专题: 分析: 解答:

解分式方程 计算题. 分式方程去分母转化为整式方程, 求出整式方程的解得到 x 的值, 经检验即可得到分式方程的解. 解:去分母得:x=﹣1, 经检验 x=﹣1 是分式方程的解. 故答案为:﹣1. 此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”, 把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.

点评:

15.(4 分)(2014?宁波)某冷饮店一天售出各种口味雪糕数量的扇形统计图如图,其中 售出红豆口味的雪糕 200 支,那么售出水果口味雪糕的数量是 150 支.

考点: 分析: 解答:

扇形统计图 首先根据红豆口味的雪糕的数量和其所占的百分比确定售出雪糕 的总量,然后乘以水果口味的所占的百分比即可求得其数量. 解:观察扇形统计图知:售出红豆口味的雪糕 200 支,占 40%, ∴售出雪糕 总量为 200÷40%=500 支, ∵水果口味的占 30%, ∴水果口味的有 500×30%=150 支, 故答案为 150. 本题考查了扇形统计图的知识, 解题的关键是正确的从扇形统计图 中整理出进一步解题的有关信息.

点评:

16.(4 分)(2014?宁波)一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放, 则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是 ab (用 a、b 的代数式表示).

考点: 分析: 解答:

平方差公式的几何背景 利用大正方形的面积减去 4 个小正方形的面积即可求解. 解:设大正方形的边长为 x1,小正方形的边长为 x2,由图①和②列 出方程组得,

解得,

大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积= (

)﹣ (

2

) =ab.

2

故答案为:ab. 点评: 本题考查了平方差公式的几何背景,正确求出大小正方形的边长列 代数式,以及整式的化简,正确对整式进行化简是关键.

17.(4 分)(2014?宁波)为解决停车难的问题,在如图一段长 56 米的路段开辟停车位, 每个车位是长 5 米宽 2.2 米的矩形,矩形的边与路的边缘成 45°角,那么这个路段最多可以 划出 17 个这样的停车位.( ≈1.4)

考点: 分析:

解直角三角形的应用. 如图,根据三角函数可求 BC,CE,则 BE=BC+CE 可求,再根据三 角函数可求 EF,再根据停车位的个数=(56﹣BE)÷EF+1,列式计 算即可求解. 解:如图,BC=2.2×sin45°=2.2× CE=5×sin45°=5× BE=BC+CE≈5.04, EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.14 米, ≈3.5 米, ≈1.54 米,

解答:

(56﹣5.04)÷3.14+1 =50.96÷3.14+1 ≈16+1 =17(个). 故这个路段最多可以划出 17 个这样的停车位. 故答案为:17.

点评:

考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数及运算,关键把实际 问题转化为数学问题加以计算.

18.(4 分)(2014?宁波)如图,半径为 6cm 的⊙O 中,C、D 为直径 AB 的三等分点,点 E、F 分别在 AB 两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接 AE、BF,则图中两个阴影部分 的面积为 6 cm .
2

考点: 分析: 解答:

垂径定理; 全等三角形的判定与性质; 含 30 度角的直角三角形; 勾股定理. 作三角形 DBF 的轴对称图形,得到三角形 AGE,三角形 AGE 的面积就是 阴影部分的面积.

解:如图作△DBF 的轴对称图形△HAG,作 AM⊥CG,ON⊥CE, ∵△DBF 的轴对称图形△HAG, ∴△ACG≌△BDF, ∴∠ACG=∠BDF=60°, ∵∠ECB=60°, ∴G、C、E 三点共线, ∵AM⊥CG,ON⊥CE, ∴AM∥ON, ∴ = = ,

在 RT△ONC 中,∠OCN=60°, ∴ON=sin∠OCN?OC= ∵OC= OA=2, ∴ON= , ∴AM=2 , ∵ON⊥GE, ∴NE=GN= GE, 连接 OE, 在 RT△ONE 中,NE= ∴GE=2NE=2 , × 2 =6 , = = , ?OC,

∴S△AGE= GE?AM= × 2

点评:

∴图中两个阴影部分的面积为 6 , 故答案为 6 . 本题考查了平行线的性质,垂径定理,勾股定理的应用.

三、解答题(本大题有 8 小题, 共 78 分) 19.(6 分)(2014?宁波)(1)化简:(a+b) +(a﹣b)(a+b)﹣2ab; (2)解不等式:5(x﹣2)﹣2(x+1)>3. 考点: 分析: 整式的混合运算;解一元一次不等式 (1)先运用完全平方公式和平方差公式展开,再合并同类项即 可; (2)先去括号,再移项、合并同类项. 解:(1)原式=a +2ab+b +a ﹣b ﹣2ab 2 =2a ; (2)去括号,得 5x﹣10﹣2x﹣2>3, 移项、合并同类项得 3x>15, 系数化为 1,得 x>5. 本题考查了整式的混合运算以及解一元一次不等式, 是基础知识 要熟练掌握.
2 2 2 2 2

解答:

点评:

20.(8 分)(2014?宁波)作为宁波市政府民生实事之一的公共自行车建设工作已基本完 成,某部门对今年 4 月份中的 7 天进行了公共自行车日租车量的统计,结果如图:

(1)求这 7 天日租车量的众数、中位数和平均数; (2)用(1)中的平均数估计 4 月份(30 天)共租车多少万车次; (3)市政府在公共自行车建设项目中共投入 9600 万元,估计 2014 年共租车 3200 万车次, 每车次平均收入租车费 0.1 元,求 2014 年租车费收入占总投入的百分率(精确到 0.1%). 考点: 专题: 分析: 条形统计图;加权平均数;中位数;众数 计算题. (1) 找出租车量中车次最多的即为众数, 将数据按照从小到大顺序排列, 找出中间的数即为中位数,求出数据的平均数即可; (2)由(1)求出的平均数乘以 30 即可得到结果; (3)求出 2014 年的租车费,除以总投入即可得到结果.

解答:

解:(1)根据条形统计图得:出现次数最多的为 8,即众数为 8; 将数据按照从小到大顺序排列为:7.5,8,8,8,9,9,10,中位数为 8; 平均数为(7.5+8+8+8+9+9+10)÷7=8.5; (2)根据题意得:30×8.5=255(万车次), 则估计 4 月份(30 天)共租车 255 万车次; (3)根据题意得: = ≈3.3%,

点评:

则 2014 年租车费收入占总投入的百分率为 3.3%. 此题考查了条形统计图,加权平均数,中位数,以及众数,熟练掌握各 自的定义是解本题的关键.

21.(8 分)(2014?宁波)如图,从 A 地到 B 地的公路需经过 C 地,图中 AC=10 千米, ∠CAB=25°,∠CBA=37°,因城市规划的需要,将在 A、B 两地之间修建一条笔直的公路. (1)求改直的公路 AB 的长; (2)问公路改直后比原来缩短了多少千米?(sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,sin37°≈0.60, tan37°≈0.75)

考点: 分析:

解直角三角形的应用 (1)作 CH⊥AB 于 H.在 Rt△ACH 中,根据三角函数求得 CH,AH, 在 Rt△BCH 中,根据三角函数求得 BH,再根据 AB=AH+BH 即可求解; (2)在 Rt△BCH 中,根据三角函数求得 BC,再根据 AC+BC﹣AB 列 式计算即可求解. 解:(1)作 CH⊥AB 于 H. 在 Rt△ACH 中,CH=AC?sin∠CAB=AC?sin25°≈10×0.42=4.2 千米, AH=AC?cos∠CAB=AC?cos25°≈10×0.91=9.1 千米, 在 Rt△BCH 中,BH=CH÷tan∠CBA=4.2÷tan37°≈4.2÷0.75=5.6 千米, ∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7 千米. 故改直的公路 AB 的长 14.7 千米; (2)在 Rt△BCH 中,BC=CH÷sin∠CBA=4.2÷sin37°≈4.2÷0.6=7 千米, 则 AC+BC﹣AB=10+7﹣14.7=2.3 千米. 答:公路改直后比原来缩短了 2.3 千米.

解答:

点评:

此题考查了解直角三角形的应用,主要是三角函数的基本概念及运算, 关键把实际问题转化为数学问题加以计算.

22.(10 分)(2014?宁波)如图,点 A、B 分别在 x,y 轴上,点 D 在第一象限内,DC⊥x 轴于点 C,AO=CD=2,AB=DA= ,反比例函数 y= (k>0)的图象过 CD 的中点 E. (1)求证:△AOB≌△DCA; (2)求 k 的值; (3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,其中点 F 在 y 轴上,是判断点 G 是否在反比 例函数的图象上,并说明理由.

考点: 专题: 分析:

反比例函数综合题. 综合题. (1)利用“HL”证明△AOB≌△DCA; (2)先利用勾股定理计算出 AC=1,再确定 C 点坐标,然后根据点 E 为 CD 的中点可得到点 E 的坐标 为(3,1),则可根据反比例函数图象上 点的坐标特征求得 k=3; (3)根据中心对称的性质得△BFG≌△DCA,所以 FG=CA=1, BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°,则可得到 G 点坐标为(1,3),然后 根据反比例函数图象上点的坐标特征判断 G 点是否在函数 y= 的图象 上. (1)证明:∵点 A、B 分别在 x,y 轴上,点 D 在第一象限内,DC⊥x 轴, ∴∠AOB=∠DCA=90°, 在 Rt△AOB 和 Rt△DCA 中 , ∴Rt△AOB≌Rt△DCA; (2)解:在 Rt△ACD 中,CD=2,AD= ∴AC= =1,

解答:



∴OC=OA+AC=2+1=3, ∴D 点坐标为(3,2), ∵点 E 为 CD 的中点, ∴点 E 的坐标为(3,1), ∴k=3×1=3; (3)解:点 G 是否在反比例函数的图象上.理由如下: ∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称,

∴△BFG≌△DCA, ∴FG=CA=1,BF=DC=2,∠BFG=∠DCA=90°, 而 OB=AC=1, ∴OF=OB+BF=1+2=3, ∴G 点坐标为(1,3), ∵1×3=3, ∴G(1,3)在反比例函数 y= 的图象上.

点评:

本题考查了反比例函数的综合题: 掌握反比例函数图象上点的坐标特征、 中心对称的性质和三角形全等的判定与性质;会利用勾股定理进行几何 计算.
2

23.(10 分)(2014?宁波)如图,已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象过 A(2,0),B(0, ﹣1)和 C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式; (2)设二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 D,求点 D 的坐标; (3)在同一坐标系中画出直线 y=x+1,并写出当 x 在什么范围内时,一次函数的值大于二 次函数的值.

考点: 分析:

待定系数法求二次函数解析式;一次函数的图象;抛物线与 x 轴的交点;二 次函数与不等式(组) (1)根据二次函数 y=ax +bx+c 的图象过 A(2,0),B(0,﹣1)和 C(4, 5)三点,代入得出关于 a,b,c 的三元一次方程组,求得 a,b,c,从而得 出二次函数的解析式; (2)令 y=0,解一元二次方程,求得 x 的值,从而得出与 x 轴的另一个交点 坐标; (3)画出图象,再根据图象直接得出答案.
2

解答:

解:(1)∵二次函数 y=ax +bx+c 的图象过 A(2,0),B(0,﹣1)和 C (4,5)三点,

2





∴a= ,b=﹣ ,c=﹣1, ∴二次函数的解析式为 y= x ﹣ x﹣1; (2)当 y=0 时,得 x ﹣ x﹣1=0; 解得 x1=2,x2=﹣1, ∴点 D 坐标为(﹣1,0); (3)图象如图, 当一次函数的值大于二次函数的值时,x 的取值范围是﹣1<x<4.
2 2

点评:

本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线 与 x 轴的交点问题,是中档题,要熟练掌握.

24.(10 分)(2014?宁波)用正方形硬纸板做三棱柱盒子,每个盒子由 3 个矩形侧面和 2 个正三角形底面组成,硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用) A 方法:剪 6 个侧面; B 方法:剪 4 个侧面和 5 个底面.

现有 19 张硬纸板,裁剪时 x 张用 A 方法,其余用 B 方法. (1)用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数; (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,问能做多少个盒子? 考点: 分析: 一元一次方程的应用;列代数式. (1)由 x 张用 A 方法,就有(19﹣x)张用 B 方法,就可以分别表示出侧

解答:

面个数和底面个数; (2)由侧面个数和底面个数比为 3:2 建立方程求出 x 的值,求出侧面的 总数就可以求出结论. 解:(1)∵裁剪时 x 张用 A 方法, ∴裁剪时(19﹣x)张用 B 方法. ∴侧面的个数为:6x+4(19﹣x)=(2x+76)个, 底面的个数为:5(19﹣x)=(95﹣5x)个; (2)由题意,得 , 解得:x =7, ∴盒子的个数为: =30.

点评:

答:裁剪出的侧面和底面恰好全部用完,能做 30 个盒子. 本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用,一元一次方程的解法的运 用,列代数式的运用,解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程 是关键.

25.(12 分)(2014?宁波)课本的作业题中有这样一道题:把一张顶角为 36°的等腰三角 形纸片剪两刀,分成 3 张小纸片,使每张小纸片都是等腰三角形,你能办到吗?请画示意图 说明剪法. 我们有多少种剪法,图 1 是其中的一种方法:

定义: 如果两条线段将一个三角形分成 3 个等腰三角形, 我们把这两条线段叫做这个三角形 的三分线. (1)请你在图 2 中用两种不同的方法画出顶角为 45°的等腰三角形的三分线,并标注每个 等腰三角形顶角的度数;(若两种方法分得的三角形成 3 对全等三角形,则视为同一种) (2)△ABC 中,∠B=30°,AD 和 DE 是△ABC 的三分线,点 D 在 BC 边上,点 E 在 AC 边上,且 AD=BD,DE=CE,设∠C=x°,试画出示意图,并求出 x 所有可能的值; (3)如图 3,△ABC 中,AC=2,BC=3,∠C=2∠B,请画出△ABC 的三分线,并求出三 分线的长. 考点: 分析: 相似形综合题;图形的剪拼 (1)45°自然想到等腰直角三角形,过底角一顶点作对边的高,发现形成一 个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三 角形,则易得一种情况.第二种情形可以考虑题例中给出的方法,试着同样

解答:

以一底角作为新等腰三角形的底角, 则另一底脚被分为 45°和 22.5°, 再以 22.5° 分别作为等腰三角形的底角或顶角,易得其中作为底角时所得的三个三角形 恰都为等腰三角形.即又一三分线作法. (2)用量角器,直尺标准作 30°角,而后确定一边为 BA,一边为 BC,根据 题意可以先固定 BA 的长,而后可确定 D 点,再标准作图实验﹣﹣分别考虑 AD 为等腰三角形的腰或者底边,兼顾 AEC 在同一直线上,易得 2 种三角形 ABC.根据图形易得 x 的值. (3)因为∠C=2∠B,作∠C 的角平分线,则可得第一个等腰三角形.而后 借用圆规,以边长画弧,根据交点,寻找是否存在三分线,易得如图 4 图形 为三分线.则可根据外角等于内角之和及腰相等等情况列出等量关系,求解 方程可知各线的长. 解:(1)如图 2 作图,

(2)如图 3 ①、②作△ABC.

①当 AD=AE 时, ∵2x+x=30+30, ∴x=20. ②当 AD=DE 时, ∵30+30+2x+x=180, ∴x=40.

(3) 如图 4,CD、AE 就是所求的三分线. 设∠B=a,则∠DCB=∠DCA=∠EAC=a,∠ADE=∠AED=2a, 此时△AEC∽△BDC,△ACD∽△ABC, 设 AE=AD=x,BD=CD=y, ∵△AEC∽△BDC, ∴x:y=2:3, ∵△ACD∽△ABC, ∴2x=(x+y):2, 所以联立得方程组 ,

解得



即三分线长分别是 点评:





本题考查了学生学习的理解能力及动手创新能力,知识方面重点考查三角形 内角、外角间的关系及等腰三角形知识,是一道很锻炼学生能力的题目.

26.(14 分)(2014?宁波)木匠黄师傅用长 AB=3,宽 BC=2 的矩形木板做一个尽可能大 的圆形桌面,他设计了四种方案: 方案一:直接锯一个半径最大的圆; 方案二:圆心 O1、O2 分别在 CD、AB 上,半径分别是 O1C、O2A,锯两个外切的半圆拼成 一个圆; 方案三:沿对角线 AC 将矩形锯成两个三角形,适当平移三角形并锯一个最大的圆; 方案四:锯一块小矩形 BCEF 拼到矩形 AFED 下面,利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆. (1)写出方案一中圆的半径; (2)通过计算说明方案二和方案三中,哪个圆的半径较大? (3)在方案四中,设 CE=x(0<x<1),圆的半径为 y. ①求 y 关于 x 的函数解析式; ②当 x 取何值时圆的半径最大, 最大半径为多少?并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径 最大.

考点: 分析:

圆的综合题 (1)观察图易知,截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边,由已 知长宽分别为 3,2,那么直接取圆直径最大为 2,则半径最大为 1. (2)方案二、方案三中求圆的半径是常规的利用勾股定理或三角形相似 中对应边长成比例等性质解直角三角形求边长的题目.一般都先设出所 求边长, 而后利用关系代入表示其他相关边长, 方案二中可利用△O1O2E 为直角三角形,则满足勾股定理整理方程,方案三可利用 △AOM∽△OFN 后对应边成比例整理方程,进而可求 r 的值. (3)①类似(1)截圆的直径需不超过长方形长、宽中最短的边,虽然 方案四中新拼的图象不一定为矩形,但直径也不得超过横纵向方向跨 度.则选择最小跨度,取其 ,即为半径.由 EC 为 x,则新拼图形水平 方向跨度为 3﹣x,竖直方向跨度为 2+x,则需要先判断大小,而后分别 讨论结论. ②已有关系表达式, 则直接根据不等式性质易得方案四中的最大半径. 另 与前三方案比较,即得最终结论. 解:(1)方案一中的最大半径为 1. 分析如下: 因为长方形的长宽分别为 3,2,那么直接取圆直径最大为 2,则半径最 大为 1.

解答:

(2) 如图 1,方案二中连接 O1,O2,过 O1 作 O1E⊥AB 于 E, 方案三中,过点 O 分别作 AB,BF 的垂线,交于 M,N,此时 M,N 恰

为⊙O 与 AB,BF 的切点. 方案二: 设半径为 r, 在 Rt△O1O2E 中, ∵O1O2=2r,O1E=BC=2,O2E=AB﹣AO1﹣CO2=3﹣2r, 2 2 2 ∴(2r) =2 +(3﹣2r) , 解得 r= .

方案三: 设半径为 r, 在△AOM 和△OFN 中, , ∴△AOM∽△OFN, ∴ ∴ 解得 r= . 比较知,方案三半径较大. (3)方案四: ①∵EC=x, ∴新拼图形水平方向跨度为 3﹣x,竖直方向跨度为 2+x. 类似(1),所截出圆的直径最大为 3﹣x 或 2+x 较小的. 1.当 3﹣x<2+x 时,即当 x> 时,r= (3﹣x); 2.当 3﹣x=2+x 时,即当 x= 时,r= (3﹣ )= ; 3.当 3﹣x>2+x 时,即当 x< 时,r= (2+x). ②当 x> 时,r= (3﹣x)< (3﹣ )= ; 当 x= 时,r= (3﹣ )= ; 当 x< 时,r= (2+x)< (2+ )= , ∴方案四,当 x= 时,r 最大为 . ∵1< < < , , ,

点评:

∴方案四时可取的圆桌面积最大. 本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长

及分段函数的表示与性质讨论等内容,题目虽看似新颖不易找到思路, 但仔细观察每一小问都是常规的基础考点,所以总体来说是一道质量很 高的题目,值得认真练习.


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