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第1讲反函数(高一)


反函数 一、 知识点 1. 反函数的概念
(1) 反函数的存在性问题 (2) 单调函数,奇偶函数与反函数关系(例 1) (3) 求反函数的步骤

2. 反函数的性质
(1) 定义域与值域 (2) 图像 (3) 原函数与反函数的一些关系

二、 方法与步骤 1. 反函数的概念问题
例1. 判断下列命题是否正确,若不正确,请举反例说明 (1) 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 M , 值 域 为 N , 则 函 数

y ? f?1 ( x (? ) x

的反函数是 y ? f ( x)( x ? M ) ; N )

(2) 若函数 f ( x) 有反函数,则 f ( x) 一定为单调函数 (3) 奇函数一定有反函数,偶函数一定没有反函数 (4) 分段函数一定没有反函数

2. 求反函数的问题
例2. 求下列函数的反函数:

(1) y ?

2x ?1 x ?1

(2) y ? x2 ? 6x, x ? (??,0)

? x 2 ? 1, x ? 0 (3) y ? ? ?2 x ? 1, x ? 0
(4) y ? x ? x 2 ? 1( x ? ?1)

例3.

已知函数 y ?

1 1 x ? m 和 y ? nx ? 是互为反函数,求 m, n 的值 2 3

3. 反函数的求值问题

例4.

已 知 函 数 y ? f ( x) 在 定 义 域 (??, ?1] 上 存 在 反 函 数 , 且
1 f ( x ?1) ? x2 ? 2 x ,求 f ?1 ( ? ) 3

例5.

若函数 f ( x) ? a x ? k 的图像经过点(1,7) ,又其反函数 y ? f ?1 ( x ? 4) 的 图像经过点(0,0) ,求 f ( x) 的解析式

4. 反函数的应用问题
例6. 求函数 f ( x) ?
1? x 的值域 2x ? 5

例7.

已知 f ( x) ? x2 ?1( x ? ?1) 的反函数是 f ?1 ( x) , 求证: 对于任意正实数 a , 都有 f ?1 (a) ? ?1

5. 反函数的图像问题
例8. 已知函数 f ( x) ? ax ? b 过点(2,1) ,它的反函数图像也过此点,求函 数 f ( x) 的解析式

例9.

已知函数 y ?

x?5 的图像关于直线 y ? x 对称,求实数 a 的值 2x ? a

例10. 函数 f ( x ) ? 实数 a

a?x 的反函数 y ? f ?1 ( x) 图像的对称中心是(-1,3) ,求 x ? a ?1

6. 综合问题
1 例11. 已知 f ( x) ? x2 , g ( x) ? ? x ? 5, y ? g ?1 ( x) 表示 y ? g ( x) 的反函数,设 2

F ( x) ? f [ g ?1 ( x)] ? g ?1[ f ( x)] ,求 F ( x) 的最小值

例12. 定 义 在 实 数 集 R 上 的 两 个 函 数 f ( x), g ( x) 互 为 反 函 数 , 并 且
f (a) ? m, f (b) ? n, f (a ? b) ? f (a) f (b) ,求证 g (mn) ? g (m) ? g (n)

例13. 已知函数 y ? g ( x) 的图像过点(4,5) ,且在 R 上单调递增,若函数
? g ?1 ( x ? 2), x ? 3 f ( x) ? ? 存在反函数,求实数 a 的取值范围 ?( a ? 1) x ? 1, x ? 3

例14. 设函数 f ( x) ?

2 x ?1 ,若函数 y ? g ( x ? 1) 的图像与函数 y ? f ( x) 的图 2 x ?1 ? 1

像关于 y ? x 对称,求 g ?1 (3) 的值

7. 函数不动点的讨论 例15. 若函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在 x 0? D ,使得 f ( x0 ) ? x0 成立,则称以

( x0 , x0 ) 为坐标的点为函数 f ( x) 图像上的不动点
(1) 若函数 f ( x ) ? 足的条件

3x ? a 图像上有两个关于原点对称的不动点,求 a , b 应满 x?b

(2) 若定义在 R 上的奇函数 f ( x) 存在 n 个不动点,求证: n 比为奇数

例16. 已知 f ( x) ?

x?a , x ? D, a ? R ,记函数 f1 ( x) ? f ( x) , f2 ( x) ? f ( f1 ( x)) , a ? 2x

f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ,…….. fn?1 ( x) ? f ( fn ( x))
若在定义域中存在点 x0 使得 f k ( x0 ) ? x0 , f j ( x0 ) ? x0 ( j ? 1,2,....k ?1) , x0 且 则 称为 f ( x ) 的 k 阶不动点” 在定义域 D 中是否存在一个 f ( x ) 的 阶不动点” “ , “2 , 说明理由


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