3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

河北省定州中学2017届高三上学期开学考试 数学


定州中学 2016-2017 学年第一学期高三开学考试数学试题
一、选择题(共 12 小题,共 60 分)

1.已知集合 P ? x x( x ? 3) ? 0 , Q ? x x ? 2 ,则 P ? Q ? ( A. (?2,0) B. (0,2) C. (2,3)

?

?

?

?

) D. (?2,3)

?| lg x |, 0 ? x ? 10 ? 2.已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ,则 abc 的取 ? x ? 6, x ? 10 ? ? 2
值范围是( A. (1,10) ) B. (5, 6) C. (10,12) D. (20, 24)

2 2 3.已知 a 为实数,函数 f ( x ) ? x ? x ? ax ? 2 在区间 (??, ?1) 和 (2, ??) 上单调递增,则 a 的取值

范围为( A. [1,8]

) B. [3,8] C. [1,3] ) D. D. [?1,8]

4.平行线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 和 6 x ? 8 y ? 2 ? 0 的距离是( A.

8 5

B.2

C.

11 5

7 5

5.在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是侧面 BB1C1C 的中心,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是( A. 30
0


0

B. 45

C. 60

0

D. 90

0

6.已知 ? , ? 是两个不同的平面,m ,n 是两条不同的直线给出下列命题: ①若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? ; ②若 m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? ; ③如果 m ? ? , n ? ? , m, n 是异面直线,那么 n 与α 相交; ④若 ? ? ? ? m, n ∥ m,且n ? ? , n ? ? , 则 n∥α 且 n ∥ ? . 其中的真命题是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7.如图,在棱长均为 2 的正四棱锥 P ? ABCD 中,点 E 为 PC 中点,则下列命题正确的是(
·1·



A. BE / / 平面 PAD ,且直线 BE 到平面 PAD 的距离为 3 B. BE / / 平面 PAD ,且直线 BE 到平面 PAD 的距离为

2 6 3

C. BE 不平行于平面 PAD ,且 BE 到平面 PAD 所成角大于 30? D. BE 不平行于平面 PAD ,且 BE 到平面 PAD 所成角小于 30? 8.抛掷两个骰子,至少有一个 4 点或 5 点出现时,就说这些试验成功,则在 10 次试验中,成功次数

? 的期望是(
A.

) B.

10 3

55 9

C.

80 9

D.

50 9

9.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同, 则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

10.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数,事件 A=“第一次取到的是奇数” ,B= “第二次取到的是奇数” ,则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.

11.如图是函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ( ? ? 0 , ? ? 0 , ? ? 的图象,只要将 y ? sin x ( x ? R )的图象上所有的点(

?
2

)图象的一部分.为了得到这个函数



? 1 个单位长度,再把所有各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 3 2 ? B.向左平移 个单位长度,再把所有各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3
A.向左平移
·2·

? 1 个单位长度,再把所有各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 6 2 ? D.向左平移 个单位长度,再把所有各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 ? ? ) ? (f ? )x , 12. 已知 f ( x) ? a sin x ? b cos x , 若 f( ?x 则直线 ax ? by ? c ? 0 的倾斜角为 ( 4 4 ? ? 2? 3? A. B. C. D. 4 3 3 4 第 II 卷(非选择题)
C.向左平移 二、填空题(4 小题,共 20 分) 13.函数 y ? 2sin ?



?? ? ? 2 x ? ( x ??0, ? ? )为增函数的区间是 ?6 ?



14.一个袋中有 12 个除颜色外完全相同的球, 2 个红球,5 个绿球,5 个黄球,从中任取一球,不 放回后再取一球,则第一次取出红球时第二次取出黄球的概率为 . 15.已知棱长为 1 的立方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,则从顶点 A 经过立方体表面到达正方形 CDD1C1 的 心 M 的最短路线有______条.

16.已知不等式 x ? 2 ? 3 的解集为 ? ,函数 y ? ln(x ? 1) 的定义域为 ? ,则图中阴影部分表示的集 合为 .

三、解答题(8 小题,共 70 分)
2 17. 若关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 有两个根, 一个根在区间 (0,1) 内, 另一根在区间 (1,3) 内,

记点 ( a, b) 对应的区域为 S . (1)设 z ? 2a ? b ,求 z 的取值范围; (2)过点 (?5,1) 的一束光线,射到 x 轴被反射后经过区域 S ,求反射光线所在直线 l 经过区域 S 内 的整点
·3·

(即横纵坐标为整数的点)时直线 l 的方程. 18.已知函数 f ( x) ? x ? x ? ln(x ? a) ? 3b 在 x ? 0 处取得极值 0 .
2

(1)求实数 a , b 的值; (2)若关于 x 的方程
f ( x) ? 5 x?m 2? 上恰有两个不同的实数根,求实数 m 的取值范围. 2 在区间 ?0,

19.如图,直角三角形 ABC 中, A ? 600 ,沿斜边 AC 上的高 BD ,将 ?ABD 折起到 ?PBD 的位 置,点 E 在线段 CD 上.

(1)求证: PE ? BD ; (2)过点 D 作 DM ? BC 交 BC 于点 M ,点 N 为 PB 中点,若 PE // 平面 DMN ,求 20.选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆, D 是弧 AC 的中点, BD 交 AC 于点 E .

DE 的值. DC

2 (1)求证: CD ? DE ? DB ;

(2)若 CD ? 2 3 ,点 O 到 AC 的距离为 1,求圆 O 的半径 r . 21.某公司的两个部门招聘工作人员,应聘者从 ?1 、 ?2 两组试题中选择一组参加测试,成绩合格者
·4·

可签约.甲、乙、丙、丁四人参加应聘考试,其中甲、乙两人选择使用试题 ?1 ,且表示只要成绩合 格就签约; 丙、 丁两人选择使用试题 ?2 , 并约定: 两人成绩都合格就一同签约, 否则两人都不签约. 已 知甲、乙考试合格的概率都是

1 2 ,丙、丁考试合格的概率都是 ,且考试是否合格互不影响. 2 3

(Ⅰ)求丙、丁未签约的概率; (Ⅱ)记签约人数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 ?? . 22.为了了解某学段 1000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若干学生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间, 将成绩按如下方式分成五组: 第一组[13,14); 第二组[14,15); ...; 第五组[17,18]. 按上述分组得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右前 3 个组的频率之比为 3:8:19,且 第二组的频数为 8.

(1)将频率当作概率,请估计该学段学生中百米成绩在 [16,17)内的人数以及所有抽取学生的百米 成绩的中位数(精确到 0.01 秒) ; (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率. 23.已知函数 f ? x ? ? 2a sin ? x cos ? x ? 2 3 cos 2 ? x ? 3 ( a ? 0 , ? ? 0 )的最大值为 2 ,且最 小正周期为 ? . (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的解析式及其对称轴方程; (Ⅱ)若 f ?? ? ?

4 ?? ? ,求 sin ? 4? ? ? 的值. 3 6? ?

? x x x ,1) , n ? (cos , cos 2 ) . 4 4 4 ?? ? 2? ? x) 的值; (1)若 m ? n ? 1 ,求 cos( 3 ?? ? (2)记 f ( x) ? m ? n 在 ?ABC 中角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C ,
24.已知向量 m ? ( 3 sin 求

??

f ( A) 的取值范围.
·5·

·6·

参考答案 1.B 【解析】 试题分析:由条件 P ? ?x | 0 ? x ? 3? ,Q ? ?x | ?2 ? x ? 2? .则 P ? Q ? ?x | 0 ? x ? 2? .故本题答案 选 B. 考点:1.一元二次不等式;2.含绝对值的不等式;3.交集. 2.C 【解析】 试题分析:画出函数图象如下图所示,由图可知 a ?

1 , ab ? 1, abc ? c ? ?10,12 ? ,故选 C. b

考点:函数图象与性质. 【思路点晴】本题是 2010 年全国卷第 11 题.主要的解题思路就是数形结合.有关函数的问题, 往往可 以先画出函数的图象,然后利用图象与性质来解决 .本题分段函数中第一段是对数函数外面加绝对 值,我们先画出绝对值里面的函数,然后把 x 轴下方的图象向上翻折,就可以得到 lg x 的图象;第 二段是一次函数,图象为直线. 3.A 【解析】
2 2 试 题 分 析 : 当 x ? ax ? 2 ? 0 时 , f ( x) ? ax ? 2 不 满 足 题 设 , 故 x ? ax ? 2 ? 0 , 此 时

f ( x) ? 2x 2 ? ax ? 2 ,对称轴 x ?

a a ,显然 ? 2 ,即 a ? 8 ,所以答案 C 被排除.容易验证当 a ? 0 时, 4 4

2 2 函数 f ( x) ? x ? | x ? 2 | 在区间 (??, ?1) 和 (2, ??) 上不满足题设, 答案 D 被排除.当 a ? 1 时,函 2 2 数 f ( x) ? x ? | x ? x ? 2 | 在 区 间 (? ?, ?1 和 ) (2, ??) 上 也 满 足 题 设 , 当 a ? 8 时 , 函 数

f ( x) ? x 2 ? | x 2 ? 8x ? 2 | 在区间 (??, ?1) 和 (2, ??) 上满足题设,故应选答案 A.
考点:二次函数的图象和性质. 【易错点晴】本题以含绝对值符号的二次函数为背景,考查的是函数中参数的取值范围问题.解答时 充分借助函数的解析表达式,运用二次函数的图像等许多有关知识进行合理推理和判断 .取值进行判 断是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后 作出真假命题的判断.对于假命题,仅举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否 定一个命题是真命题的有效方式和方法. 4.B 【解析】
·7·

试题分析:由两平行直线之间的距离公式可得 d ? 考点:两条平行线之间的距离公式. 5.C 【解析】

| 2 ? 18 | 36 ? 64

?

20 ? 2 ,故应选 B. 10

试题分析:如图,取 BC 中点 E ,连接 DE 、 AE 、 AD ,依题意知三棱柱为正三棱柱,易得 AE ? 平面 BB1C1C ,故 ? ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 1,则 AE ?

1 3 , DE ? , 2 2

3 AE tan?ADE ? ? 2 ? 3 ,∴ ?ADE ? 60? .故选 C. 1 DE 2

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 6.D 【解析】 试 题 分 析 : 若 m ? ?, m ? ?, 由 线 面 垂 直 的 可 得 面 面 垂 直 , 即 ? ? ? , ① 正 确 ; 若

m ? ? , n ? ? , m ∥ ? , n ∥ ? ,由线面垂直与线面平行的相关性质可得, ? ? ? ,②错误;如果

m ? ? , n ? ? , m, n 是 异 面 直 线 , 也 可 出 现

n

与 α

平 行 , ③ 错 误 ; 若

? ? ? ? m, n ∥ m,且n ? ? , n ? ? , 由线面平行的相关性质可得 n //? 且 n ∥ ? .④正确.故本题答
案选 D. 考点:线面间的位置关系的判定与性质. 7.D 【解析】 试题分析: 若 BE / / 平面 PAD , 而 BC / / 平面 PAD , 所以平面 PBC / / 平面 PAD , 矛盾, 所以 A, B 不正确.取 PD 中点 F ,取 AB 中点 G ,连接 EF , AF , GF ,依题意有 EF ? 1, AF ? 3, GF ? 3 ,

·8·

故 cos ?AFG ?

3 ? 3 ?1 5 3 ,故 ?AFG ? 30? ,线面角为直线与平面内直线所成角的最小值, ? ? 2?3 6 2

故 BE 到平面 PAD 所成角小于 30? . 考点:直线与平面的位置关系. 8.D 【解析】
2 试题分析: 在 10 次试验中,成功的次数 ? 服从二项分布,每次实验成功的概率为 1 ? ( ) ?

2 3

5 ,故 10 次 9

试验中,成功次数 ? 的数学期望 E? ?

5 50 ? 10 ? ,故应选 D. 9 9

考点:随机变量的概率分布和数学期望. 9.A 【解析】 试题分析:总的方法数有 3 ? 3 ? 9 种,符合题意的有 3 种,故概率为

1 . 3

考点:概率. 10.D 【解析】 试 题 分 析 : 事 件 A 共 有 5?8 种 取 法 , 其 中 第 二 次 取 到 的 是 奇 数 的 有 5? 4 种 取 法 , 因 此

P(B | A) ?

5? 4 1 ? ,选 D. 5?8 2

考点:条件概率 11.A 【解析】 试题分析:从图象提供的信息可以可以看出 A ? 1, T ? ? , 由此可得 ? ? 2 , 则 y ? sin(2 x ? ? ) , 将

(

5? 5? 5? ? ? ,0) 代入可得 sin( ? ? ) ? 0 ,即 ? ? ? k? , k ? Z , 所以 ? ? , 所以 y ? sin(2 x ? ) , 故 6 3 3 3 3

应选 A. 考点:三角函数的图象及变换. 12.D 【解析】 试题分析:由题设可知函数关于直线 x ?

?
4

对称 , 因此 f (0) ? f ( ) , 即 ? b ? a , 故

?

3? tan ? ? ?1 ,故 ? ? ,所以应选 D. 4

2

a ? ?1 , 即 b

考点:三角函数的图象和性质及直线的斜率与倾斜角的关系. 13. ?

? ? 5? ? , ?3 6 ? ?
·9·

【解析】 试 题 分 析 : 因 为 y ? ?2 sin( 2 x ?

?
6

) , 所 以 只 要 求 函 数 y ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) 的减区间即可.解

2k? ?


?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? 2? 10? ? 5? ? 2 x ? 2k? ? 可 得 2k? ? , 即 k? ? ? x ? k? ? ,所 2 3 6 3 3

?
3

?x?

5? ? ? 5? ? ,故答案为 ? , . 6 ?3 6 ? ?

考点:三角函数的图象和基本性质的运用. 【易错点晴】本题以函数 y ? 2sin ?

?? ? ? 2 x ? 的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如 ?6 ?

f ( x) ? Asin(?x ? ? ) 的正弦函数的图象和性质 . 解答时先从题设中的条件增函数入手 , 对函数

? ?? ? (x ? ) , 将 其 转 化 为 求 函 数 y ? 2 sin? ? 2 x ? 进 行 变 形 , 将 其 变 形 为 一 般 式 y ? ?2 s i n2 6 ?6 ?
y ? 2 s i n2 (x ?
题获解. 14.

?
6

) 的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本

5 . 11

【解析】 试题分析:根据题意,第一次取出红球后不放回,剩余球的总个数为 11 个,黄球的个数为 5 个,再 根据概率公式解答即可,所以其概率为 故答案为:

5 . 11

5 . 11

考点:等可能事件的概率. 15.2 【解析】 试题分析:沿边 过边

DD1 或 DC 展开将正方形 CDD1C1 与正方形 ADD1 A1 或正方形 ABCD 共面,所以经

DD1 或 DC 时,路线最短,有 2 条.

考点:正方体展开图 16. x ?1 ? x ? 1 【解析】 试题分析:由题设得 A ? {x | ?1 ? x ? 5}, B ? {x | x ? 1} ,则 CR B ? {x | x ? 1 } ,则
·10·

?

?

A ? CR B ? {x | ?1 ? x ? 1} .
考点:集合的交集补集运算. 17. (1) ?11 ? z ? ?2 ; (2) y ? x ? 4 . 【解析】 试题分析: (1)借助题设建立不等式组运用线性规划的知识求解; (2)借助题设条件运用直线的点 斜式方程求解. 试题解析: 方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的两根在区间 (0,1) 和 (1,3) 上的几何意义是: 函数 y ? f ( x) ? x2 ? ax ? b 与 x 轴

b?0 ? f (0) ? 0 ? ? ? 的两个交点的横坐标分别在区间 (0,1) 和 (1,3) 内, 由此可得不等式组 ? f (1) ? 0 , 即 ? a ? b ?1 ? 0 , ? f (3) ? 0 ?3a ? b ? 9 ? 0 ? ?
则在坐标平面 aOb 内,点 ( a, b) 对应的区域 S 如图阴影部分所示,

易得图中 A, B, C 三点的坐标分别为 (?4,3),(?3,0),(?1,0) , (1) 令 z ? 2a ? b ,则直线 b ? 2a ? z 经过点 A 时, z 取得最小值,经过点 C 时 z 取得最大值, 即 zmin ? ?11 , zmax ? ?2 , 又 A, B, C 三点的值没有取到,所以 ?11 ? z ? ?2 ; ( 2)过点 (?5,1) 的光线经 x 轴反射后的光线必过点 (?5, ?1) ,由图可知,可能满足条件的整点为

(?3,1),(?3, 2),(?2, 2),(?2,1) ,再结合不等式知点 (?3,1) 符合条件,
·11·

所以此时直线方程为: y ? 1 ?

1 ? (?1) ? ( x ? 5) ,即 y ? x ? 4 . ?3 ? (?5)

考点:线性规划的知识及直线的方程等有关知识的综合运用. 【易错点晴】本题以方程的根的分布为背景,考查的是线性约束条件与数形结合的数学思想的综合运 用问题.解答时先依据题设条件建立不等式组 ,然后再构建平面直角坐标系,准确的画出满足题设条

b?0 ? ? 件的不等式组 ? a ? b ? 1 ? 0 所表示的平面区域,然后借助该平面区域所表示的图形,数形结合求出 ?3a ? b ? 9 ? 0 ?
z ? 2a ? b 中参数 z 的取值范围和满足题设条件的反射光线所在直线 l 的方程. 18. (1) a ? 1, b ? 0 (2) [? 1 ? ln 2,1 ? ln 3] 2
【解析】

? 试题分析: (1)由极值定义得 ? f (0) ? 0 ,解方程组得 a ? 1, b ? 0 (2)方程根的个数往往转化为函 ? ? f (0) ? 0
数零点个数,先利用导数分析函数 ? ( x) ? x2 ? x ? ln( x ? 1) ?

5 x ? m 单调变化规律:在 (0,1) 上单调递 2

减,在 (1,2) 上单调递增,因此要有两个零点,须 ? ?

?? (0) ? ?m ? 0 ,解得 m 的取值范围. 1 ?? (1) ? ? ? ln 2 ? m ? 0 2 ? ? (2) ? 1 ? ln 3 ? m ? 0 ? ?

试题解析: (1)由题设可知 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? 1 x?a

?当 x ? 0 时, f ( x) 取得极值 0
? f ?(0) ? 0 解得 a ? 1, b ? 0 ?? ? f (0) ? 0
经检验 a ? 1, b ? 0 符合题意 (2)由(1)知 f ( x) ? x 2 ? x ? ln( x ? 1) , 则方程 f ( x) ?

5 x?m 2

5 即为 x2 ? x ? ln( x ? 1) ? x ? m ? 0 2

令 ? ( x) ? x2 ? x ? ln( x ? 1) ?

5 x?m 2

则方程 ? ( x) ? 0 在区间 [0,2] 恰有两个不同实数根.

·12·

?? ?( x) ? 2 x ?

1 3 (4 x ? 5)( x ? 1) ? ? x ?1 2 2( x ? 1)
5 (舍) 4

令 (4 x ? 5)( x ? 1) =0,得 x1=1 或 x2=—

2( x ? 1)

当 x ? (0,1) 时, ??( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递减; 当 x ? (1,2) 时, ? ?( x) ? 0 ,于是 ? ( x) 在 (1,2) 上单调递增;

?? (0) ? ?m ? 0 ? 1 ? 依题意有 ?? (1) ? ? ? ln 2 ? m ? 0 2 ? ? ?? (2) ? 1 ? ln 3 ? m ? 0

考点:极值,利用导数研究函数零点 【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数 研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交 点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的 思路. 19. (1)证明见解析; (2) 【解析】 试题分析: (1)由 BD 是 AC 边上的高,得出 BD ? CD, BD ? PD ,由此证明 BD ? 平面 PCD , 即可证明 PE ? BD ; (2)连接 BE ,交 DM 与点 F ,由 PE // 平面 DMN ,得出 PE // NF ,证明

1 . 3

?DEF 是等边三角形,再利用直角三角形的边角关系求出

DE 的值即可. DC

试题解析: (1)因为 BD 是 AC 边上的高,所以 BD ? CD, BD ? PD ,又 PD ? CD ? D , ∴ BD ? 平面 PCD .∵ PE ? 平面 PCD ,所以 PE ? BD . (2)连接 BE ,交 DM 与点 F , PE // 平面 DMN ,且 PE ? 平面 PEB ,平面 PEB ? 平面 DMN ? NF ,∴ PE // NF ,

1 BE ? EF ,又 ?BCD ? 900 ? 600 ? 300 ,∴ ?DEF 是等边三角形 2 DE 1 ? . 设 DE ? a ,则 BD ? 3a , DC ? 3BD ? 3a ,∴ DC 3
∴ DF ? 考点: (1)直线与平面垂直; (2)直线与平面平行的性质. 【方法点晴】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题,也考查了空间想象能力与逻辑推理 能力的应用问题,是综合性题目.在第一问中主要通过线面垂判定定理得到线面垂直,然后得到线
·13·

线垂直,线线垂直与线面垂直之间的互化是在证明垂直过程中常用的手段;在第二问中首先根据线 面平行性质定理,得到 PE // NF ,根据长度与角的关系得到 ?DEF 是等边三角形,可得解. 20. (1)证明见解析; (2) r ? 3 . 【解析】 试题分析: (1) 利用同弧所对的圆周相等, 可证明 ?BCD∽?CED ,利用相似比可得 CD2 ? DE ? DB ; ( 2 )连接 OD, OC ,设 OD 交 AC 于点 F ,由垂径定理有 OD ? AC ,通过解直角三角形可得

(2 3)2 ? r 2 ?1 ? (r ?1)2 ,解得 r ? 3 .
试题解析: (1)证明:因为 ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ,所以 ?CBD ? ?ECD . 又 ?CDB ? ?EDC ,所以 ?BCD ∽ ?CED . 所以

DE DC 2 ? ,所以 CD ? DE ? DB . DC DB

(2)连接 OD, OC ,设 OD 交 AC 于点 F . 因为点 D 是弧 AC 的中点,所以 OD ? AC . 在 Rt ?COF 中, OF ? 1 , OC 2 ? CF 2 ? OF 2 ,即 CF 2 ? r 2 ? 1 .
2 2 2 在 Rt ?CFD 中, DC ? CF ? DF ,

所以 (2 3)2 ? r 2 ?1 ? (r ?1)2 ,解得 r ? 3 . 考点:几何证明选讲. 21. (Ⅰ)

5 17 ; (Ⅱ)分布列见解析, . 9 9

【解析】 试题分析: (Ⅰ)运用对立事件和互斥事件的概率公式求解; (Ⅱ)借助题设条件运用数学期望的公 式求解. 试题解析: (Ⅰ)分别记事件甲、乙、丙、丁考试合格为 ? , ? , C , D .由题意知 ? , ? , C , D 相互独立,且 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 , ? ? C ? ? ? ? D ? ? .记事件“丙、丁未签约”为 F , 2 3

由事件的独立性和互斥性得: ? ? F? ? 1 ? ? ? CD?

2 2 5 ? 1? ? ? 3 3 9
(Ⅱ) ? 的所有可能取值为 0 , 1 , 2 , 3 , 4 .

1 1 5 5 ? ? ? ? 0 ? ? ? ?? ? ? F ? ? ? ? ? ; 2 2 9 36
·14·

? ?

1 1 5 5 ? ? ? ? 1? ? ? ? ?? ? ? ? F ? ? ? ? ?? ? ? ? F ? ? 2 ? ? ? ? ; 2 2 9 18 1 1 5 1 1 2 2 1 ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ??F ? ? ? ? ??CD ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 2 2 9 2 2 3 3 4 1 1 2 2 2 ? ? ? ? 3? ? ? ? ??CD ? ? ? ? ??CD ? ? 2 ? ? ? ? ? ; 2 2 3 3 9 1 1 2 2 1 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ??CD ? ? ? ? ? ? . 2 2 3 3 9
所以, ? 的分布列是:

? 的数学期望 ?? ? 0 ?

5 5 1 2 1 17 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 36 18 4 9 9 9

考点:对立事件、互斥事件的概率和随机变量的概率分布与数学期望公式的综合运用. 22. (1) 15.74 ; (2)

4 . 7

【解析】 试题分析: (1)根据频率分步直方图中小正方形的面积是这组数据的频率,用长乘以宽得到面积, 即为频率.根据所有的频率之和是 1,列出关于 x 的方程,解出 x 的值,继而求出相应小组的人数, 再设中位数为 m ,列出关于 m 的方程解得即可; (2)本题是一个古典概型,试验发生所包含的事件 是从第一、 五组中随机取出两个成绩, 满足条件的事件是成绩的差的绝对值大于 1秒, 列举出事件数, 根据古典概型概率公式得到结果. 试 题 解 析 :( 1 ) 设 前 3 组 的 频 率 依 次 为 3x,8 x,19x , 则 由 题 意 可 得

3x ? 8 x ? 19 x ? 1 ? 0.32 ? 0.08 ? 0.6 ,由此得: x ? 0.02 ,所以第二组的频率为 0.16 . 8 ? 50 . 因为第二组的频率为 8 ,所以抽取的学生总人数为 0.16

17? 内的人数为 0.32 ? 50 ? 16 (人). 由此可估计学生中百米成绩在 ?16,
设所求中位数为 m , 0.16, 0.38 , 由上述计算可知第一组、第二组、第三组的频率分别为 0.06,

?m ?15? ? 0.5 ,解得 m ? 15.74 . 则 0.06? 0.16? 0.38
故所有抽取学生的百米成绩的中位数为 15.74 秒. (2)记“两个成绩的差的绝对值大于 1秒”为事件 A . 由(1)可知从第一组抽取的人数为 0.02 ? 3 ? 50 ? 3 ,不妨记为 a , b, c ,

2, 3, 4, 从第五组抽取的人数为 0.08 ? 50 ? 4 ,不妨记为 1, 则从第一、五组中随机取出两个成绩有:
·15·

ab, ac, a1, a2, a3, a4, bc, b1, b2, b3, b4, c1, c2, c3, c4,12,13,14,23,24,34 这 21种可能;
其中两个成绩的差的绝对值大于 1秒的来自不同的组,共有 12种. 所以 P( A) ?

12 4 ? . 21 7
4 . 7

故两个成绩的差的绝对值大于 1秒单调概率为 考点: (1)频率分布直方图; (2)古典概型. 23. (Ⅰ) f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? k? 1 ; (Ⅱ) ? . ? ,对称轴为 x ? 12 ? 2 ( k ? ? ) 9 3?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)运用等价转化的方法将问题进行转化与化归; (Ⅱ)借助题设条件将复合命题分类 转化进行求解. 试题解析: (Ⅰ) f ? x ? ? a sin 2?x ? 3 cos2?x , 由题意 f ? x ? 的周期为 ? ,所以

2? ? ? ,得 ? ? 1 2?

? f ? x ? 最大值为 2 ,故 a2 ? 3 ? 2 ,又 a ? 0 ,? a ? 1

?? ? f ? x ? ? 2sin ? ? 2x ? ?
? 3?
令 2x ?

?
3

?

?
2

? k? ,解得 f ? x ? 的对称轴为 x ?

?
12

?

k? (k ??) . 2

(Ⅱ)由 f ?? ? ?

4 ?? 4 ?? 2 ? ? 知 2sin ? 2? ? ? ? ,即 sin ? 2? ? ? ? , 3 3? 3 3? 3 ? ?

?? ? ? ?? ?? ?? ? ? sin ? ? 4? ? ? ? sin ?2 ? 2? ? ? ? ? ? ? cos 2 ? 2? ? ?
? 6? ? ? 3? 2?
2

?

3?

?? 1 ? ? 2? ? ?1 ? 2sin ? 2? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? ? 3? 9 ? ? 3?
2

考点:三角函数的图像和性质及三角变换公式的运用. 【易错点晴】本题以函数的最大值和最小正周期为背景,考查的是三角函数中形如

f ( x) ? Asin(?x ? ? ) 的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件入手 ,先运用倍角公式将
其化简为 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的形式,再运用所学知识求出其中的参数 ? , ? 的值,最后再解决题设

·16·

中提出的问题即可.需要强调是对称轴的方程是是取得最值的的值,即 x ? k? ? 容易错写成 x ? 2k? ?

?
2

,学生在求解时很

?

2 1 3 24. (1) ? ; (2) (1, ) . 2 2

从而致错.

【解析】 试题分析: (1)借助题设条件和向量的数量积公式求解; (2)借助题设条件和正弦定理求解. 试题解析: (1) f ( x) ? m ? n ?

?? ?

x x x 3 sin cos ? cos 2 4 4 4

?

3 x 1 x 1 x ? 1 sin ? cos ? ? sin( ? ) ? ? 1. 2 2 2 2 2 2 6 2
x 2

∴ sin( ? ∴ cos( x ?

?
?
6

)?

x ? 1 ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) ? . 3 2 6 2 2? ? 1 ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? . ∴ cos( 3 3 2
(2) (2a ? c) cos B ? b cos C ? 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ,∴ cos B ?

1 . 2

2? ? A ? ? A ? 1 ,∴ ? ? ? ,∴ sin( ? ) ? ( ,1) . 3 6 2 6 2 2 6 2 x ? 1 A ? 1 3 又∵ f ( x) ? sin( ? ) ? ,∴ f ( A) ? sin( ? ) ? ? (1, ) . 2 6 2 2 6 2 2
∴0 ? A ?

1 ? ,∴ B ? . 3 2

考点:三角函数的图象、正弦定理、向量的数量积等有关知识的综合运用.

欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·17·


推荐相关:

河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期开学考试数学试题(含解析)_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高四开 学考试数学试题一、...


(Ⅰ)中所作直线 l 与 CE 确定的平面为 α,求点 C1 到平面 α 的距离. 2016-2017 学年河北省保定市定州中学高三(上)开学数学试卷参考答案与试题解析 一、...


河北省定州中学2017届高三上学期开学考试语文试题(含解析)_语文_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三开 学考试语文试题时间:150 分钟 ―...


河北省定州中学2015届高三上学期开学考试数学(理)试题_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2015—2016 学年度第一 学期 高三开学考试数学试卷(理科)2015/8/2 ...


2017届河北省定州中学高三上学期第一次月考数学试题_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三第一次 月考数学试题一、选择题(本大题...


河北省定州中学2017届高三上学期开学考试语文试题(Word版,含答案)_高三语文_语文_高中教育_教育专区。定州中学 2016-2017 学年第一学期高三开学考试语文试题 时间:...


河北省定州中学2017届高三上学期开学考试历史试题(含答案)_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三开学考试历史试题 第...


河北省定州中学2017届高三上学期开学考试政治试题(含答案)_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年度第一学期 高三开学考试政治试题 ...


河北省定州中学2017届高三上学期周练(一)数学试题(解析版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河北定州中学 2016-2017 学年第一学期高三数 学周练试题(一)一、...


河北省定州中学2017届高三(高补班)上学期期中考试数学试题.doc_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三 月考定州中学 2016-2017 学年第一学期高四数学期中考试...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com